Vorlesungen über Approximation im Komplexen:
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| Published: |
Basel [u.a.]
Birkhäuser
1980
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort 10
Teil I: Approximation durch Reihenentwicklung und Interpolation
Kapitel I. Darstellung komplexer Funktionen durch Orthogonalreihen und
Faber-Reihen 12
§ 1. Der Hilbert-Raum L2(Gj 12
A. Definition von£2(G) 12
B. L2(G) als Hilbert-Raum 14
§ 2. ONSysteme, insbesondere von Polynomen, inL2(G) 15
A. Konstruktion von ON-Systemen;Gramsche Matrix 15
Aj. Orthogonalisierungsverfahren von Schmidt 15
A2. Gewinnung eines ON-Systems mit der Gramschen
Matrix 16
A3. Spezieller Fall: Polynome inZ.2(G) 18
B. Nullstellen orthogonaler Polynome 19
C. Asymptotische Darstellung der ON-Polynome 20
Hinweis zu § 2 23
§ 3. Vollständigkeit der Polynome in L2(G) 24
A. Problem und Beispiele 24
B. Gebiete mit PA-Eigenschaft 25
C. Gebiete, welche die PA-Eigenschaft nicht haben 27
Cp Schlitzgebiete 27
C2. Mondgebiete 27
Hinweise zu § 3 30
§ 4. Entwicklung nach ONSystemen in L2(G) 30
A.ON-Entwicklungen im Hilbert-Raum 31
B. ON-Entwicklungen im RaumL2(G) 32
C. Über die Güte der Approximation, falls/in G~
analytisch ist 33
Hinweise zu § 4 35
§ 5. Die Bergmansche Kernfunktion 36
A. Einführung der Kernfunktion; Eigenschaften 36
6 Inhaltsverzeichnis
B. Bilinearreihe der Bergmanschen Kernfunktion 37
C. Konstruktion konformer Abbildungen mit Hilfe der
Bergmanschen Kernfunktion 38
Ct. Zusammenhang zwischen K und der konformen
Abbildung 38
C2. Die Bieberbach-Polynome 39
C3. Verwendung singulärer Funktionen beim ON-Prozeß . . 41
D.Weitere Anwendungen der Bergmanschen Kernfunktion .. 42
Dj. Gebiete mit Mittelwerteigenschaft 42
+ i
D2. Darstellung von / f{x) dx als Flächenintegral 42
Hinweis zu § 5 45
§6. Über die Güte der Approximation; Faber-Entwicklungen 45
A. Randverhalten von Cauchy-Integralen 45
B. Faber-Polynome, Faber-Entwicklungen 46
C. Die Faber-Abbildung als beschränkter Operator 49
Ct. Kurven beschränkter Drehung 49
C2. Die Faber-Abbildung T 50
D. Güte der Approximation innerhalb einer Kurve beschränkter
Drehung 52
Dj. Vorbereitungen;gleichmäßige Konvergenz 52
D2. Stetigkeitsmodul des zu h gehörigen Cauchy-Integrals. . 53
D3. Güte der Approximation 54
E. Bericht über weitere Ergebnisse 56
Ep Weitere gleichmäßige Abschätzungen 56
E2. Lokale Abschätzungen 57
Hinweise zu § 6 58
Kapitel II. Approximation durch Interpolation 60
§ 1. Die Hermitesche Interpolationsformel 60
A.Darstellungen des Interpolationspolynoms 60
B. Sonderfälle der Hermiteschen Formel 61
§ 2. Interpolation in gleichverteilten Punkten; Fejer-Punkte,
Fekete-Punkte 63
A. Vorbereitungen;grobe Konvergenzaussage 63
B. Allgemeiner Konvergenzsatz von Kalmar und Walsh 65
C. Das System der Feje r-Knoten 68
D. Das System der Fekete-Knoten 70
Hinweise zu § 2 71
§ 3. Approximation auf allgemeineren kompakten Mengen; der Satz
von Runge 72
A. Nochmals: Interpolation in Fekete-Punkten 73
Inhaltsverzeichnis 7
B. Der Approximationssatz von Runge 75
Hinweis zu § 3 77
§ 4. Interpolation im Einheitskreis 77
A. Interpolation auf {z: z = r}, r 1 77
B. Interpolation auf {z: z = 1} 80
C. Approximation durch rationale Funktionen 84
Hinweise zu § 4 85
Teil II: Allgemeine Approximationssätze im Komplexen
