Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen:
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Leipzig
Teubner
1892
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| adam_text | Inhaltsverzeichniss.
Erste Vorlesung.
Definition der IiTationalzahlen.
Seite
Nr. 1. Die Gleichung x* = D ist durch rationale x nur lösbar,
wenn D eine positive Quadratzahl ist................... 1—3
Nr. 2. Verallgemeinerung. Algebraische Zahlen ...... 3—4
Nr. 3. Sinn einer Lösung der Gleichung xi — 13. Zwei gegen
einander convergirende Werthreihen................. 4—6
Nr. 4. Definition einer Zahl durch zwei solche Reihen 6—9
Nr. 6. Nähere Begründung durch den Nachweis, wie mit den
definirten Zahlen zu rechnen sei. Summe, Differenz und
Produkt............................................ 9—11
Nr. 6. Grössenordnung, Gleichheit, die Null...............11—13
Nr. 7. Der Quotient....................................... 13 — 14
Nr. 8. Geltung der fundamentalen Rechnungsregeln..........14—16
Zweite Vorlesung.
Uebcr algebraische Zahlen.
Nr. 1. Allgemeines...........................................16—18
Nr. 2 und 3. Zwei fundamentale Sätze über algebraische Zahlen 18—22
Nr. 4. Giebt es auch nichtalgebraische Zahlen? und wie unter-
scheiden sich arithmetisch die algebraischen Zahlen ver-
schiedenen Grades?........................................22—24
Dritte Vorlesung.
Die KcttenbrUche.
Nr. 1. Die fundamentalen rekurrirenden Gleichungen .... 24___27
Nr. 2. Der Kettenbruch und seine N äherungsbrüche............27—30
Nr. 3· Sätze über die Annäherung..........................30____34
Nr. 4- Unendliche Kettenbrüche...............................34—36
Nr. 5. Periodische Kettenbrüche; sie sind quadratischen Irratio-
nellen gleich..........................................36—37
VIII
Inhalts verzeichniss.
Vierte Vorlesung.
Die quadratischen Irrationellen.
Nr. 1. Hilfssätze über quadratische Formen..................
Nr. 2. Aus gegebener Form werden mittels der Kettenbruch-
entwicklung einer ihrer Wurzeln unendlich viel äqui-
valente Formen hergeleitet..................................
Nr. 3. Beziehungen zwischen den Wurzeln zweier aufeinander-
folgender dieser Formen.....................................
Nr. 4 bis 6. Quadratische Irrationellen haben eine periodische
Kettenbruchentwicklung. Arithmetisches Kenn-
zeichen der quadratischen Irrationellen. . . .
Seite
38-41
41—42
43-45
45—49
Fünfte Vorlesung. *
Vorhandensein transcendenter Zahlen. — Geschichtliches
über die Zahlen e und it.
Nr. 1. Liouville’s Satz über eine Eigenschaft jeden Ketten-
bruchs, in welchen eine algebraische Zahl wten Grades
entwickelbar ist................................49—52
Nr. 2. Vorhandensein transcendenter Zahlen............52—53
Nr. 3. Die die Zahlen e und n betreffenden Untersuchungen . 53—54
Nr. 4. Lambert’s Kettenbrüche.........................54—55
Nr. 5. Hilfssatz von Legendre über Kettenbrüche.......56—58
Nr. 6. Lambert’s Sätze über e und n nach Legendre. . . 58—59
Nr. 7. Liouville’s Sätze über die Zahl e..............59—64
Sechste Vorlesung.
Heruiite’s Untersuchung der Zahl e.
Nr. 1. Herleitung des Lambert’schen Kettenbruchs für tanga:
aus rekurrirenden Integralformeln von der Gestalt:
X
An =j x An_ tdx...................................64—67
o
Nr. 2. Zweite Form der Grössen An.........................67—69
Nr. 3. Dritte Form der An als bestimmte Integrale.........69—71
Nr. 4. Neue Herleitung der Sätze von Lambert und Le-
gendre über die Zahl .................................71—72
Nr. 5. Aus den An werden andere Grössen A^ hergeleitet, für
welche die Rekursionsformel besteht:
4°+i = (2« + * + 1) ֊ * · A«~».
Die allgemeine Form der A^........................72—76
Inhaltsverzeichniss. IX
Seite
Nr. 6. Annäherung an die Exponentialfunktion ex mittels einer
rational-gebrochenen Funktion.......................... 76—77
Nr. 7. Auffindung einer solchen Funktion, welche die Annähe-
rung für einen gegebenen Grad leistet, mittels einer
elementaren Integralformel.................................. 77—79
Nr. 8. Beispiel; ex ist irrational, sobald x rational ist . . . 79—82
Siebente Vorlesung.
