Grundzüge der Ausgleichungsrechnung: nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendung in der Geodäsie
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Berlin [u.a.]
Springer
1969
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Überblick über die Methode der kleinsten Quadrate 1
I. Abschnitt
Grundzüge der Fehlerlehre
§ 1. Fehlerarten, theoretische Mittelwerte und Streuungsmaße 6
1.1 Grobe, systematische, zufällige und totale Fehler 6
1.2 Der theoretische Mittelwert 8
1.3 Die theoretischen Streuungsmaße 10
1.4 Zur Berechnung der Streuungsmaße 11
§ 2. Der mittlere Fehler von Funktionen unabhängiger Messungsgrößen (Gaußsches
Fehlerfortpflanzungsgesetz) 13
2.1 Der Einfluß der Beobachtungsfehler auf Funktionen gemessener Größen 13
2.2 Der relative Fehler einer Funktion gemessener Größen 14
2.3 Der mittlere Fehler einer Funktion gegenseitig unabhängiger Messungs¬
größen 15
§ 3. Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler bei Beobachtungen
gleicher Genauigkeit 24
3.1 Wahre und übrigbleibende Fehler 24
3.2 Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler einer ursprüng¬
lichen Beobachtung 24
3.3 Empirischer mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels direkt beobachte¬
ter Messungsgrößen 26
§ 4. Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler bei Beobachtungen
verschiedener Genauigkeit 29
4.1 Einführen des Gewichts und des allgemeinen arithmetischen Mittels ... 29
4.2 Beziehungen zwischen Gewichten und mittleren Fehlern 30
4.3 Die Gewichte von Funktionen direkt beobachteter Messungsgrößen ... 32
4.4 Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit; homogenisierte und standardi¬
sierte Beobachtungen 33
4.5 Gewichtsreziproke oder Kofaktoren 35
§ 5. Empirische mittlere Beobachtungsfehler aus Doppelmessungen 38
5.1 Beobachtungspaare gleichen Gewichtes 38
5.2 Beobachtungspaare verschiedenen Gewichtes 39
§ 6. Fehlerfortpflanzungsgesetze für Beobachtungen mit systematischen Fehler¬
anteilen und für korrelierte Beobachtungen 42
6.1 Beobachtungen mit systematischen Fehleranteilen 42
6.2 Gegenseitig abhängige oder korrelierte Beobachtungen 47
§ 7. Das Gaußsche Fehlergesetz 50
7.1 Fehlerhäufigkeit und Fehlerwahrscheinlichkeit 50
7.2 Die Fehlerhäufigkeits- und die Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion ... 51
VIII Inhaltsverzeichnis
7.3 Die graphische Darstellung von q (e) 54
7.4 Hagen?, Ableitung des Fehlergesetzes 56
7.5 Fehlergesetz und Beobachtungsreihen 60
§ 8. Die fehlertheoretische Begründung und die mittleren Fehler der Genauigkeits¬
maße 61
8.1 Beziehungen zwischen t, i, g und h 61
8.2 Zur Theorie des Maximalfehlers 64
8.3 Der mittlere Fehler eines aus n wahren Fehlern berechneten empirischen
mittleren Fehlers 65
8.4 Der mittlere Fehler eines aus n übrigbleibenden Fehlern berechneten em¬
pirischen mittleren Fehlers 67
8.5 Zufallskriterien 70
II. Abschnitt
Ausgleichung von direkten Beobachtungen
§ 9. Grundprinzip und Formen der Ausgleichungsaufgabe 72
9.1 Die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung 72
9.2 Das Ausgleichungsprinzip 72
9.3 Ausgleichungsverfahren 74
§ 10. Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit (Arithmetisches
Mittel) 75
§11. Ausgleichung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit (Allgemeines
arithmetisches Mittel) 78
§ 12. Beobachtungen mit Summengleichung 81
III. Abschnitt
Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen
§13. Einführung in die Methode der vermittelnden Beobachtungen 85
§ 14. Aufstellen der Fehlergleichungen 87
14.1 Wahl der Unbekannten 88
14.2 Lineare Fehlergleichungen 88
14.3 Nichtlineare Fehlergleichungen 89
§15. Aufstellen und Auflösen der Normalgleichungen 91
15.1 Aufstellen der Normalgleichungen 91
15.2 Auflösen der Normalgleichungen nach dem Gaußschen Algorithmus . . 93
15.3 Übergang auf mehrere Unbekannte 94
15.4 Das System der Endgleichungen 96
§16. Vervollständigung des Algorithmus durch Summen- und [vv]-Proben .... 97
16.1 Die Summenproben 97
16.2 v-Proben und [vv]-Proben 99
16.3 Die Schlußprobe 102
16.4 Anordnung der Zah lenrechnung 102
§ 17. Gewichtskoeffizienten und mittlere Fehler der Unbekannten 105
