Herleitung, Berechnung und ökonomische Anwendung von Rao-Distanzen:
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Bergisch Gladbach [u.a.]
Eul
1993
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40 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Überblick 1
1.1 Differentialgeometrie und Statistik ................................... 1
1.2 Anschauung und Anwendung .............................................. 3
1.3 Überblick ............................................................. 7
2 Distan^maße 15
2.1 Einige wichtige Distanzmaße........................................... 15
2.1.1 Die Rao-Distanz ............................................... 16
2.1.2 Weitere Distanzmaße............................................ 16
2.1.3 Zusammenhänge zwischen den Distanzmaßen ....................... 18
2.2 Eigenschaften von Distanzmaßen ....................................... 20
2.2.1 Distanz-Axiome................................................. 20
2.2.2 Informationstheoretische Fundierung............................ 22
2.2.3 Invarianz...................................................... 23
2.2.4 Verteilungsfiexibilität........................................ 25
2.2.5 Distanz-Tests.................................................. 26
2.2.6 Gute Anwendbarkeit........................................... 27
2.3 Zusammenfassung....................................................... 28
3 Differentialgeometrie im R3 29
3.1 Kurven im R3.......................................................... 29
3.1.1 Reguläre, parametrisierte Kurven................................ 30
3.1.2 Die Bogenlänge................................................. 31
3.1.3 Die Krümmung einer Kurve....................................... 32
3.1.4 Die Torsion einer Kurve......................................... 33
3.2 Flächen im R3......................................................... 33
3.2.1 Der Flächenbegriff.............................................. 34
3.2.2 Die Bogenlänge einer Flächenkurve.............................. 36
3.2.3 Der Schnittwinkel von Flächenkurven............................. 37
3.2.4 Die Normalkrümmung............................................. 38
iii
INHALTSVERZEICHNIS
3.2.5 Die Gaußsche Krümmung............................................ 40
3.2.6 Eine Klassifikation von Flächenpunkten........................... 42
4 Die Herleitung der Rao-Distanz 47
4.1 Vorbemerkungen.......................................................... 47
4.1.1 Der Inhalt dieses Kapitels....................................... 47
4.1.2 Zur Schreibweise................................................. 48
4.1.3 Geometrie in der Statistik....................................... 49
4.2 Statistische Modelle und Mannigfaltigkeiten........................... 49
4.2.1 Statistische Modelle............................................. 50
4.2.2 Mannigfaltigkeiten............................................... 50
4.2.3 Regularitätsbedingungen........................................ 52
4.3 Tangentialräume ........................................................ 54
4.3.1 Die Konstruktion des Tangentialraums............................. 54
4.3.2 Die 1-Darstellung des Tangentialraums......................... . 55
4.4 Tensoren................................................................ 56
4.4.1 Kovariante und kontravariante Vektoren........................... 57
4.4.2 Invarianten und Tensoren erster Ordnung.......................... 59
4.4.3 Tensoren höherer Ordnung......................................... 60
4.4.4 Algebraische Operationen......................................... 61
4.4.5 Abschließende Bemerkungen ..................................... 61
4.5 Fisher-Information und Rao-Distanz ..................................... 62
4.5.1 Die Fisher-Information als metrischer Tensor..................... 62
4.5.2 Anmerkungen zur Fisher-Information............................... 64
4.5.3 Beobachtete Geometrien........................................... 65
4.5.4 Geometrische Interpretation der Fisher-Information............... 66
4.5.5 Die Rao-Distanz ................................................. 67
5 Berechnung von Rao-Distanzen 69
5.1 Affine Zusammenhänge und Geodätische.................................. 70
5.1.1 Eine Verallgemeinerung des Begriffs “Gerade“..................... 70
5.1.2 Affine Zusammenhänge............................................. 70
5.1.3 Geodätische...................................................... 71
5.1.4 Christoffel-Symbole erster Art................................... 72
5.1.5 Zur Berechnung von Rao-Distanzen................................. 73
5.2 Rao-Distanzen in 1-Mannigfaltigkeiten................................... 74
5.2.1 Die Vereinfachung der Berechnungen............................... 74
5.2.2 Ergebnisse....................................................... 75
5.3 Krümmungsmaße........................................................... 77
INHALTSVERZEICHNIS
v
5.3.1 ChristofFel-Symbole zweiter Art.................................. 78
5.3.2 Riemannsche Tensoren erster und zweiter Art.................... 78
5.3.3 Sektionale Krümmung.............................................. 80
5.3.4 Ergebnisse zur sektionalen Krümmung.............................. 82
5.3.5 Zusammenfassung der Ergebnisse................................... 88
5.3.6 a-Zusammenhänge und a-Krümmungen................................. 89
5.4 Hyperbolische Geometrie................................................. 91
5.4.1 Die Einbettung von Mannigfaltigkeiten im R^...................... 92
5.4.2 Die Geschichte der hyperbolischen Geometrie...................... 93
5.4.3 Hyperbolische Flächen im R2.................................... 95
5.5 Weitere Rao-Distanzen................................................... 98
5.5.1 Die Möbius-Distanz............................................... 98
5.5.2 Rao-Distanz der zweiparametrischen Normalverteilung............. 99
5.5.3 Isokreise der zweiparametrischen Nor mal Verteilung ............ 101
5.5.4 Die logistische Verteilung...................................... 104
5.5.5 Weitere zweiparametrische Verteilungen ......................... 106
5.5.6 Multivariate Verteilungen ...................................... 107
6 Empirische Anwendung von Rao-Distanzen 113
6.1 Rao-Distanz-Tests...................................................... 114
6.1.1 Die Schätzung von Rao-Distanzen................................. 114
6.1.2 Die Konstruktion von Rao-Distanz-Tests.......................... 116
6.1.3 Ergebnisse zu Rao-Distanz-Tests ................................ 117
6.2 Entscheidungskriterien in der Portfolio-Theorie........................ 123
6.2.1 (/*, cr)-Kriterium und Bernoulli-Prinzip.........................123
6.2.2 Die Vereinbarkeit beider Kriterien.............................. 125
6.3 Die Auswahl des optimalen Aktivums..................................... 129
6.3.1 Die Bestimmung des Optimums..................................... 129
6.3.2 Die Überprüfung der Auswahl..................................... 130
6.3.3 Eine kurze Beurteilung.......................................... 134
6.4 Einige Erweiterungen................................................... 136
6.4.1 Multivariate Verfahren und Rao-Distanzen........................ 136
6.4.2 Zur Auswahl und Anordnung von Populationen...................... 137
6.4.3 Die Auswahl des optimalen Portefeuilles......................... 138
7 Weitere Anwendungen von Rao-Distanzen 141
7.1 Rasterpunkte in Simulationen........................................... 141
7.1.1 Ein einparametrisches Problem................................... 141
7.1.2 Ein zweiparametrisches Problem.................................. 144
VI
INHALTSVERZEICHNIS
7.2 Bemerkungen zur Standarddistanz ...................................... 146
7.2.1 Die Standarddistanz............................................. 146
7.2.2 Euklidische Abstände und gepoolte Varianzen.................... 147
7.3 Rao-Distanzen als Eichmaß ............................................. 150
8 Zusammenfassung und Ausblick
153
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