Ausführliches Lehrbuch der höhern Mathematik: mit besonderer Rücksicht auf die Zwecke des practischen Lebens 2 Anwendung der Algebra auf die Geometrie, als Einleitung; die analytische Geometrie in der Ebene ... : mit sieben Kupfertafeln
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| Published: |
Wien
Gerold
1833
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Seite
Luhalt des zwei feu Bandes·
Einleitung.
U eber die Anwendung der Albgebra auf die Geome-
trie ; geometrische Construction algebraischer Aus-
drücke , und Auflösung einiger bestimmten geometri-
schen Aufgaben. . 1
Beispiel. . -j
A) Construclion der homogenen oder gleichartigen
algebraischen Ausdrücke. 6
Beispiele (von ։ bis 8) . . io
B) Construction der ungleichartigen algebraischen Aus-
drücke . . ï .·.,. i5
Beispiele (von t bis i). i6
Construction der quadratischen Gleichungen mit einer Un-
bekannten . . . . 17
Anwendung der Algebra auf die Auflösung einiger
Aufgaben über die gerade Linie und den Kreis.
Aufgaben (von ։ bis 6) summt ihren Auflösungen . ao
Erster Abschnitt.
Die analytische Geometrie in der Ebene
oder auf zwei Coördinaten bezogen.
Erstes Gapitel.
Bestimmung der Lage eines Punctes; Gleichungen des
Punctes und der geraden Linie j Aufgaben über die
letztere.
Lage und Gleichxingen des Punctes.3/
Entwicklung der Formel für die Distanz zweier Puncte . . 4°
Gleichungen der geraden Linie.41
Discussion der Gleichung y ss aar + .4^1
Aufgaben über die gerade Linie (v. 1 bis 9) sammt Auflösungen 4^
,/
Zweites Capitcl.
Gleichung des Kreises und einige Aufgaben über denselben.
Λ · Seito
Allgemeine Gleichung des Kreises.5 )
Besondere, einfachere Gleichungen desselben . 60
Discussion der Gleichung x2· -j- y- = r2.62
Aufgaben über den Ureis , sammt Auflösungen.64
Drittes Capitel.
' Ueber die geometrischen Oerter. . 69
Beispiele hierüber (von 1 bis 2) . . . . . . . . . 71
Der Ort einer Gleichung des ersten Grades zwischen x und^·
ist eine gerade Linie. 7Յ
Beispiele (von 1 bis 5) . . 74
Der Ort der Gleichung x- + + Λχ -\· ßy + C = o ist
eine Hreisperipberie . 76
Beispiele (von i bis 5) . . 77
Ueber den Nutzen, welchen die geom. Oerter bei Auflösung
von bestimmten und unbestimmten Aufgaben
gewähren,. . 78
Beispiel.80
Viertes Capitel.
1
Von einigen Verbindungen der geraden Linien unter
einander und mit dem Kreise; Auflösung mehrerer
bestimmten und unbestimmten Aufgaben.
Drei e ehe. 83
Umwicklung mehrerer Sätze für dasselbe (von 1 bis 4) · . —
Aufgabe. go
Kreise. 91
Entwicklung des Kennzeichens für das Durchschneiden und
Berühren zweier Kreise. ■—
Aufgaben (von 1 bis 3)։ sammt Auflösungen.95
Tangenten . . . . ։ . . . 97
Bedingung, unter welcher eine durch einen gegebenen Punct
gebende Secante des Kreises zur Xangehto desselben wird 98
Das Problem der Tangenten , wenn der Berührungspuncl ge.
geben ist 101
Bestimmte Aufgaben.
Aufgaben (von 1 bis 4) 5 sammt ihren Auflösungen . . . 106
Seito
»aa VII =
Unbestimmte Aufgaben.
Aufgaben (von * bis 5), sammt ihren Auflösungen . . . 116
Fünftes Capitel.
Umwandlung oder Transformation der Coordinaten.
Entwicklung der allgemeinen Formeln, um von einem sebief-
winkeligeu Parallel-Coordinatensystem auf ein ähnliches
überzugehen . i։6
Besondere, einfachere Fälle. . . . . ,. . , ia8
Polar-C oordinaten .,.i3o
Formeln, um von einem Parallel- auf ein Folar-Coordinaten-
syslem überzugefaen . . i3»
Sechstes Capitel.
Ableitung der Gleichungen der Ellipse, Hyperbel
und Parabel.
DieEllipse.
