Theorie der Differentialgleichungen: Vorlesungen aus dem Geamtgebiet der gewöhnlichen und der partiellen Differentialgleichungen
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer
1926
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| Schriftenreihe: | Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung 1
Erster Abschnitt.
Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.
I. Kapitel.
Elementare Integrationsmethoden.
§ 1. Die Trennung der Variablen 6
§ 2. Lineare Differentialgleichungen 10
§ 3. Einparametrige Kurvenscharen 12
§ 4. Exakte Differentialgleichungen . . 15
§ 5. Der integrierende Faktor 16
§ 6. Die Clairautsche Differentialgleichung und Verwandtes 20
§ 7. Ziel und Tragweite der elementaren Integrationsmethoden 23
II. Kapitel.
Die Methode der sukzessiven Approximationen und
verschiedene Anwendungen derselben.
§ 1. Das Verfahren der sukzessiven Approximationen 26
§ 2. Die graphische Darstellung der Differentialgleichungen 33
§3. Wie beurteilt man die Güte einer Näherung? 36
§ 4. Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen 39
§ 5. Die Euler Cauchysche Polygonmethode 41
§ 6. Integration durch Potenzreihen 47
§ 7. Übertragung der Simpsonschen Regel 49
III. Kapitel.
Diskussion des Verlaufs der Integralkurven.
§ 1. Elementare Betrachtungen 51
§2. Singuläre Punkte 53
§ 3. Die homogene Differentialgleichung y = y~^ZL ß~ 56
§ 4. Allgemeine Sätze über den Verlauf der Integralkurven im reellen Gebiet 60
dy
§5. Die Differentialgleichungen *«»— = ay + bx + ty(x, y) 71
dv Cx + Dy + 6 (*, y)
§ 6. Die Differentialgleichungen ¦ = t—^—^—y—j [ 74
5 B ° dx Ax By e (x, y)
§ 7. Über die Verteilung der singulären Stellen 89
§ 8. Singuläre Lösungen 94
IV. Kapitel.
Differentialgleichungen erster Ordnung im komplexen Gebiet.
§ 1. Feste und bewegliche Singularitäten 100
§2. Differentialgleichungen mit eindeutigen Integralen 105
dw Cz + Dw U R. iz, w)
§3. Die Differentialgleichungen = — .—= —^ ¦ in der Um
3 dz A z B w ^j (z, w)
gebung von z—w = o 108
VIII Inhaltsverzeichnis.
Zweiter Abschnitt.
Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
I. Kapitel.
Die Existenz der Lösungen. Seite
§ 1. Die Methode der sukzessiven Approximationen 115
§ 2. Geometrische Veranschaulichung 117
II. Kapitel.
Elementare Integrationsmethoden.
§ 1. Einige Typen von Differentialgleichungen 119
§ 2. Die Differentialgleichung der Kettenlinie 121
§ 3. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . 123
III. Kapitel.
Diskussion des Verlaufs der Integralkurven.
§ 1. Geschlossene Integralkurven 132
§ 2. Die Lösungskurven linearer Differentialgleichungen 146
§ 3. Randwertaufgaben 157
§ 4. Nähere Betrachtung der Eigenwerte und der Eigenfunktionen von
y ( (cr + Aß) y = 0 160
§ 5. Über die Entwicklung willkürlicher Funktionen nach den Eigenfunk¬
tionen eines Randwertproblems 173
§ 6. Die Besselsche Differentialgleichung 176
§ 7. Zusammenhang mit der Theorie der Integralgleichungen 180
IV. Kapitel.
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
im komplexen Gebiet.
§1. Lage der Singularitäten der Lösung 183
§ 2. Die Natur der Singularitäten 184
§ 3. Außerwesentliche und wesenliche Singularitäten 187
§ 4. Auflösung einer Differentialgleichung in der Nähe einer außerwesent¬
lichen singulären Stelle 190
§ 5. Anwendung auf die Besselsche Differentialgleichung 197
§ 6. Differentialgleichungen der Fuchsschea Klasse 198
§ 7. Die hypergeometrische Differentialgleichung 201
§ 8. Analytische Fortsetzung einer einzelnen Lösung 204
§ 9. Legendresche Polynome 212
Dritter Abschnitt.
Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung und
Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
§ 1. Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung 216
§ 2. Geometrische Deutung. Verallgemeinerung 225
§ 3. Vorläufige Betrachtung der allgemeinen partiellen Differentialglei¬
chung erster Ordnung 229
§ 4. Die allgemeine Gleichung erster Ordnung 231
§ 5. Überbestimmte Systeme von partiellen Differentialgleichungen . . . 240
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
§ 6. Über die Integration der für die charakteristischen Streifen aufgestell¬
ten Differentialgleichungen 243
§ 7. Das vollständige Integral 247
§ 8. Integration einiger spezieller Differentialgleichungen 252
§ 9. Differentialgleichungen, in welchen die unbekannte Funktion nicht
explizite vorkommt 255
§ 10. Anwendungen in der Mechanik 255
§ 11. Die Charakteristikentheorie im Fall von n unabhängigen Veränder¬
lichen 260
§ 12. Das vollständige Integral im Falle von » unabhängigen Veränder¬
lichen 264
§ 13. Kanonische Transformationen und Berührungstransformationen . 281
§ 14. Systeme gewöhnlicher linearen Differentialgleichungen mit konstan¬
ten Koeffizienten 295
Vierter Abschnitt.
Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
I. Kapitel.
Allgemeines.
§ 1. Existenzsatz 300
§2. Charakteristiken 306
§3. Monge Ampiresche Differentialgleichungen 309
§ 4. Lineare Differentialgleichungen 314
II. Kapitel.
Hyperbolische Differentialgleichungen.
§ 1. Die Laplacesche Kaskadenmethode 316
| 2. Die Riemannsche Integrationsmethode 317
§ 3. Die Differentialgleichung der schwingenden Saite 325
III. Kapitel.
Elliptische Differentialgleichungen.
| 1. Die GmJttsche Formel 327
§ 2. Die erste Randwertaufgabe beim Kreis 331
%3. Die Differentialgleichung /lu f A« =0 337
§ 4. Verallgemeinerungen 348
IV. Kapitel.
Parabolische Differentialgleichungen.
§ 1. Existenz und Unität der Lösungen 350
§ 2. Der lineare begrenzte Leiter 353
§ 3. Der unbegrenzte Leiter 354
Namenverzeichnis 357
Sachverzeichnis 358
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