Numerische Mathematik: mit 138 Beispielen und 106 Aufgaben
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Stuttgart
Teubner
1993
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| adam_text | Inhalt
1 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden
1.1 Gaußscher Algorithmus 11
1.1.1 Der fundamentale Rechenprozeß 11
1.1.2 Pivotstrategien 19
1.1.3 Ergänzungen 26
1.2 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen 29
1.2.1 Normen 29
1.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition 35
1.3 Systeme mit speziellen Eigenschaften 39
1.3.1 Symmetrische, positiv definite Systeme 39
1.3.2 Bandgleichungen 45
1.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteme 47
1.4 Austausch Schritt und Inversion von Matrizen 51
1.4.1 Lineare Funktionen, Austausch 51
1.4.2 Matrizeninversion 53
1.5 Aufgaben 56
2 Lineare Optimierung
2.1 Einführungsbeispiele, graphische Lösung 59
2.2 Der Simplex Algorithmus 64
2.3 Ergänzungen zum Simplex Algorithmus 71
2.3.1 Degeneration 71
2.3.2 Mehrdeutige Lösung 76
2.3.3 Nichtbeschränkte Zielfunktion 77
2.4 Allgemeine lineare Programme 78
2.4.1 Behandlung von freien Variablen 78
2.4.2 Methode der Koordinatenverschiebung 79
2.4.3 Die Zweiphasenmethode 82
2.5 Diskrete Tschebyscheff Approximation 86
2.6 Aufgaben 91
3 Interpolation
3.1 Existenz und Eindeutigkeit der Polynominterpolation 94
3.2 Lagrange Interpolation 95
3.2.1 Rechentechnik 95
3.2.2 Anwendungen 99
3.3 Fehlerabschätzung 104
6 Inhalt
3.4 Newton Interpolation 109
3.5 Interpolation nach Aitken Neville 116
3.5.1 Die Algorithmen von Aitken und Neville 117
3.5.2 Extrapolation und Romberg Schema 119
3.5.3 Inverse Interpolation 122
3.6 Rationale Interpolation 124
3.6.1 Problemstellung und Problematik 124
3.6.2 Spezielle Interpolationsaufgabe, Thielescher Kettenbruch 126
3.7 Spline Interpolation 133
3.7.1 Charakterisierung der Spline Funktion 133
3.7.2 Berechnung der kubischen Spline Interpolierenden 136
3.7.3 Allgemeine kubische Spline Interpolation 140
3.7.4 Periodische kubische Spline Interpolation 142
3.7.5 Glatte zweidimensionale Kurvendarstellung 145
3.8 Aufgaben 147
4 Funktionsapproximation
4.1 Fourierreihen 150
4.2 Effiziente Berechnung der Fourierkoeffizienten 161
4.2.1 Der Algorithmus von Runge 162
4.2.2 Die schnelle Fouriertransformation 165
4.3 Orthogonale Polynome 175
4.3.1 Die Tschebyscheff Polynome 175
4.3.2 Tschebyscheffsche Interpolation 183
4.3.3 Die Legendre Polynome 188
4.4 Aufgaben 193
5 Nichtlineare Gleichungen
5.1 Banachscher Fixpunktsatz 196
5.2 Konvergenzverhalten und Konvergenzordnung 200
5.3 Gleichungen in einer Unbekannten 208
5.3.1 Intervallschachtelung, Regula falsi, Sekantenmethode 208
5.3.2 Verfahren von Newton 214
5.3.3 Interpolationsmethoden 217
5.4 Gleichungen in mehreren Unbekannten 220
5.4.1 Fixpunktiteration und Konvergenz 220
5.4.2 Verfahren von Newton 222
5.5 Nullstellen von Polynomen 228
5.6 Aufgaben 238
6 Eigenwertprobleme
6.1 Das charakteristische Polynom, Problematik 241
6.2 Jacobi Verfahren 244
Inhalt 7
6.2.1 Elementare Rotationsmatrizen 245
6.2.2 Das klassische Jacobi Verfahren 247
6.2.3 Zyklisches Jacobi Verfahren 252
6.3 Transformationsmethoden 256
6.3.1 Transformation auf Hessenbergform 256
6.3.2 Transformation auf tridiagonale Form 260
6.3.3 Schnelle Givens Transformation 262
6.3.4 Methode von Hyman 267
6.4 QR Algorithmus 272
6.4.1 Grundlagen zur QR Transformation 272
6.4.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte 277
