Théorie des perturbations et méthodes asymptotiques: suivi de deux notes complémentaires
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Dunod
1972
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
PREMIÈRE PARTIE
THÉORIE DES PERTURBATIONS
Introduction 2
Chapitre 1. Problème de la régularisation de la théorie des perturbations 7
§ 1. Position du problème 7
1. Exemple de régularisation du potentiel perturbatif pour l équation
de Schrôdinger 7
2. Dépendance du moyen de régularisation du choix de la représentation 8
3. L oscillateur anharmonique 10
4. Stabilité d un système isolé 10
§ 2. Théorie des perturbations de l équation de Schrôdinger à une dimension. 15
1. Notions fondamentales 15
2. Définition plus précise du rayon d observation 16
3. Assertion fondamentale 18
4. Cas de perturbation positive 20
§ 3. Pouvoir de résolution de l appareil 22
§ 4. Formulation du problème pour un opérateur autoadjoint arbitraire... 24
Chapitre 2. Comportement asymptotique des fonctions propres et théorie des
perturbations pour les équations à coefficients opérateurs 26
§ 1. Certains résultats de la théorie des opérateurs 26
§ 2. Méthode fondamentale d estimation d une solution 30
§ 3. Équations différentielles du second ordre à coefficients opératoriels... 33
§ 4. Opérateur du premier ordre 37
§ 5. Inégalité fondamentale pour les fonctions propres 38
§ 6. Deux lemmes de la théorie abstraite des perturbations 41
§ 7. Théorie des perturbations pour un opérateur du premier ordre 42
Chapitre 3. Convergence forte des équations opératorielles 46
§ 1. Convergence faible des solutions 46
§ 2. Critère de convergence forte des solutions 49
1. Théorème sur la convergence forte des solutions 49
2. Exemple 51
3. Le théorème de Rellich (une nouvelle démonstration) 54
xii Théorie des perturbations
4. Passage du spectre discret au spectre continu 56
5. Régularisation des problèmes incorrectement posés au sens de
Tychonov 61
§ 3. Séries de perturbations de l opérateur inverse 63
Chapitre 4. Perturbations des semi groupes à un paramètre 65
§ 1. Introduction 65
§ 2. Inégalité fondamentale pour les solutions d une équation d évolution.. 67
§ 3. Théorie des perturbations pour l équation d évolution 72
1. Un théorème « abstrait » 72
2. Un exemple tiré de la méthode des équations différentielles 73
§ 4. Théorie des perturbations des semi groupes d opérateurs 74
1. Lemme fondamental 74
2. Théorème généralisé de Hille 80
3. Convergence des générateurs et convergence des semi groupes 81
Chapitre 5. Convergence faible des opérateurs 83
§ 1. Théorème sur la convergence des homéomorphismes de groupes
topologiques 83
§ 2. Continuité asymptotique faible 88
1. Borne uniforme d une suite faiblement continue d opérateurs 88
2. Condition nécessaire et suffisante pour la continuité faiblement
asymptotique d une suite d opérateurs 89
§ 3. Un théorème sur la convergence forte des opérateurs inverses et une
application 90
§ 4. Régularisation en théorie des perturbations des opérateurs faiblement
convergents 92
DEUXIÈME PARTIE
THÉORIE GLOBALE DES CARACTÉRISTIQUES
ET MÉTHODES ASYMPTOTIQUES
EN THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
A COEFFICIENTS OPÉRATORIELS
Chapitre 1. Formulation du problème 98
§ 1. Les caractéristiques des équations de la mécanique quantique 98
1. Propagation des discontinuités des solutions de certains problèmes
concrets 99
2. Généralisation du problème de la propagation de la discontinuité
pour une équation à coefficients opérateurs 106
3. Classification des équations du second ordre 107
4. Transformation de type Fourier pour des fonctions abstraites 108
