Untersuchungen über höhere Arithmetik:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | Undetermined |
| Veröffentlicht: |
Bronx, NY
Chelsea
1965
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| Ausgabe: | Reprint. |
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Arithmetische Untersuchungen.
Seite
Erster Abschnitt. Von der Congruenz der Zahlen im Allgemeinen 1
Congruente Zahlen, Moduln, Reste und Nichtreste. Artikel 1—3. —
Kleinste Reste. Artikel 4. — Elementare Sätze über die Congruenzen.
Artikel 5—11. — Gewisse Anwendungen. Artikel 12.
Zweiter Abschnitt. Von den Congruenzen ersten Grades 6
Vorbereitende Sätze über Primzahlen, Factoren u. s. w. Artikel 13—25.
— Auflösung der Congruenzen ersten Grades. Artikel 26—31. — Die Zahl
zu finden, welche gegebenen Resten nach gegebenen Moduln congruent ist.
Artikel 32—36. — Lineare Congruenzen mit mehreren Unbekannten. Ar¬
tikel 37. — Verschiedene Sätze. Artikel 38-44.
Dritter Abschnitt. Von den Potenzresten 30
Die Reste der Glieder einer mit der Einheit anfangenden geometrischen
Reihe bilden eine periodische Reihe. Artikel 45—48. — Es werden zu¬
nächst Moduln, welche Primzahlen sind, betrachtet. Artikel
49—81. — Ist der Modul gleich p, so ist die Anzahl der Glieder in der
Periode ein Teiler der Zahl p — l. Artikel 49. — Der Fermat sche Satz.
— Artikel 50 u. 51. — Über die Anzahl der Zahlen, denen Perioden ent¬
sprechen, in welchen die Anzahl der Glieder ein gegebener Teiler von p — 1
ist. Artikel 52—56. — Primitive Wurzeln, Grundzahlen, Indices. Artikel
57. — Algorithmus der Indices. Artikel 58 u. 59. — Ober die Wurzeln
der Congruenz xn = A. Artikel 60—68. — Zusammenhang zwischen den
Indices in verschiedenen Systemen. Artikel 69—71. — Besonderen Zwecken
dienende Grundzahlen. Artikel 72. — Methode zur Bestimmung der primi¬
tiven Wurzeln. Artikel 73 u. 74. — Verschiedene Sätze über Perioden
und primitive Wurzeln. Artikel 75—81. — Über Moduln, welche Potenzen
von Primzahlen sind. Artikel 82—89. — Moduln, welche Potenzen von 2
sind. Artikel 90 u. 91. — Aus mehreren Primzahlen zusammengesetzte
Moduln. Artikel 92 u. 93.
Vierter Abschnitt. Von den Congruenzen zweiten Grades .... 65
Quadratische Reste und Nichtreste. Artikel 94 u. 95. — Sooft der Modul
eine Primzahl ist, ist die Anzahl der Reste, welche kleiner als derselbe
sind, gleich der Anzahl der Nichtreste. Artikel 96 u. 97. — Die Antwort
auf die Frage, ob eine zusammengesetzte Zahl Rest oder Nichtrest einer
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
gegebenen Primzahl sei, hängt von der Natur der Factoren ab. Artikel
98 u. 99. — Über Moduln, welche zusammengesetzte Zahlen sind. Artikel
100—105. — Allgemeines Kriterium dafür, dass eine gegebene Zahl Rest
oder Nichtrest einer gegebenen Primzahl ist. Artikel 106. — Unter¬
suchungen über die Primzahlen, deren Reste oder Nichtreste
gegebene Zahlen sind. Artikel 107—150. — Der Rest —1. Artikel
108—111. — Reste +2 und — 2. Artikel 112—116. — Reste +3 und
— 3. Artikel 117—120. — Reste +5 und -5. Artikel 121—123. —
Über ± 7. Artikel 124. — Vorbereituug auf die allgemeine Untersuchung.
Artikel 125—129. — Durch Induction wird ein allgemeiner (fundamentaler)
Satz begründet und daraus werden Schlüsse gezogen. Artikel 130—134. —
Strenger Beweis des Fundamentalsatzes. Artikel 135—144. — Analoges
Verfahren für den Beweis des Satzes im Artikel 114. Artikel 145. —
Lösung des allgemeinen Problems. Artikel 146. — Über die linearen
Formen, welche sämtliche Primzahlen enthalten, von denen eine beliebige
gegebene Zahl Rest oder Nichtrest ist. Artikel 147—150. — Über die Ar¬
beiten anderer bezüglich dieser Untersuchungen. Artikel 151. — Über
die nichtreinen Congruenzen zweiten Grades. Artikel 152.
Fünfter Abschnitt. Von den Formen und unbestimmten Gleichungen
zweiten Grades 111
Gegenstand der Untersuchung; Definition der Formen und Bezeichnung.
