Mathematische Grundlagen der technischen Mechanik: 1 Vektor- und Tensoralgebra
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| Language: | German |
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Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1993
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| Series: | Beiträge zur theoretischen Mechanik
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Inhalt
§1 Bemerkungen zur Vektoralgebra; Definitionen und Rechenregeln 1
1.1 Addition von Vektoren 1
1.2 Multiplikation eines Vektors ai mit einem Skalar A 2
1.3 Skalarprodukt 4
1.4 Vektorprodukt 6
1.5 Spatprodukt [ailbc] dreier Vektoren 12
1.6 Zweifache Vektorprodukte 14
1.7 Reziproke Basissysteme 15
1.8 Beispiele für vektorielle Größen in der Mechanik 18
§2 Grundbegriffe der Algebra der Tensoren zweiter Stufe 20
2.1 Allgemeine Bemerkungen 20
2.2 Mehrfache Abbildungen 29
2.2a Skalarprodukte von Tensoren 29
2.2b Deformationsgeometrische Deutungen 37
2.2c Nachweis der Cayley Hamiltonschen Gleichung 41
2.3 Vektorprodukte zwischen Dyaden und Vektoren 45
2.4 Das doppelte Skalarprodukt (Doppeltskalarprodukt) 48
2.5 Vereinfachte Pfahlrostberechnung in der Bodenmechanik 52
§3 Versoren, orthogonale Tensoren 56
3.1 Versoren 56
3.2 Komponenten Transformationsformeln für Vektoren und Tensoren 61
3.2a Vektoren 61
3.2b Tensoren zweiter Stufe 62
3.3 Ableitung von Versoren nach skalaren Parametern 63
3.4 Orthogonale Tensoren 65
3.5 Anwendungen in der Mechanik 66
3.5a Schiefe Stabbiegung 67
3.5b Räumliche Drehbewegung starrer Körper 70
§4 Symmetrische zweistufige Tensoren 77
4.1 Der Spannungstensor 78
4.2 Haupt (bzw. Eigen )Werte, Haupt (bzw. Eigen )Richtungen
symmetrischer Tensoren 83
4.3 Graphische Darstellungen des Spannungszustandes 88
4.4 Spannungsdeviator, Oktaederschubspannung 92
4.5 Tensorfunktionen p = p($) 98
4.6 Tensor Potenzreihen 101
4.7 Ableitungen zweistufig tensorwertiger Funktionen eines skalaren
Parameters 103
§5 Polarer Zerlegungssatz 107
5.1 Verformungsbegriff in der Theorie der einfachen Stoffe 110
5.2 Beispiele für Verzerrungstensoren 116
5.3 Darstellung unitärer Tensoren 122
VIII Inhalt
§6 Tensoren höherer Stufe 123
6.1 Allgemeine Bemerkungen 123
6.2 Komponenten Transformationsformeln 126
6.3 Rechenoperationen 127
6.4 Tensoren dritter Stufe 129
6.4.1 Der S Tensor (sog. "Permutationstensor") 130
6.4.2 Beispiele aus der Mechanik 134
6.5 Tensoren vierter Stufe 138
6.6 Symmetrische Tensoren 4. Stufe 144
6.7 Vollständig symmetrische Tensoren vierter Stufe 151
6.8 Zeitableitungen vollständig symmetrischer Tetraden 156
§7 Differentiation von Funktionen tensorwertiger Argumente 159
7.1 Allgemeine Bemerkungen 159
7.2 Ableitungen skalarwertiger Funktionen (n=0) 161
7.3 Beispiele zu 7.2 170
7.4 Ableitungen vektorwertiger Funktionen (n=l) 180
7.5 Ableitung zweistufig tensorwertiger Funktionen nach tensor
wertigen Argumenten (n=2, m=2) 182
7.6 Ortsableitungen 193
Ergänzungsparagraphen
E§1 Bezugnahme auf schiefwinklige Basissysteme 196
1.1 Allgemeine Bemerkungen 196
1.2 Notation von extensiven Größen 198
1.2a Darstellung von Vektoren 198
1.2b Tensoren zweiter Stufe 200
1.3 Rechenoperationen der Vektor bzw. Tensoralgebra 203
1.3a Skalarprodukte 203
1.3b Vektorprodukte 204
1.4 Spannungstensor 208
1.5 Der Ricci Kalkül 212
1.6 Transformations Formalien bei allgemeinen Basiswechseln $3 • 3^ 214
1.7 Darstellungen der Ableitungen von Funktionen nach vektor bzw.