5. Invariance du type d une équation par passage à lap représentation.. 110
6. Équations de la mécanique ondulatoire et de l optique 110
Table des matières xm
§ 2. Formulation du problème de Cauchy pour les équations de la mécanique
quantique 112
§ 3. Définition générale des caractéristiques pour une équation à coefficients
opératoriels 118
§ 4. Problème du choix de la représentation pour le passage de la mécanique
quantique à la mécanique classique 122
Chapitre 2. L opérateur canonique 127
§ 1. Le cas à une dimension 127
1. Notions topologiques 128
2. L opérateur canonique 131
3. Invariance de l opérateur canonique 136
4. L asymptotique quasi classique 137
5. Les séries asymptotiques 139
6. L asymptotique quasi classique de la solution du problème de
Cauchy 141
7. L asymptotique des solutions d un système d équations 144
8. Comportement des discontinuités des solutions d une équation
hyperbolique 145
§ 2. Le cas multidimensionnel 147
1. Notions topologiques 147
2. Définition de l opérateur canonique 151
Chapitre 3. Asymptotique des solutions des équations aux dérivées partielles... 154
§ 1. Asymptotique quasi classique 154
1. Théorèmes fondamentaux 154
2. Méthode de la phase stationnaire pour l intégrale sur les chemins
de Feynmann 156
§ 2. Asymptotique des solutions des équations relativistes 157
§ 3. Exemples et corollaires 160
§ 4. Système des équations de la théorie de l élasticité 163
§ 5. Le cas stationnaire 165
Chapitre 4. Équations à coefficients opératoriels 170
§ 1. Équations dans des espaces dénombrablement normes et problèmes
à plusieurs corps en mécanique quantique 170
§ 2. Solution asymptotique du problème de Cauchy d une équation à coeffi¬
cients opératoriels 173
§ 3. Systèmes hyberboliques 178
§ 4. Asymptotique des valeurs propres d une équation à coefficients opéra¬
toriels 180
Chapitre 5. Représentation caractéristique locale pour les équations du type
de l équation des ondes 185
§ 1. Asymptotique locale d une solution de l équation de Schrôdinger 186
1. Représentation quasi classique 186
xiv Théorie des perturbations
2. Estimation de l opérateur inverse 188
3. Séries de la théorie des perturbations 190
§ 2. Théorème de plongement pour les fonctions abstraites et estimation dans
des espaces dénombrablement normes 191
1. Théorème de plongement 191
2. Opérateurs dans les espaces dénombrablement normes 193
§ 3. Équations relativistes 198
1. Équations de Dirac 198
2. Estimations des solutions de l équation quadratique de Dirac et de
l équation de Klein Gordon Flock 201
§ 4. Développement de conditions initiales arbitraires en composantes
correspondant aux différentes racines du polynôme caractéristique 205
§ 5. Supplément : Solutions des équations de transport pour certaines
équations (ou systèmes) du type onde 209
Chapitre 6. Asymptotique locale des équations opérationnelles aux dérivées
partielles 216
§ 1. Sur la racine carrée d un opérateur dans un espace de Banach 216
§ 2. Méthode de la phase stationnaire pour les fonctions abstraites 224
1. Procédé formel de calcul des termes d une série asymptotique 225
2. Cas à une dimension. Développement en séries asymptotiques 227
3. Cas à une dimension. Premier terme du développement 234
4. Cas multidimensionnel 237
§ 3. Asymptotique locale des solutions des équations abstraites 245
1. Problème de Cauchy pour les équations à coefficients opératoriels. 245
2. Développement asymptotique d un opérateur différentiel linéaire aux
dérivées partielles et à coefficients opératoriels 247
3. Cas des termes de multiplicité infinie 255
4. Cas des termes de multiplicité finie 260