17.1 Herleitung der Gewichtskoeffizienten 105
17.2 Berechnung der Gewichtskoeffizienten aus ihren Endgleichungen . ... 109
17.3 Gleichzeitige Auflösung von Normal-und Gewichtsgleichungen .... 111
17.4 Die unbestimmte Auflösung 112
17.5 Gewichtskoeffizienten bei nur zwei Unbekannten 115
Inhaltsverzeichnis IX
§18. Mittlere Fehler der beobachteten Größen 116
18.1 Ableiten der Fehlerformel 116
18.2 Zweite Gaußsche Begründung der Methode der kleinsten Quadrate . . . 118
§ 19. Vermittelnde Beobachtungen verschiedener Genauigkeit 120
§ 20. Die Gewichte von Funktionen der Unbekannten 123
20.1 Berechnen des Funktionsgewichtes mit Hilfe der Gewichtskoeffizienten . 123
20.2 Berechnen des Funktionsgewichtes durch Erweitern des ursprünglichen
Normalgleichungssystems 126
20.3 Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beobach¬
tungen 127
20.4 Freie oder nicht korrelierte Funktionen 128
§21. Rechenmaschinenlogarithmen 130
21.1 Der mechanisierte Gaußsche Algorithmus 130
21.2 Der moderne Gaußsche Algorithmus 131
21.3 Der Algorithmus von Choksky 136
§22. Übersicht über die Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen 138
§23. Ausgleichung von Höhennetzen 141
§ 24. Reduzierte Fehlergleichungen 144
24.1 Elimination einer Unbekannten mittels der Summengleichung 144
24.2 Die Schreibersche Regel 145
§ 25. Stationsausgleichungen 148
Nr § 26. Trigonometrisches Einschneiden 158
§ 27. Ausgleichung von Streckennetzen 184
§ 28. Die Ausgleichung von Triangulierungsnetzen nach vermittelnden Beobach¬
tungen 189
28.1 Ausgleichen von Füllnetzen 189
28.2 Ausgleichen von freien Flächennetzen 190
IV. Abschnitt
Die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen
§ 29. Einführung in die Methode der bedingten Beobachtungen 193
§30. Das Aufstellen der Bedingungsgleichungen 194
30.1 Aufsuchen der Bedingungen 194
30.2 Lineare Bedingungsgleichungen 195
30.3 Nichtlineare Bedingungsgleichungen 197
§31. Korrelatengleichungen, Normalgleichungen und Proben 197
31.1 Aufstellen und Auflösen der Korrelatengleichungen und der Normal¬
gleichungen 197
31.2 Die [vv]-Proben 199
31.3 Summenproben und Schlußprobe 200
§32. Mittlerer Fehler einer beobachteten Größe 201
32.1 Zurückführen bedingter auf vermittelnde Beobachtungen 201
32.2 Die Berechnung des mittleren Fehlers einer beobachteten Größe .... 202
§ 33. Bedingte Beobachtungen mit ungleichen Gewichten 203
X Inhaltsverzeichnis
§ 34. Die Gewichte von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen 204
34.1 Darstellen des Funktionsgewichtes mittels der Übertragungskoeffizienten 204
34.2 Berechnen der Funktionengewichte 206
34.3 Die Gewichtskoeffizienten der ausgeglichenen Beobachtungen 208
34.4 Das Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beob¬
achtungen 210
§35. Übersicht über die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen 211
§36. Einfache Anwendungen der bedingten Beobachtungen 213
§ 37. Bedingungsgleichungen in Dreiecksnetzen 220
37.1 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in freien Netzen 220
37.2 Abzählformeln bei Winkelbeobachtungen in freien Netzen 222
37.3 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in angeschlossenen Netzen . . . 226
37.4 Behandlung von Richtungssätzen 227
37.5 Fehlerberechnung in trigonometrischen Netzen 228
§ 38. Iterative und gruppenweise Behandlung von Bedingungsgleichungen 239
38.1 Ein Gaußsches Iterationsverfahren 239
38.2 Näherungsausgleichung von Dreiecksnetzen mit Richtungsbeobachtungen 241
38.3 Reduzierte Bedingungsgleichungen 241
38.4 Das Krügersche Zweigruppenverfahren 243
§39. Entwicklungsverfahren und Substitutionsverfahren 251
39.1 Grundgedanken des Entwicklungsverfahrens 251
39.2 Die Entwicklung des Korrelaten nach den Widersprüchen 252
39.3 Der Algorithmus des Entwicklungsverfahrens 253
39.4 Grundgedanken des Substitutionsverfahrens 256
V. Abschnitt
Ausgleichung von korrelierten Beobachtungen
§ 40. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen 261
40.1 Direkte Lösung 261
40.2 Zweistufige Ausgleichung nach F. W. Bessel 262
40.3 Eine Lösung von C. F. Baeschlin 264
§41. Bedingungsgleichungen mit Unbekannten 270
