Théorie générale de l'équation de mathieu et de quelques autres équations différentielles de la mécanique:
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Paris
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1955
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Préface V
Avant propos IX
Avertissement ..., XII
Errata et Addenda XIII
Introduction : L équation de Mathieu en analyse mathématique. . 1
1 L équation de Mathieu (1); 2 Equations voisines de l équa¬
tion de Mathieu (2); 3 Cas limites de l équation de Mathieu (3);
i 4 L équation de Mathieu et la physique mathématique (4);
5° Quelques problèmes de physique se ramenant à l équation de
Mathieu (6); 6* Conditions physiques imposées aux solutions (8).
Première Partie
Les fonctions de Mathieu
Chapitre premier. — Les fonctions de Mathieu et leurs équations
CARACTÉRISTIQUES 13
1 Valeurs propres et fonctions propres (13); 2 Méthode de Ince
(15); 3 Etude de l équation caractéristique (17); 4 Etude du
réseau des courbes caractéristiques (20); 5 Relations impor¬
tantes (21); 6 Propriétés d orthogonalité (21); 7 Normalisa¬
tion (22); 8 Les fonctions de Mathieu modifiées (23); 9 Equa¬
tions apparentées à l équation de Mathieu (23); 10 Fonctions
de Whittaker (24); 11 Fonctions de Lamé Ince (29); 12 Fonc¬
tions de Mathieu associées (32);, 13 Compléments (34) [Méthode
de Mathieu (34); Application à l équation de Whittaker (36);
Remarques sur la non coexistence de deux solutions périodi¬
ques (37)]; Formulaire du chapitre premier (40); Courbes (42).
Chapitre 11. — Développements besséliens. Corrélation 49
1° Développements besséliens des cea(x) (49); 2 Développements
besséliens des *en (x) (51); 3 Théorème de Goldstein (52);
4 Autres développements besséliens. Méthode de Dougall (52);
5 Convergence (55); 6° Représentation dougallienne des fonc¬
tions de Mathieu ordinaires (56); 7* Application aux valeurs
270 LA FONCTION DE MATHIEU
asymptotiques (56); 8 Développements besséliens des fonctions
de Mathieu associées (57); 9 Corrélation (58); 10° Applications
de la corrélation aux fonctions de Lamé (60); Formulaire du
chapitre II (64).
Chapitre III. — Equations intégrales et applications 73
1° Méthode de Laplace (75); 2° Méthode de Whittaker (79);
3° Méthode de Poole (81); 4° Généralisation de cette méthode :
noyaux besséliens (83); 5° Méthode de l opérateur de Ince (84);
6° Méthode de la surface de révolution (85); 7° Applications de
la méthode à la recherche de nouvelles équations intégrales pour
les fonctions de Lamé (88); 8° Equations intégrales des fonctions
de Mathieu modifiées (91); 9° Passage aux fonctions de Weber et
de Bessel (92); 10° Equations intégrales des fonctions de Whit¬
taker (93); 11° Première application des équations intégrales :
Calcul effectif des fonctions de Mathieu (93); 12° Deuxième appli¬
cation : Calcul des expressions asymptotiques (94) ; 13 Troisième
application : Calcul du développement de Neumann d une fonc¬
tion de Mathieu (96) ; 14° Quatrième application : développe¬
ments dougalliens (96); 15° Cinquième application : Relations
entre fonctions de Mathieu (ou de Lamé) de différents indices
(97); Formulaire du chapitre III (100).
Chapitre IV. — Valeurs asymptotiques des fonctions de Mathieu
POUR LES GRANDES VALEURS DES PARAMÈTRES 109
1* Comportement asymptotique des zéros des fonctions de
Mathieu (110); 2° Expressions asymptotiaues des valeurs propres
(112); 3° Méthode de Horn Jeffreys (113) ; 4° Application au cas
de l équation de Mathieu (114); 5° Remarque sur la condensation
des zéros (119); 6° Cas où la paramètre q est imaginaire pur
(119); 7° Remarques sur les zéros des fonctions de Mathieu asso¬
ciées (121); 8° Etude asymptotique des fonctions de Mathieu
associées (123); 9° Etude asymptotique des fonctions de Lamé
(124).
Deuxième Partie
Les fonctions de Mathieu de deuxième espèce
(Secondes intégrales)
Chapitre V. — Fonctions de deuxième espèce de Whittaker 131
1° Définition (131); 2° Méthode de Ince (132); 3° Méthode de
Goldstein (134); 4 Normalisation (135); 5° Formules importantes
(137); 6° Secondes intégrales analogues pour les équations appa¬
rentées (137); Tables numériques (139).
Chapitre VI. — Fonctions de deuxième espèce de Mac Lachlan .... 143
1 Secondes intégrales de Mac Lachlan (144); 2° Convergence de
leurs développements (145); 3° Dégénérescence (146); 4° Equa¬
tions intégrales (146); 5° Applications de ces équations intégrales
(148); 6° Développements dougalliens des inhm et jnh». (150);
7° Définition des fonctions fek» et gekn, non modifiées (151);
8 Autres équations intégrales (à limite infinie) (152); Formulaire
relatif à la deuxième partie (154).
TABLE DES MATIÈRES 271
S
Troisième Partie
Théorie générale de l équation de Mathieu
généralités sur les équations linéaires a coefficients pério¬
DIQUES. Théorie de Floquet , . 171
Chapitre VII. — Intégrale générale pour p et q quelconques.
Solutions stables 175
1 Méthode de Ince (175); 2° Méthode de Whittaker (176); 3 Les
fonctions de Mathieu d indice quelconque (non entier) (179);
4° Relations importantes relatives à ces fonctions (180); 5 Equa¬
tion intégrale des fonctions d indice fractionnaire (182); 6 Re¬
cherche des solutions stables des équations apparentées (183).
Chapitre VIII. — Intégrale générale pour p et q quelconques.
Solutions instables. Exposants caractéristiques 189
1 Méthode de Ince (189); 2° Fonctions d indice complexe (191);
3 Calcul de l exposant caractéristique. Méthode de Poincaré
(192); 4 Méthode de Hill (197); 5 Méthode de M. Léon Bril
louin (200).
Chapitre IX. —Valeurs asymptotiques d une solution quelconque. 203
1° Prolongements analytiques des solutions asymptotiques (203);
2° Valeurs propres pour les fonctions d indice fractionnaire (205);
3° Formules asymptotiques d une solution stable quelconque
(208); 4 Cas d une solution instable (209); 5° Cas particuliers
des solutions de période 4n, 6n, etc. (209); 6 Méthode de Horn
Jeffreys (210); 7 Application à la recherche des solutions pério¬
diques et de leurs courbes caractéristiques (213) ; 8° Etude des
solutions asymptotiques de l équation modifiée (218).
: Chapitre X. — L équation de Mathieu comme équation linéaire a
COEFFICIENTS RATIONNELS 225
1 Changement de variable de Mac Laurin (225); 2 Prolonge¬
ment analytique des solutions : méthode de Poole (229); 3° Calcul
de l invariant de Poincaré (231); 4 Cas des fonctions de période
2 s» (232); 5° Cas de l équation de Mathieu associée (233);
6° Changement de variable de Lindemann (235); 7 Application
aux solutions périodiques (237); 8° Théorie de Lindemann (238);
9° Remarques sur l équation de Lamé (243); 10° L équation de
Mathieu et ses apparentées dans la classification de Klein Bôcher
(244); Tableau des différents types de la classification (250).
Bibliographie 253
Index 265
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