Erklärung .»33
Oonstruction der Ellipse mittelst Puncto . —
» durch eine stetige oder ununterbrochene Bewe-
gung .*34
Entwicklung der Gleichung der Ellipse, die Abscissen
vom Mittelpunct gezählt . .*35
Die daraus folgenden Haupteigenscbaften dieser Curve . . *38
Beispiele.14*
Gleichung der Ellipse, die Abscissen vom Scheitel gezählt i43
Die Hyperbel.
Erklärung. —
Oonstruction der Hyperbel mittelst Functe.—
» durch eine ununterbrochene Bewegung . . . *44
Entwicklung der Gleichung der Hyperbel, die Abscissen
vom Mittelpunct aus gezählt .*45
Die daraus folgenden Haupteigenschaften der Hyperbel . . *47
Beispiele. 53
Gleichung der Hyperbel, wenn die Abscissen von einem Schei-
tel gezählt werden . . ·
Die Parabel.
Erklärung .*54
«·» VIII
8cito
Construction der Parabel mittelst Puncte . 55
» durch eine ununterbrochene· Bewegung . —
Entwicklung der Gleichung der Parabel.i56
Die daraus folgenden Haupteigensehaften dieser Curve · . ։57
Anmerkung, sammt einigen Beispielen. . . —
Ueber den Zusammenhang, welcher zwischen diesen drei er.
örterten Curven besteht . . . 58
Siebentes Capitel.
Ueber die tinien der zweiten Ordnung, oder die geo-
metrische Bedeutung einer Gleichung des zweiten Gra-
des zwischen zwei veränderlichen Gröfsen,
Eintheilung der krummen Linien in verschiedene Ordnungen 161
Vereinfachung der Gleichung Ay1 -|- B y -J- Ca?* + Dy
-|- Ex y F = o durch Transformation . · . · ։64
Discussion der beiden Gleichungen My- + N · = P und
y* = Q x.
Aufstellung eines Kennzeichens zur Unterscheidung der drei
bisher erörterten Curven.17։
Aufsuchung des Mittelpunotes der Li nien zweiter Ordnung 175
Achtes Capitel.
Ueber die Identität der Linien zweiter Ordnung mit
den Kegelschnitten,
Ableitung der allgemeinen Gleichung der Kegelschnitte 177,
Discussion dieser Gleichung . 179
Gleichung des Cylinderscbnitts ■ , · ■ · . · · 184
Discussion dieser Gleichung . . . . . , —
Neuntes Capitel.
Ueber die besondern Eigenschaften der Kegelschnitte
oder Linien zweiter Ordnung.
Vorläufige Bemerkung.187
I. Eigenschaften dieser Curven auf ihre Hauptaxen
bezogen.
A) Für die Ellipse und Hyperbel.
a) Für die E 11 i p s e . , . . .
b) Für die Hyperbel . , . ,
r
r
. . 188
• . 189
I
Seite
Die Ordinaten des über der ersten Axe einer Ellipse als
Durchmesser beschriebenen Kreises geben, im Verhält-
nifs beider Axcn modificirt, die entsprechenden Ordi-
naten der Ellipse .
Die Supplementar-Sebnen der Axen.
a) Für die Ellipse. . . 191
¿)JFür die Hyperbel .194
fi) Für die Parabel.—
II, Von den Durchmessern oder Diametern dieser Curvcn.
A) In der Ellipse und Hyperbel.
a) Für die Ellipse.198
b) Für die Hy perb el . . . .200
U) In der Parabel . . . . . . —
Die conjugirten Diameter.
a) In der Ellipse.20a
b) In der Hyperbel.204
c) In der Parabel . . .206
Die S upp 1 em en t ar-S e h nen der Diameter.
a) und b) Für die Ellipse und Hyperbel , —
III. Yon den Tangenten der Linien zweiter Ordnung
auf ihre Hauptaxen bezogen.
A) Für die Ellipse und Hyperbel.208
0) Für die Parabel. . . . 217
IV. .Von den Tangenten der Linien zweiter Ordnung
auf ihre Durchmesser und Radienyectoren bezogen.
Für die Ellipse und Hyperbel . . , . · 224
Entwicklung jener Eigenschaften, denen die Brennpuncte
ihre Benennung verdanken. 226
Einfachste Methode, ein an die Ellipse oder Hyperbel von
einem gegebenen Punct aus, dieser mag in der Curve
selbst oder aufsorhalb derselben liegen, eine Tangente
?u ziehen.229
B) Für die Parabel . .23a
Einfachste Methode, an die Parabel von einem gegebenen
Puncte aus eine Tangente zu ziehen ,.a33
V." Die Linien der «weiten Ordnung auf ihre einfachen
und conjugirten Diameler bezogen.