Fortsetzung.
Nr. 1. Gleichzeitige Annäherung desselben Grades an die n Ex-
ponentialfunktionen e*1*, e%x, ... eznx mittels n Nähe-
rungsbrüchen mit gleichem Nenner.............................
Nr. 2 und 3. Eigenthümlicher Zusammenhang zwischen den auf-
einanderfolgenden Näherungsbrüchen...........................
Nr. 4 und 5. Grundlegende Eigenschaften der dabei auftretenden
Grössen
* ՛” 1.2.3... (»»
=*·ƒ
z — zt.
worin za, , 22, . .. zn die Wurzeln der ganzen Funk-
tion f(z) sind.............................
Nr. G. Aus ihnen wird die Transcendenz der Zahl e her-
geleitet ........................................
Nr. 7. Specieller Fall; der Lambert’sche Kettenbruch für
e* — e~x
cv -f e~x
82— 83
83— 89
89—93
93-95
95—97
Achte Vorlesung,
llie Liidolph’sclie Zahl .r.
Nr. 1. Allgemeines über complexe Integrale..............97—100
Nr. 2. Obwohl bei der Untersuchung des Herrn Lindemann
über die Zahl 7t die e’· m complexe Integrale werden,
bleibt die Herrn ite ’sehe Grundlage bestehen .... 100—101
Nr. 3. Der Keim der Lindemann schen Betrachtung. Sind
£1։ ··· ! r die Wurzeln einer ganzzahligen irreduk-
tibeln Gleichung rteu Grades, so handelt es sich zu be-
weisen, dass keine Gleichung möglich ist von der Form:
+ + + -----bA;,^ + - + - + - = 0 101-103
Nr. 4—G. Beweis für den Fall, dass die algebraisch ver-
schiedenen Werthe der in den Exponenten enthaltenen
Wurzelfunktionen auch numerisch ungleich sind . . 103—110
a**
Bachmann, Irrationalzahlen.
X Inhaltsverzeichniss.
Neunto Vorlesung.
Weierstrass’sclier Beweis der Transcendenz топ я,
Nr. 1. Statt der Lindemann’schen Beweisführung wird die
einfachere des Herrn Weierstrass gewählt. Sie
knüpft an die elementare Integralformel der Her-
mite’schen Betrachtung (6. Vorl. Nr. 7) an ....
Nr. 2 und 3. Herleitung eines Hilfssatzes................
Nr. 4 und 5. Der Weierstrass’sche Beweis.................
Nr. 6. Die Quadratur des Kreises. Durch den Linde-
mann’schen Satz von der Zahl it ist ihre Un-
möglichkeit erwiesen ....................................
Nr. 7. Allgemeinere Lin dem ann’sche Sätze...............
Zehnte Vorlesung.
Ueber die kubischen Irrationellen.
Nr. 1. Geschichtliches über die Versuche, ein arithmetisches
Kennzeichen derselben zu ermitteln...............
Nr. 2. Jacobi’s Kettenbruchalgorithmus...................
Nr. 3. Speeialisivung. Wenn dieser zu zwei Grössen -°-, --
u0 «0
gehörige Kettenbruchalgorithmus periodisch wird, sind
die Grössen kubische Irrationellen...............
Nr. 4. Untersuchung der Umkehrung. Vorläufige Bemerk-
ungen über complexe ganze Zahlen, welche aus den
Wurzeln a, ß, у einer kubischen Gleichung gebildet
sind. Neue Specialisirung des Kettenbruchalgorithmus
Nr. 5. Aus der Form
X(x, у, г) = (і«Ч у а + *) (ж (З2 + у ß + z) (xf + У У + *)
werden mittels des Kettenbruchalgorithmus unendlich
viel äquivalente Formen N{(x , у , z ) hergeleitet . .
Nr. 6 Beschränkung auf die kubische Gleichung Xі = D.
Die beiden Grössensysteme S3p p(.(a), und
vi ^
Nr. 7. Ist die Reihe der einen von ihnen periodisch, so hat
die andere genau dieselbe Periode. Sie werden
periodisch, wenn ts{, ф։-(к), і/ь(а) bei unendlich
wachsendem і endlich bleiben.....................
Nr. 8. Nothwendige und hinreichende Bedingung dafür.
Schlussbemerkung.........................................
Seite
111—112
112—116
116—120
121—123
123 — 125
125—129
129—132
132—136
136 — 140
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