Didaktische Probleme der elementaren Algebra: mit vielen Beispielaufgaben
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Braunschweig
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1993
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1 EINIGE EINLEITENDE GEDANKEN ZUR ELEMENTAREN
ALGEBRA 1
1.1 Was leistet der derzeitige Unterricht aus elementarer Algebra? 1
1.2 Worum geht es in der elementaren Algebra? 6
1.3 Was könnte Unterricht aus elementarer Algebra leisten? 10
1.4 Trennung von Inhalt und Form 15
1.5 Eine Ideologie: Stereotypes Üben 19
1.6 Eine andere Ideologie: Sauberes Erklären 24
1.7 Lernen als Abbilden oder Konstruieren 31
1.8 Zum Erlernen der algebraischen Notation 34
1.9 Elementare Algebra und Computer 37
Auslagerung von Verfahren 37
Computer als Lehr- und Lernhilfsmittel 40
Erweiterungen der Notation durch den Computer 41
2 VARIABLE, TERME UND FORMELN 44
2.1 Aspekte des Variablenbegriffs 44
Was sind Variable? 44
Drei Aspekte 45
Reduktionen des Variablenbegriffs 47
Einflüsse der Aspekte auf die Gleichungslehre 49
Objekt- und Metasprache in der Gleichungslehre 52
2.2 Zum Sinn von Termen und Formeln 55
2.3 Unterrichtsvorschläge zur Einführung von Variablen
im 5. bzw. 6. Schuljahr 65
Beispiel 1: Zahlentricks 65
Beispiel 2: Fahrt mit dem Eurocity 67
Beispiel 3: Einnahmen beim Sportfest 72
Beispiel 4: Paketverschnürungen 73
Beispiel 5: Schneidemaschinen 75
Beispiel 6: Väter, Söhne und Bausteine 76
3 FUNKTIONALE ASPEKTE VON FORMELN 79
3.1 Variablenaspekte, anders betrachtet 79
Ein Exkurs in die Hochschulmathematik 84
Variablenaspekte anderer Autoren 85
3.2 Empirische Beobachtungen zu funktionalen Aspekten von Formeln ... 86
3.3 Unterrichtsvorschläge 88
viii
4 TEXTE UND FORMELN 93
4.1 Ein Umkehrfehler 93
Erklärungsversuche für den Umkehrfehler 96
4.2 Vom Text zur Formel: Ein Dreischritt-Modell 97
Additive Umkehrfehler 102
Fehlererklärungen im Dreischritt-Modell 103
4.3 Fehler im ersten Prozeßschritt 104
Episodisches Denken als Hindernis 105
4.4 Fehler im zweiten Prozeßschritt 106
4.5 Fehler im dritten Prozeßschritt 108
Mißachtung semantischer Konventionen 108
Gleichheit als Entsprechung 111
Auswahl und Anordnung von Symbolen 113
4.6 Interpretieren von Formeln 117
4.7 Unterrichtsvorschläge, die sich aus dem Dreischrittmodell ergeben .... 119
4.8 Traditionelle Textaufgaben in neuem Gewand 123
Direkte und indirekte Proportionalität 123
Prozentrechnen 125
5 THEORETISCHE ERGÄNZUNGEN ZU TEXTEN
UND FORMELN 128
5.1 Erfordern Textaufgaben zwei Denksysteme? 128
5.2 Zahlen als Beziehung oder Objekte 132
6 VON DER ARITHMETIK ZUR ALGEBRA 135
6.1 Bedeutungsveränderungen von Zeichen und Schreibweisen 135
Bedeutungsveränderung der Konkatenation 135
Bedeutungsveränderungen der Operationszeichen 136
Bedeutungsveränderungen des Gleichheitszeichens 137
Eine empirische Untersuchung zur Verwendung des Gleichheitszeichens
von Kindern 140
6.2 Veränderungen der Sichtweise von Termen und Formeln 142
Geschlossene Darstellungen 142
Handlungs- und Beziehungsaspekte von Formeln 144
Wechsel von Handlungs- und Beziehungsaspekten 147
6.3 Veränderungen heuristischer Aktivitäten 149