Seite
A) Eigenschaften der Ellipse und Hyperbel
in Bezug auf die conjugirten Diamcter a35
Aufgabe:
Die Ellipse aus einem gegebenen System.conjugirter Diamcter
zu eonstruiren .237
Gleichung der Tangente. 238
Supplementarsehuen. 2/(0
Folgerungen. —
In der Ellipse ist die Summe, und in der Hyperbel die Dif-
ferenz der Quadrate zweier conjugirten Diamcter bezie-
hungsweise der Summe und Differenz der Quadrate
beider Axen gleich . . ։. 243
Jedes der Ellipse um - und Hyperbel eingeschriebene Paralle-
logramm , dessen Seiten mit zwei conjugirten Diaine-
tern parallel laufen, ist dein Rechteche der beiden Ax.cn
- gleich ՛. . · . . . . . .2.(4
Die zwischen der Curvc und den Asymptoten der Hyperbel
Hegenden Abschnitte einer beliebig gezogenen Secante
sind einander gleich.24h
Aufgaben:
։. Es sind die beiden Axen der Ellipse gegeben, man sucht
ein paar conjug. Diamcter derselben , welche einen ge-
gebenen Winkel einschlicfseu.20։
2. Es ist eine Ellipse oder Hyperbel gegeben, man soll die
beiden Ilauptaxen derselben der Lage und Gröfse nach
bestimmen . 253
3, Ein paar conjugirte Diamcter nebst dem Conjugationswin-
hel sind gegeben, man sucht die Axen der Ellipse , . 2Ö5
E) Eigenschaften der Parabel auf ihre Di a-
meter oder conjuglrte Axen bezogen . . 2Ö6
A u f g a b e:
Die Parabel zu eonstruiren, wenn ein paar conjugirte Axen
und der auf dieses System sieb beziehende Parameter
gegeben sind . 258
Tangenten.209
Aufgaben:
i. Für eine gegebene Parabel die Axe und den Ilrennpunct
zu bestimmen . 260
Seite
2. ln einer gegebenen Parabel ein System conjugirter Axen
ги- construiren , welches1 einen gegebenen Winkel eiu-
sehliefst . ,.261
3. Zu untersuchen, ob ein vorliegendes Stück einer Hegel-
sclinittslinie einer Ellipse, Hyperbel oder Para-
bel angebört.аба
YL Die Hyperbel auf ihre Asymptoten bezogen.
Entwicklung der Gleichung der Hyperbel in Beziehung auf
ihre Asymptoten .( . . . 263
Entwicklung der Gleichung der Tangente in Beziehung auf
* ihre Asymptoten . 266
Die zwischen der Curve und den Asymptoten liegenden Ab-
schnitte einer beliebig gezogenen Secante sind einander
gleich .267
Eigenschaften der sogenannten conjugirten Hyperbeln . 269
VII. Die Polafgleichungen der Linien zweiter Ordnung.
a) Polargleichung der E11 ip.27։
b) » »Hyperbel. 273
՛ c) » »Parabel . 276
YIII. Aufgaben über die Linien zweiter Ordnung.
Vorbereitung .279
Aufgaben:
1. Die Parabel zu construiren, wenn aufser einem System
conjugirter Axen noch ein Punct derselben gegeben ist 281
2. Die Parabel zu construiren, wenn derBrennpunct, eine
Tangente und irgend ein Punct der Curve gegeben sind 282
3. Die Parabel zu construiren, wenn zwei Puncte der
Curve, die Lage ihrer Diameter und der Winkel gege-
ben sind, welchen die in dem einen der beiden gegebe-
nen Puncte gezogene Tangente mit dem Diameter bildet —-
4· Die Ellipse zu construiren, wenn aufser der Gröfse und
Lage der grofsen Axe noch ein Punct der Curve gege-
ben ist.284
5. Die Ellipse zu construiren, wenn der Mittelpunct, die
Gröfse der ersten Axe und eine Tangente, sararat dem
Berülirungspunct gegeben sind. —-
6, Die Hyperbel zu construiren, wenn aufser der ersten
Axe noch ein Punct derselben gegeben ist . 28a
XII
Seit«
7. Die Hyperbel zu construiren, wenn ein Brennpunet,
eine Asymptote und a) die Gröfse der ersten, oder
¡3) das Verhältnifs beider Axen gegeben sind . 286
8. Es sind drei gerade Linien und ein Punct gegeben; man
soll einen Kegelschnitt so construiren, dafs er die
drei Geraden berührt und den gegebenen Punct zum
Brennpunet erhält.287
Aufgaben (ohne die Auflösungen) zur eigenen
U e b u n g.
a) Für die Ellipse . . . . .288
bj Für die Hyperbel. 289
c) Für die Parabel.! . . 290
Zehntes Capitel.