41.1 Allgemeine Form der Ausgleichungsaufgabe 270
41.2 Fehlergleichungen mit verschiedenartigen Beobachtungsgrößen 272
§ 42. Ausgleichen korrelierter Beobachtungen mittels äquivalenter Fehlergleichungen 277
42.1 Äquivalente Fehlergleichungen 277
42.2 Ausgleichen korrelierter Größen nach bedingten Beobachtungen .... 278
42.3 Ausgleichen korrelierter Größen nach vermittelnden Beobachtungen . . 280
§ 43. Ausgleichen korrelierter Beobachtungen mit Hilfe der Matrix der Gewichts¬
koeffizienten 286
43.1 Das Ausgleichungsverfahren 287
43.2 Ausgleichen korrelierter Größen nach bedingten Beobachtungen .... 296
43.3 Ausgleichen korrelierter Größen nach vermittelnden Beobachtungen . . 297
Inhaltsverzeichnis XI
VI. Abschnitt
Sonderaufgaben und mathematische Statistik
§44. Ausgleichung durch schrittweise Annäherung 300
§ 45. Bestimmen der Konstanten einer linearen Transformation (Helmert-Trans-
formation) 311
45.1 Berechnen der Transformationskonstanten aus den auf die Schwerpunkte
bezogenen Koordinaten der Paßpunkte 311
45.2 Berechnen der Konstanten zur Transformation photogrammetrischer
Modelle aus den ursprünglichen Koordinaten der Paßpunkte 314
§46. Genäherte Darstellung von Funktionen 317
46.1 Bestimmung der ausgleichenden Geraden 318
46.2 Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe 322
46.3 Darstellung einer Funktion durch trigonometrische Reihen 325
§47. Grundbegriffe der mathematischen Statistik; Normalverteilung 335
47.1 Einführung 335
47.2 Grundgesamtheit, Verteilungs- und Dichtefunktionen 337
47.3 Die Parameter der Grundgesamtheit 339
47.4 Die Gaußsche Normalverteilung 342
47.5 Die Standardform der Normalverteilung 342
47.6 Die Xp %-Grenzen der Normalverteilung und die theoretischen Maximal¬
fehler 344
§ 48. Stichprobenverteilungen und Vertrauensgrenzen 346
48.1 Die Parameter der Stichprobe 346
48.2 Prüfen einer Stichprobe auf Normalverteilung; das Wahrscheinlichkeits¬
netz 347
48.3 Vertrauensbereich für den empirischen Mittelwert bei bekanntem a
(Normalverteilung) 352
48.4 Vertrauensbereich für den empirischen Mittelwert bei unbekanntem a
(«-Verteilung) 354
48.5 Vertrauensbereich für ff, wenn.s bekannt ist (x2-Verteilung) 358
48.6 Vertrauensgrenzen für den Quotienten zweier Standardabweichungen
(F-Verteilung) 363
§ 49. Statistische Prüfverfahren oder Signifikanzteste 367
49.1 Allgemeines über Signifikanzteste 367
49.2 Signifikanztest für den Mittelwert bei bekanntem a 369
49.3 Signifikanztest für den Mittelwert bei unbekanntem a 372
49.4 Testen des Verhältnisses von zwei empirischen Varianzen 374
49.5 Prüfen auf Häufigkeitsverteilung (xz-Anpassungstest) 375
49.6 Die Streuungszerlegung oder Varianzanalyse 378
49.7 Prüfung von Abhängigkeiten (Regression und Korrelation) 383
49.8 Zur Anwendung der statistischen Verfahren auf geodätische Beobach¬
tungen 386
VII. Abschnitt
Anwendungen der Matrizenrechnung auf die Ausgleichungsrechnung
§ 50. Grundregeln der Matrizenrechnung 388
50.1 Definition und Bezeichnungen 388
50.2 Rechenoperationen mit Matrizen 390
XII Inhaltsverzeichnis
50.3 Sonderfälle und Anwendungen der Multiplikationsregel 392
50.4 Inversion der Matrizen 394
50.5 Symmetrische Matrizen 397
50.6 Differentiation von Matrizenfunktionen 401
§51. Ausgleichen vermittelnder Beobachtungen 402
51.1 Die Fehlergleichungen 402
51.2 Die Normalgleichungen 403
51.3 Berechnung der Unbekannten 403
51.4 Einflußzahlen und Gewichtskoeffizienten (Kofaktoren) 404
51.5 Gewicht einer Funktion der Unbekannten 405
51.6 Gewicht einer Funktion von Funktionen 405
51.7 Verprobung durch die Fehlerquadratsumme 406
51.8 Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit 406
§ 52. Ausgleichen bedingter Beobachtungen 406
52.1 Die Bedingungsgleichungen 406
52.2 Die Normalgleichungen 407
52.3 Die gewogene Fehlerquadratsumme 407
52.4 Gewichte der ausgeglichenen Beobachtungen und ihrer Funktionen . . . 408
§ 53. Einige Sonderaufgaben 408
53.1 Das Boltzsche Entwicklungsverfahren • . 408
53.2 Das Boltzsche Substitutionsverfahren 410
53.3 Ausgleichen korrelierter Beobachtungen 412
Schrifttum (Auswahl) 415
Namen- und Sachverzeichnis 417
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