Introduction à la théorie de Hodge mixte:
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Paris
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1991
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| adam_text | Table des Matières
Introduction 5
Connaissances requises 7
Pourquoi ce livre 8
Sources fondamentales 8
Applications 9
THEORIE DE DELIGNE 13
1 Structure de Hodge Mixte (SHM) 15
1.1 Filtrations ......¦¦. 15
1.2 Structure de Hodge (SH) .;_ ...¦¦. 18
1.3 Structure de Hodge mixte (SHM) . . . V . . 21
2 Complexe Filtré 27
2.1 Catégorie dérivée filtrée 27
2.2 Hypercohomologie de complexes filtrés 29
2.3 Suite spectrale d un complexe filtré 32
2.4 Deux filtrations . 37
3 Complexe de Hodge Mixte (CHM) 45
3.1 Complexes de Hodge (CH) 45
3.2 SHM sur la cohomologie d un CHM 48
3.3 Le cône mixte 49
3.4 SH d une variété algébrique lisse et complète 52
3.5 SHM d un diviseur à croisements normaux (DCN) 53
3.6 Le complexe logarithmique 57
3.7 SHM d une variété lisse 61
3.8 Applications 69
3.9 SHM d un DCN ouvert 71
4 SHM de Deligne sur la cohomologie des variétés algébriques 75
4.1 Dualité 75
4.2 SHM d une variété algébrique plongée 77
4.3 SHM sur l homologie à supports fermés d une variété lisse 86
4.4 Dualité de Poincaré au niveau des CHMC 88
4.5 Le CHMC d une variété algébrique plongée 93
3
4 Table des Matières
5 Application aux singularités isolées 97
5.1 SHM sur la cohomologie à support 97
5.2 Pureté 102
5.3 Exemple: La fîltration r 109
6 Suite spectrale de SHM 113
6.1 CHM filtré 113
THEORIE DE GRIFFITHS 122
7 Variation de structure de Hodge (VSH) 125
7.1 VSH géométriques 125
7.2 L espace classifiant des SH (de Griffiths) 132
7.3 VSH et fonction des périodes 139
7.4 VSH sur un disque étoile D* 144
8 Variation de structure de Hodge mixte sur un disque étoile 151
8.1 Existence d une SHM limite 151
8.2 Théorie de Hodge des cycles évanescents 154
8.3 VSH géométriques 166
9 Théorie de Hodge sur le prolongement régulier 171
9.1 Etude asymptotique d une VSH polarisée sur une variété 171
9.2 Théorie de Hodge sur le prolongement régulier 174
APPENDICES 177
A Théorèmes de Hodge et de Lefschetz — (Théorie de Hodge classique) 179
A.l Calcul différentiel sur les variétés 179
A.2 Théorème de Hodge pour les opérateurs différentiels 184
A.3 Formes harmoniques sur une variété compacte 188
A.4 Variétés Kâhlériennes 192
A.5 Théorème de Lefschetz difficile 195
B Systèmes locaux, connexions et monodromie (Résumé d après P. Deligne)203
B.l Connexions 203
B.2 Systèmes locaux et connexions 209
B.3 Monodromie 211
B.4 Connexions régulières en dimension un 214
C Cohomologie de De Rham évanescente (Résumé d après P. Deligne) 219
Cl Cohomologie évanescente 219
C.2 Cohomologie de De Rham évanescente 224
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