Consti’uction der Gleichungen des zweiten, drit-
ten und vierten Grades zwischen zwei veränder-
lichen Gröfsen x, y, nebst ihrer Anwendung auf die
Auflösung einiger Aufgaben.
I. Construction der Gleichungen des zweiten Gra-
des oder der Linien zweiter Ordnung . . . 991
Einleitende Bemerkungen für die folgenden Beispiele . . . 9.96
Beispiele.
Erste Classc. Curven, welche nach allen Seiten hin begrenzt
sind, oder Ellipsen.
Beispiele (von t bis 3) . .299
Beispiele zur Selbstübung.3o5
Zweite Classe. Curven, welche blofs nach einer Richtung
begrenzt sind, oder Parabeln.
Beispiele (von ։ bis 2) *. 3o6
Beispiele zur eigenen Uebung . 309
Dritte Classe. Curven, welche sich nach allen Seilen ins
Unendliche erstrecken, oder Hyperbeln.
Beispiele (von i bis 3).,.3։o
Beispiele zur Selbstübung . 316
Seite
— XIII m
II. Anwendung der Theorie der Linien zweiter Ord-
nung auf die Coustruction der Gleichungen des drit-
ten und vierten Grades mit Einer Unbekannten 317
Aufgaben, lammt deren Auflösungen,
i. Einen gegebenen Winliel oder Kreisbogen in drei gleiche
Theile zu theilen'(mit zwei Auflösungen).3*i
։. Zwischen zwei gegebenen Linien zwei mittlere geometrische
Proportionallinien einzuschalten (mit zwei verschiede-
nen Auflösungen) . · 3*6
Aufgabe zur eigenen Uebung. 3*9
Zweiter Abschnitt.
Die analytische Geometrie im Raume oder
auf drei Coördinaten bezogen.
Erstes C a p i t e I.
Bestimmung der Lage eines Punetes im Baume; Glei-
chungen der Ebene, der geraden Linie und des
Punetes.
Lage des P un c t e s. . .
Einige Erklärungen aus der Geometrie descriptioe (in der Kote)
Distanz zweier Puncte .
Gl cichung der E b e n .
Besondere Fälle.
*
Gleichungen der geraden Linie.
Besondere Fälle .
Gleichungen des Punetes.
333
335
339
3/)i
343
348
35o
35։
Zweites Capitel.
Verbindung der geraden Linien und Ebenen unter ein-
ander durch Auflösung von Aufgaben über die Gerade
und Ebene.
Aufgaben über die gerade Linie im Raume.
։. Die Gleichung einer Geraden zu finden, welche durch zwei
gegebene Puncte geht .353
*. Die Gleichung einer Geraden zu finden, welche durch ei-
nen gegebenen Punct geht und mit einer gegebenen
Geraden parallel läuft . 354
Seite
3. Die Bedingungen aufzusuchen , unter denen sieb zwei ge-
rade Linien im Raume, durch deren Gleichungen sie
gegeben sind, schneiden, und zugleich in diesem Falle
ihren Durchscbnittspunet zu finden.333
/¡» DenWinhel oder die Neigung zu bestimmen, welchen zwei
gegebene gerade Linien, diese mögen sich schneiden
oder nicht, gegen einander besitzen.356
Folgerungen. 333
5. Eine Gerade und ein aufserhalb derselben liegender Punct
sind gegeben; man soll a) die Gleichung, und b) die
Länge des aus diesem Puncto auf die Gerade gefällten
Perpendikels bestimmen.361
Aufgaben über die Ebene.
6. Die Gleichung einer Ebene zu finden, welche durch drei
gegebene Punctc geht.3Ö2
7· Die Gleichung einer Ebene zu finden, welche durch einen
bestimmten Punct und eine gegebene Gerade geht . . 363
8, Den Neigungswinkel zu bestimmen, unter welchem sich zwei
durch ihre Gleichungen gegebene Ebenen schneiden . 365
Folgerungen oder besondere Fälle.366
9. Die Gleichung einer Ebene zu finden, welche durch einen
bestimmten Tunet gebt und mit einer gegebenen Ebene
parallel läuft . . . .36q
։o. Die Gleichungen für den Durchschnitt zweier gegebenen
Ebenen zu linden.370
Aufgaben über die gerade Linie in Verbin-
dung mit der Ebene.