Chapitre 7. Asymptotique globale des solutions des équations abstraites 267
§ 1. Lemme sur les coordonnées locales 267
§ 2. Démonstration du théorème d invariance 269
1. 269
2. Démonstration du théorème 2.3 274
3. Démonstration du théorème 2.2 277
§ 3. Asymptotique globale des solutions 279
1. 279
2. Démonstration du théorème 4.4 281
Chapitre 8. Formules quasi classiques pour les solutions des équations de la méca¬
nique quantique avec des coefficients (w/2) + 4 fois différentiables 283
§ 1. Méthode des pas de long des trajectoires pour l obtention de l asympto
tique globale 285
Table des matières XV
§ 2. Lemmes auxiliaires sur les solutions des équations Hamiltoniennes... 297
1. Remarques préliminaires 297
2. Sur le nombre impair de solutions 299
3. Estimation des solutions 301
4. Identités fondamentales 306
Chapitre 9. Régularisation de la théorie des perturbations pour le calcul des
termes correctifs et formule quasi classique de Bohr 315
§ 1. Introduction 315
§ 2. Second terme de l asymptotique 316
§ 3. Troisième terme de l asymptotique 321
Appendice. Discontinuité dans l asymptotique des solutions d équations de type
effet Tunnel 323
§ 1. Introduction 323
§ 2. Asymptotique au voisinage des ondes de choc 324
1. Équations de Navier Stokes pour une suspension 324
2. Asymptotique des solutions des équations de Navier Stokes et
passage à la limite pour rç 0 326
3. Ondes de choc « probabilistes » pour les solutions de l équation
de Schrôdinger 327
§ 3. Problèmes aux limites et couche limite 328
Supplément sur l existence globale des solutions des équations d Hamilton
(B. Doubnov) 329
Références bibliographiques 335
Complément 1. Une classe caractéristique intervenant dans les conditions de
quantification (V. I. Arnol d) 341
§ 1. Notations 341
1. Espace de phase 341
2. La grassmannienne lagrangienne A{ri) 342
3. L application Det2 : A(n) 5 343
4. La classe de cohomologie a e # (/l(n), Q) 343
5. Variétés lagrangiennes 344
§ 2. Preuve du théorème 1.5 345
1. Le cycle singulier 345
2. L indice de Maslov ind s // (M, Q) 346
3. Indices de courbes sur la grassmannienne A(n) 346
§ 3. Démonstration du lemme fondamental 348
1. Fonctions génératrices 348
2. Le cycle singulier A1 {h) 349
3. Coordonnées sur A{n) 350
4. Paramétrisation unitaire 351
5. Le cycle singulier est bilatère 352
6. L indice Ind pour les courbes sur A{n) 354
xvi Théorie des perturbations
§ 4. Démonstration des théorèmes relatifs à la position générale 355
1. Transversalité 355
2. Démonstration du théorème 2.1 357
3. Démonstration du théorème 2.2 357
§ 5. Une expression asymptotique dans le cas quasi classique 358
1. Expression asymptotique, lorsque h 0, de la solution de l équation
de Schrôdinger 358
2. Relation entre les indices de Morse et de Maslov 359
3. Conditions de quantification 360
Bibliographie 361
Complément 2. Intégrale génératrice et opérateur canonique de Maslov pour
la méthode W.K.B. (V. C. Bouslaev) 362
§ 1. Asymptotique quasi classique 362
1. Méthode W.B.K 362
2. Contenu du travail 365
§ 2. Espace de phase et quantification 367
1. Espace de phase 367
2. Groupe G 368
3. Paire Lagrangienne 369
4. Quantification 369
5. Formules explicites 370
6. Indice de Maslov 372
7. Dynamique 373
§ 3. L intégrale génératrice 374
1. Expression de Vv 374
2. Classe F 375
3. L espace linéaire £{T, Q) 375
4. Intégrale génératrice 376
5. Relation avec l opérateur canonique 378
§ 4. Applications de l intégrale génératrice 379
1. Opérateur quasi classique 379
2. Problème de Cauchy 381
3. Applications asymptotiques 382
Bibliographie 384
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