Artikel 153. — Darstellung der Zahlen; die Determinante. Artikel 154. —
Die Werte des Ausdrucks }-V — ac (mod. M), zu welchen die Darstellung
der Zahl M durch die Form (a, b, c) gehört. Artikel 155 u. 156. — Form,
welche eine andere enthält oder unter einer anderen enthalten ist; Trans¬
formation, eigentliche und uneigentliche. Artikel 157. — Äquivalenz,
eigentliche und uneigentliche. Artikel 158. — Entgegengesetzte Formen.
Artikel 159. — Benachbarte Formen. Artikel 160. — Gemeinschaftliche
Teiler der Coefficienten der Formen. Artikel 161. — Zusammenhang
zwischen sämtlichen gleichartigen Transformationen einer gegebenen Form
in eine gegebene Form. Artikel 162. — Ambige Formen. Artikel 163.
— Satz betreffend den Fall, wo eine Form unter einer andern zugleich
eigentlich und uneigentlich enthalten ist. Artikel 164 u. 165. — Allge¬
meines über die Darstellungen der Zahlen durch Formen und deren Zu¬
sammenhang mit den Transformationen. Artikel 166—170. — Über die
Formen mit negativer Determinante. Artikel 171 — 182. — Specielle
Anwendungen auf die Zerlegung der Zahlen in zwei Quadrate, in ein ein¬
faches und ein doppeltes und in ein einfaches und ein dreifaches Quadrat.
Artikel 182. — Von den Formen mit positiver nichtquadratischer
Determinante. Artikel 183—205. — Von den Formen mit qua¬
dratischer Determinante. Artikel 206—212. — Formen, welche unter
andern enthalten und trotzdem diesen nicht äquivalent sind. Artikel 213
u. 214. — Formen mit der Determinante 0. Artikel 215. — All¬
gemeine Auflösung aller unbestimmten Gleichungen zweiten Grades mit
zwei Unbekannten durch ganze Zahlen. Artikel 216—221. — Geschicht¬
liche Bemerkungen. Artikel 222. — Weitere Untersuchungen über
die Formen. Artikel 223—265. — Einteilung der Formen mit gegebener
Inhaltsverzeichnis. XI
Seite
Determinante in Klassen. Artikel 223—225. — Einteilung der Klassen in
Ordnungen. Artikel 226 u. 227. — Teilung der Ordnungen in Geschlechter.
Artikel 228-233. — Von der Composition der Formen. Artikel
234—244. — Composition der Ordnungen. Artikel 245. — Composition
der Geschlechter. Artikel 246-248. — Composition der Klassen. Artikel
249—251. — Für eine gegebene Determinante sind in den einzelnen Ge¬
schlechtern derselben Ordnung gleichviel Klassen enthalten. Artikel 252. —
Die Anzahlen der in den einzelnen Geschlechtern verschiedener Ordnungen
enthaltenen Klassen werden verglichen. Artikel 253—256. — Ober die
Anzahl der ambigen Klassen. Artikel 257-260. — Sicher der Hälfte aller
für eine gegebene Determinante möglichen Charactere können eigentlich
primitive (bei negativer Determinante, positive) Geschlechter nicht ent¬
sprechen. Artikel 261. — Zweiter Beweis des Fundamentalsatzes
und der übrigen auf die Reste — 1, -f-2, —2 sich beziehenden
Sätze. Artikel 262. — Es wird diejenige Hälfte der Charactere, denen
Geschlechter nicht entsprechen können,, näher bestimmt. Artikel 263 u.
264. — Besondere Methode, Primzahlen in zwei Quadrate zu zerlegen. Ar¬
tikel 265. — Digression, enthaltend eine Untersuchung über ter-
näre Formen. Artikel 266—285. — Gewisse Anwendungen auf die
Theorie der binären Formen. Artikel 286—307. — Über die Ermitt¬
lung der Form, aus deren Duplikation eine gegebene binäre Form des
Hauptgeschlechts entsteht. Artikel 286. — Allen Characteren mit Aus¬
nahme derjenigen, welche in den Artikeln 263, 264 als unmöglich gefunden
worden sind, entsprechen wirklich Geschlechter. Artikel 287. — Theorie
der Zerlegung sowohl der Zahlen wie der binären Formen in drei Quadrate.
Artikel 288—292. — Beweis der Fermat schen Sätze, dass jede ganze Zahl
in drei Trigonalzahlen oder in vier Quadrate zerlegt werden kann. Artikel
293. — Auflösung der Gleichung ar2 + by* + cz1 = 0. Artikel 294 u. 295. —
Über die Methode, nach welcher Legendre das Fundamentaltheorem be¬
handelt hat. Artikel 296—298. — Darstellung der Null durch beliebige
ternäre Formen. Artikel 299. — Allgemeine Lösung der unbestimmten
Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten durch rationale Grossen.
Artikel 300. — Über die mittlere Anzahl der Geschlechter. Artikel 301. —
Über die mittlere Anzahl der Klassen. Artikel 302—304. — Eigentüm¬
licher Algorithmus der eigentlich primitiven Klassen; reguläre und irreguläre
Determinanten u. s. w. Artikel 305-307.