11. Den Winkel zu bestimmen, welchen eine Gerade mit einer
Ebene bildet, wenn beide durch ihre Gl. gegeben sind 3yi
Besondere Fälle.372
12. EineEbene und ein aufserhalb derselben liegender Punct
sind gegeben; man soll et) die Gleichungen, und ß) die
Länge des aus diesem Punct auf die Ebene gefällten
Perpendikels finden.373
Besondere Fälle. 375
13. Eine Gerade und ein aufserhalb liegender Punct sind ge-
geben ; man soll et) die Gleichung der Ebene finden,
welche durch diesen Punct geht und auf der Geraden
perpendikulär steht, und ß) den Abstand des gegebe-
nen Punctes vou dem Duvcbschnlttspunct dieser Ebene
und der Geraden bestimmen.
Soite
Drittes Capitel.
Umwandlung der Coördinaten im Räume.
trslcr Fall. Von irgend einem Cocrdinalensysteme auf
ein ähnliches überzxigchen, bei welchem der Ursprung
verändert ist, die neuen Äsen aber mit den alten pa-
r all cl bleiben. 37 )
Zweiter Fall. Von einem r e c h tw inkel i g en Coordi-
natensystem wieder auf ein solches überzugehen, wel-
ches mit dem erstem den Ursprung gemein hat . . . 38o
Aufgabe:
Von einem rechtw inkeligen Coordinalcnsystcm wieder auf ein
rcchtwinkcliges überzugehen, in welchem die Lage der
Axen und der Ursprung verändert sind.385
Polarcoordinaten . .386
Anmerkung.
Ableitung der Hauptrelationen für die sphärischen
Dreiecke.38y
Viertes Capitel.
Von den brummen Flächen überhaupt und den cylin-
drischen, conischen, windschiefen und conoklischen
insbesondere. Folgerungen für die Curven von dop-
pelter Krümmung.
Einleitung . . 38t)
Einthcilung der krummen Flächen in verschiedene Ordnungen 3q4
Die Kugelflächc oder Sphäre .3i)5
Berührungsebene der Kugel.896
Die Cylinderflächen . 3pB
Beispiel.400
Folgerungen für die Curven von doppelter Krümmung . 4o3
Die Schraubenlinie .40,4
Coniscbe oder Kegelfläche.4o5
Beispiele (von 1 bis 2).4°7
Windschiefe und conoidische Flächen.411
Beispiele (von 1 bis 3).4i3
Kotations- oder Umdrelmngsfiächcn. 415
Beispiele'(von 1 bis 4).· - . i 8
Anmer k ung.
Allgemeine Gleichung der Kegelschnittslinicn . . .
Fünftes CapiteJ.
lieber die geometrische Bedeutung einer Gleichung des
zweiten Grades zwischen drei Variablen, oder Discus-
sion der Flächen zweiter Ordnung. Berührungs-
ebenen dieser Flächen,
Vereinfachung der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades
zwischen x, j, a durch Transformation des Coordina-
tensyslcms.
Alle Flächen zweiter Ordnung werden durch eine der Glei-
chungen:
Ms* -f. M'y* + M"afi + P = o . . . (I
oder M 2։ 4՞ M՛ f1 -f- N" X = o . . . (2 ՝
'dargestellt, blofs jene ausgenommen, die in einer der
Gleichungen
Mz2· -J- M' y1 + N z -f. N'y + D — o
oder Ufa2 4* IV a 4- N'y -f- IV" x 4- D = o
enthalten sind und zu den Cylindcrflächen gehören ,
Folgerungen aus diesen Gleichungen (1 und (2 . .
Discussion der obigen Gleichung (1.
Sind darin M., M', M" positiv; so entspricht sic dem Ellip-
soid mit dem durch Rotation erzeugten, der Ku-
gel, dem Fuict und einer imaginären Fläche,
als Varietäten.
Für M, M' positiv und M" negativ dagegen gehört diese Gl.
dem Hyperboloid mit zwei getrennten Flä-
chenästen und jenem mit ununterbrochener
Fläche, und enthält alsVarictäten : das durch Rotation
erzeugte und den Kegel.
Discussion der obigen Gleichung (2.
Diese entspricht dem elliptischen Paraboloid mit
dein durch Rotation erzeugten , als Varietät, und dem
hyperbolischen Faraboloide.
Geometrische Bedeutung der allgemeinen Gleichung des zwei-
ten Grades zwischen drei veränderlichen Gröfsen . .
Von den Berührungsebenen der Flächen zweiter Ordnung .
Bestimmung jener Flächen zweiter Ordnung, welche von Ebe-
nen nach geradenliinien geschnitten werden hönnen
a
/
Seite
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