Kapitel III. Approximation auf kompakten Mengen 88
§ 1. Der Approximationssatz von Runge 88
A. Allgemeine Cauchy-Formel 89
B. Der Satz von Runge 89
C. Die Methode der Polverschiebung 90
§ 2. Der Satz von Mergelyan 92
A. Formulierung des Ergebnisses; Sonderfälle; Folgerungen . . . 92
B. Hilfsmittel zum Beweis 94
B|. Erweiterungssatz von Tietze 94
B2. Eine Darstellungsformel 94
B3. Koebe s -—Satz 95
B4. Das Lemma von Mergelyan 95
C. Beweis des Satzes von Mergelyan 98
§ 3. Approximation durch rationale Funktionen 102
A. Schweizer Käse 103
Aj. Die Konstruktion von Alice Roth 103
A2. Schweizer Käse mit inneren Punkten 104
A3. Schweizer Käse mit zwei Komponenten 105
A4. Häufung von Löchern gegen den Durchmesser von D . . 105
B. Hilfsmittel für den Satz von Bishop 106
B,. Eine Integraltransformation 106
B2- Zerlegung der Eins 107
C. Der Lokalisationssatz von Bishop mit Anwendungen 108
C . Der Lokalisationssatz 108
C2. Anwendungen des Satzes von Bishop 110
D. Der Satz von Vitushkin;ein Bericht 112
Hinweise zu § 3 113
§ 4. Das Fusion Lemma von Roth 113
A. Das Fusion Lemma 113
B. Neuer Beweis des Satzes von Bishop 117
8 Inhaltsverzeichnis
Kapitell V. Approximation auf abgeschlossenen Mengen 119
§ 1. Gleichmäßige Approximation durch meromorphe Funktionen ... 119
A. Problemstellung 119
B. Der Approximationssatz von Roth 120
C. Sonderfälle des Approximationssatzes 121
Ci. Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung G* von G; Zusammen¬
hang von G* F 122
C2- Drei hinreichende Kriterien für meromorphe Approxi¬
mation 123
D. Charakterisierung der Mengen, auf denen meromorphe Appro¬
ximation möglich ist 124
§ 2. Gleichmäßige Approximation durch holomorphe Funktionen ... 125
A. Polverschiebung bei meromorphen Funktionen 125
B. Topologische Vorbemerkungen 126
C. Der Approximationssatz von Arakeljan 127
Ci. Approximation meromorpher durch holomorphe Funk¬
tionen 127
C2- Der Satz von Arakeljan 129
Hinweise zu § 2 131
§ 3. Approximation mit Geschwindigkeit 131
A. Problemstellung;Satz von Carleman 132
A(. Tangentielle Approximation;e-Approximation 132
A2. Zwei Hilfssätze 132
A3. Der Satz von Carleman 135
B. Der Sonderfall F nirgends dicht 137
Bj. Hinreichende Bedingungen für e-Approximation 137
B2. Tangentielle Approximation, fällst = p 139
C. Der Satz von Nersesjan 140
Cj. Die Bedingung (A);ein Hilfssatz 140
C2. Der Satz von Nersesjan 141
Hinweise zu § 3 143
§ 4. Approximation mit gewisser Geschwindigkeit 144
A. e-Approximation ohne Bedingung (A) 145
B. Wachstum der approximierenden Funktion 146
C. Der Sonderfall F = R 146
§ 5. Einige Anwendungen der Approximationssätze 147
A. Radiale Randwerte ganzer Funktionen 147
B. Randverhalten im Einheitskreis analytischer Funktionen. . . 151
Bj. Ein allgemeiner Approximationssatz 152
B2- Das Dirchlet-Problem für radiale Randwerte 154
C. Approximation und Eindeutigkeitsaussagen 155
D. Verschiedene weitere Konstruktionen 156
Dp Vorgeschriebenes Randverhalten längs abzählbar vieler
Kurven 156
Inhaltsverzeichnis 9
D2. Analytische Funktionen mit vorgeschriebenen cluster
sets. 157
D3. Schneider s Nudeln 158
D4. Julia-Richtungen ganzer Funktionen 158
Hinweise zu § 5 159
Symbole und Bezeichnungen 161
Literatur 162
Sachverzeichnis 174
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