6.4.3 QR Doppelschritt, komplexe Eigenwerte 282
6.4.4 QR Algorithmus für tridiagonale Matrizen 288
6.4.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren 292
6.5 Aufgaben 293
7 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate
7.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen 296
7.2 Methoden der Orthogonaltransformation 301
7.2.1 Givens Transformation 301
7.2.2 Spezielle Rechentechniken 307
7.2.3 Householder Transformation 310
7.3 Singulärwertzerlegung 316
7.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme 321
7.4.1 Gauß Newton Methode 321
7.4.2 Minimierungsverfahren 325
7.5 Aufgaben 329
8 Integralberechnung
8.1 Die Trapezmethode 331
8.1.1 Problemstellung und Begriffe 332
8.1.2 Definition der Trapezmethode und Verfeinerung 332
8.1.3 Die Euler Maclaurinsche Summenformel 335
8.1.4 Das Romberg Verfahren 337
8.1.5 Adaptive Quadraturverfahren 340
8.2 Transformationsmethoden 343
8.2.1 Periodische Integranden 343
8.2.2 Integrale über R 345
8.2.3 Transformationsmethoden 347
8.3 Interpolatorische Quadraturformeln 351
8.3.1 Newton Cotes Quadraturformeln 351
8.3.2 Gaußsche Quadraturformeln 359
8.4 Aufgaben 365
8 Inhalt
9 Gewöhnliche Differentialgleichungen
9.1 Einschrittmethoden 368
9.1.1 Die Methode von Euler und der Taylorreihe 368
9.1.2 Diskretisationsfehler, Fehlerordnung 372
9.1.3 Verbesserte Polygonzugmethode, Trapezmethode,
Verfahren von Heun 376
9.1.4 Runge Kutta Verfahren 381
9.1.5 Implizite Runge Kutta Verfahren 391
9.1.6 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme 393
9.2 Mehrschrittverfahren 396
9.2.1 Die Methoden von Adams Bashforth 397
9.2.2 Die Methoden von Adams Moulton 400
9.2.3 Allgemeine Mehrschrittverfahren 403
9.3 Stabilität 413
9.3.1 Inhärente Instabilität 413
9.3.2 Absolute Stabilität 414
9.3.3 Steife Differentialgleichungen 423
9.4 Aufgaben 428
10 Partielle Differentialgleichungen
10.1 Elliptische Randwertaufgaben, Differenzenmethode 431
10.1.1 Problemstellung 431
10.1.2 Diskretisation der Aufgabe 433
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen 438
10.1.4 Diskretisationsfehler 450
10.1.5 Ergänzungen 462
10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben 465
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode 465
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode 471
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten 476
10.2.4 Zweidimensionale Probleme 478
10.3 Methode der finiten Elemente 483
10.3.1 Grundlagen 483
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente 486
10.3.3 Elementweise Bearbeitung 488
10.3.4 Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen 493
10.3.5 Beispiele 494
10.4 Aufgaben 497
11 Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren
11.1 Gesamtschritt und Einzelschrittverfahren 501
11.1.1 Konstruktion der Iterationsverfahren 501
11.1.2 Einige Konvergenzsätze 507
Inhalt 9
11.1.3 Optimaler Relaxationsfaktor der Überrelaxation 520
11.2 Methode der konjugierten Gradienten 527
11.2.1 Herleitung des Algorithmus 527
11.2.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten 532
11.2.3 Konvergenzabschätzung 535
11.2.4 Vorkonditionierung 538
11.3 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen 545
11.3.1 Grundlagen des Verfahrens 545
11.3.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften 548
11.4 Speicherung schwach besetzter Matrizen 554
11.5 Aufgaben 557
Literatur 561
Sachverzeichnis 571
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