6.4 Unterrichtsvorschläge zur veränderten Sichtweise von Termen und Formeln 151
Terme als Zahlen 152
Formeln als Beziehungen zwischen Zahlen 153
6.5 Variable vor Zahlen? 155
ix
7 SCHÜLERFEHLER BEIM UMFORMEN 160
7.1 Schemata, Metawissen und Kontrolle 160
Konnexionen 162
7.2 Ein Schemamodell für algebraische Umformungen 163
7.3 Fehler bei der Informationsaufnahme 166
Unvollständige Informationsaufnahme 166
Unzulässiges Strukturieren von Termen 171
7.4 Fehler bei dem Aufruf, der Verarbeitung oder Anwendung von Schemata 172
Üb er generalisieren 172
Unzulässiges Linearisieren 175
Verwendung inadäquater Schemata 176
Bildung unpassender Bedarfsschemata durch Metaschemata 179
Rückgriff auf allgemeine Lebensweisheiten 181
Verwendung zu offener Schemata 181
Verwendung unpassender Ersatzschemata 184
Interferenz von Schemata 184
Nichtbeachtung von Prozedurhierarchien 185
7.5 Ausführungsstörungen 186
8 WEITERE BEOBACHTUNGEN ZU SCHÜLERFEHLERN
BEIM UMFORMEN 188
8.1 Drei Komponenten des Gleichungslösens 188
8.2 Erkennen von Termstrukturen 190
Termstrukturerkennen ohne Umformen 190
Betrachten von Termen unter vorgegebenen Strukturen 194
Ergänzen von Termen 195
Termstrukturerkennen als allgemeine Fähigkeit 196
8.3 Anwenden von Regeln 197
Inwiefern verwenden Schüler Regeln? 197
Begründen von Umformungsschritten durch Regeln 200
8.4 Heuristische Strategien 202
Übersicht 202
Abkürzende Beschreibung einer Strategie 203
Welche Strategien dominieren? 205
Heuristische Strategien und Rechtfertigung 205
9 AFFEKTIVE ASPEKTE VON SCHÜLERFEHLERN .... 206
9.1 Rationales Denken und Wunschdenken 206
9.2 Tiefenpsychologische Aspekte 212
Ängstlichkeit und regelhaftes Denken 214
X
10 UMFORMUNGSREGELN 216
10.1 Beschreibung und Begründung von Umformungsschritten 216
10.2 Die „Geometrie der Tenne 218
10.3 Regeln zum Umformen von Gleichungen 219
Elementarumformungsregeln und Waageregeln 219
Didaktischer Vergleich der Elementarumformungs- und Waageregeln . . . 222
Konsequenzen für den Unterricht 227
10.4 Regeln zum Umformen von Termen 227
Zur Argumentationsbasis bei Termumformungen 227
Metaschemata und Bedarfsregeln 229
10.5 Zum Sinn des Umformens 233
Warum formen wir Formeln und Terme um? 233
Was leisten Umformungsregeln? 235
10.6 Unterrichtsvorschläge zur Einführung von Regeln 236
Einführung von Gleichungsumformungsregeln 236
Einführung von Termumformungsregeln 239
10.7 Bewußtes Anwenden von Gleichungsumformungsregeln 242
Spielerisches und zielgerichtetes Umformen 244
10.8 Bewußtes Anwenden von Termumformungsregeln 245
Eine mögüche Abfolge von Lernschritten 246
Kombination von Gleichungs- und Termumformen 252
Bewußtmachen von Fehlern 252
11 ERKENNEN VON TERMSTRUKTUREN 254
11.1 Aufgaben zum Erkennen von Termstrukturen 255
11.2 Auf- und Abbau von Termen 257
11.3 Substituieren 259
12 FORMELN UND FUNKTIONEN 262
12.1 Vaxiablenaspekte bei Funktionen 263
12.2 Unterrichtsvorschläge zur funktionalen Betrachtung von Formeln
(etwa ab dem 9. Schuljahr) 267
Eine Aufgabensequenz: Meßgläser 267
Eine weitere Aufgabensequenz: Verkehrsunfälle 270
Aufstellen von Formeln aus der Kenntnis von Eigenschaften 272
Literatur 273
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