tensorwertigen Variablen 218
2n
E§2 Cayley Hamilton Theorem für gradzahlig stufige Tensoren A\ 219
2.1 Allgemeine Bemerkungen 219
E§3 Isotrope Funktionen vektor bzw. tensorwertiger Variabler 231
3.1 Allgemeine Hinweise 231
3.2 Isotrope skalarwertige Funktionen 233
3.2.1 Isotrope skalarwertige Funktionen eines Sets vektorwertiger
Variabler 233
3.2.2 Isotrope skalarwertige Funktion W= F(ID) einer symmetrischen
tensorwertigen Veränderlichen ID 242
Inhalt IX
3.2.3 Isotrope skalarwertige Funktion zweier symmetrisch zweistufig
tensorwertiger Variabler (A„, IB_) 247
3.2.4 Isotrope skalarwertige Funktion einer vektorwertigen und einer
symmetrischen zweistufig tensorwertigen Variablen 247
3.2.5 Isotrope skalarwertige Funktion einer allgemeinen (nicht
symmetrischen) tensorwertigen Variablen A 249
3.2.6 Isotrope skalarwertige Funktion zweier tensorwertiger Variabler 251
3.3 Isotrope vektorwertige Funktionen vektorwertiger Veränderlicher 251
3.4.1 Isotrope Zuordnung zwischen zwei symmetrischen zweistufigen
Tensoren £ = F(ID) 254
3.4.2 Isotrope symmetrische zweistufig tensorwertige Funktion
IF = IF(ai) einer vektorwertigen Variablen ai 260
3.5 Allgemeine Bemerkungen zur Konstruktion nicht skalarwertiger
isotroper Funktionen aus skalarwertigen isotropen Zuordnungen 263
E§4 Potenzreihendarstellungen isotroper Funktionen, isotrope Gruppen 269
4.1 Isotrope Tensoren, isotrope Gruppen 269
4.1.1 Allgemeine Bemerkungen 269
4.1.2 Darstellung tensorwertiger Multilinearformen 284
4.1.3 Eigenschaften isotroper Gruppen 286
4.2 Potenzreihendarstellungen isotroper Funktionen 293
4.2.1 Allgemeine Bemerkungen 293
4.2.2 Potenzreihenentwicklungen isotroper Funktionen eines
vektorwertigen Argumentes w 294
4.2.3 Isotrope skalarwertige Bilinearform eines zwei und eines
2 3
dreistufigen Tensors A\ , A\ 302
4.2.4 Lineare isotrope zwei bzw. dreistufig tensorwertige
Funktionen zwei bzw. dreistufiger Argumente 304
4.2.5 Lineare isotrope vektorwertige Funktionen f der 2nten
Ableitungen einer vektorwertigen Variablen (v) 305
4.3 Permutationen 307
2n
4.3.1 Zyklische Permutationsgruppe 2P 307
2n
4.3.2 Permutationsgruppe 3P 312
4.4 Gewichtete Mittelwerte, Mischer (Symmetrierer), Alternierer 320
4.4.1 2n stufige Mischer 321
4.4.2 Alternation 329
E§5 Vektoren und Tensoren im n dimensionalen Vektorraum 345
5.1 Allgemeine Bemerkungen 345
5.2 Plangrößen 356
5.3 p Simplex 376
5.4 Alternierende (sog. "äußere") Produkte 383
5.5 Ergänzungen von Plangrößen 386
5.6 Komponentendarstellung alternierender Tensoren 391
5.7 Orthogonaltransformationen im Y 399
X Inhalt
E§6 Grundtatsachen der (speziell )relativistischen Punktmechanik 413
6.1 Allgemeine Hinweise 413
6.2 Lorentz Minkowski Operator 416
6.3 Relativkinematik eines Massenpunktes 421
6.4 Dynamik des Massenpunktes 424
E§7 Algebraische Strukturen für einen in nicht klassischen
Kontinuumstheorien aufscheinenden Zustandsraum Typ 429
E§8 Zur Frage der Deviatorzerlegungen 448
8.1 Allgemeine Bemerkungen 448
8.2 Die irreduzible Zerlegung des Einheitsoperators in aus
Elementen der Permutationsgruppe bestehende Deviatoren 450
8.3 Young Plateaus 459
8.4 Zerlegungen mittels Deviator Operatoren aus Elementen
der isotropen Gruppen 466
8.5 Isotrope Zerlegung des p fachen Skalarproduktes zweier
p stufiger Tensoren 475
Literaturverzeichnis 480
Stichwortindex 483 |
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