Sechster Abschnitt. Verschiedene Anwendungen der vorhergehenden
Untersuchungen 364
Zerlegung der Brüche in einfachere. Artikel 309—311. — Verwandlung
der gemeinen Brüche in Decimalbrüche. Artikel 312—318. — Auflösung
der Congruenz a;2 = ^4 durch die Methode der Ausschliessung. Artikel
319—322. — Lösung der unbestimmten Gleichung mx1 -+-ny2 = A nach
der Ausschliessungsmethode. Artikel 323-326. — Andere Methode, die
Congruenz x* = A zu lösen für den Fall, in welchem A negativ ist. Ar¬
tikel 327 u. 328. — Zwei Methoden, zusammengesetzte Zahlen von primen
zu unterscheiden und ihre Factoren zu ermitteln. Artikel 329—334.
XII Inhaltsverzeichnis.
Seite
Siebenter Abschnitt. Über diejenigen Gleichungen, von denen die
Teilung des Kreises abhängt 397
Die Untersuchung wird auf den einfachen Fall zurückgeführt, in welchem
die Anzahl der Teile, in welche der Kreis geteilt werden soll, eine Prim¬
zahl ist. Artikel 336. — Gleichungen für die trigonometrischen Functionen
der Bogen, welche ein Teil oder Teile der ganzen Peripherie sind; Re-
duction der trigonometrischen Functionen auf die Wurzeln der Gleichung
xn — 1 = 0. Artikel 337 u. 338. — Theorie der Wurzeln der Gleichung
xn — 1=0 (wo vorausgesetzt wird, dass n eine Primzahl sei). Lässt man
die Wurzel 1 weg, so sind die übrigen (ß) enthalten in der Gleichung
X = x*-1 + xn~2 H h x + 1 = 0. Artikel 339 u. 340. — Die Func-
tion X lässt sich nicht in niedrigere Factoren zerlegen, in denen sämtliche
Coefficienten rational sind. Artikel 341. — Das Ziel der folgenden Unter¬
suchungen wird angegeben. Artikel 342. — Sämtliche Wurzeln ß werden
in gewisse Klassen (Perioden) eingeteilt. Artikel 343. — Verschiedene Sätze
über die Perioden der Wurzeln Q. Artikel 344—351. — Auf die vor¬
stehenden Untersuchungen wird die Lösung der Gleichung X=0 ge¬
gründet. Artikel 352—354. — Weitere Untersuchungen Über die
Perioden der Wurzeln. Die Aggregate, in denen die Anzahl der
Glieder gerade ist, sind reelle Grossen. Artikel 355. — Über die Gleichung,
durch welche die Verteilung der Wurzeln Q in zwei Perioden bestimmt
wird. Artikel 356. — Beweis eines im vierten Abschnitt erwähnten Satzes.
Artikel 357. — Über die Gleichung für die Verteilung der Wurzeln Q in
drei Perioden. Artikel 358. — Zurückführung der Gleichungen, durch
welche die Wurzeln Q gefunden werden, auf reine Gleichungen. Artikel
359 u. 360. — Anwendung der vorstehenden Untersuchungen auf die
trigonometrischen Functionen. Methode, die Winkel, welchen die einzelnen
Wurzeln entsprechen, zu unterscheiden. Artikel 361. — Die Tangenten,
Cotangenten, Sekanten und Cosekanten werden aus den Sinus und Cosinus
ohne Division bestimmt. Artikel 362. — Methode, die Gleichungen für die
trigonometrischen Functionen allmählig zu erniedrigen. Artikel 363 u. 364. —
Die Teilungen des Kreises, welche man mittelst quadratischer Gleichungen
oder durch geometrische Constructionen ausführen kann. Artikel 365 u. 366.
Zusätze 449
Tafeln 451
Abhandlungen.
Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes 457
Summierung gewisser Heihen von besonderer Art 463
Neue Beweise und Erweiterungen des Fundamentalsatzes in der
Lehre von den quadratischen Resten 496
Theorie der biquadratischen Reste. Erste Abhandlang 511
Theorie der biquadratischen Reste. Zweite Abhandlung 534
Inhaltsverzeichnis. XIII
Einige Untersuchungen aus dem handschriftlichen
Nachlasse von Gauss.
Seite
Die lehre von den Resten 589
I. Lösung der Congruenz Xm — 1 = 0 589
II. Allgemeine Untersuchungen über die Congruenzen .... 602
Weitere Entwicklung der Untersuchungen über die reinen Gleichungen 630
Beweis einiger Sätze über die Perioden der Klassen der binären
Formen zweiten Grades 653
Über den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Klassen, in welche
die binären Formen zweiten Grades zerfallen, und ihrer Deter¬
minante 655
Eingehendere Betrachtung gewisser auf die Kreisteilung bezüglicher
Untersuchungen 678
Bemerkungen 683
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