Funktionentheorie: 1
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| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer-Verlag
1992
|
| Ausgabe: | 3., verb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Grundwissen Mathematik
Springer-Lehrbuch Grundwissen Mathematik ... Springer-Lehrbuch |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Dieser Bd. erschien früher als Bd. 5 der Reihe "Grundwissen Mathematik" |
| Beschreibung: | XVI, 360 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 3540552332 |
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INHALTSVERZEICHNIS
HISTORISCHE EINFUEHRUNG 1
ZEITTAFEL
6
TEIL A. ELEMENTE DER FUNKTIONENTHEORIE
KAPITEL 0. KOMPLEXE ZAHLEN UND STETIGE FUNKTIONEN
7
§ 1. DER KOERPER C DER KOMPLEXEN ZAHLEN 7
1. DER KOERPER C
- 2. R-LINEARE UND E-LINEARE ABBILDUNGEN C- C -
3. SKALARPRODUKT UND ABSOLUTER BETRAG - 4. WINKELTREUE ABBILDUNGEN
§ 2. TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 13
1. METRISCHE RAEUME - 2. OFFENE URID ABGESCHLOSSENE MENGEN - 3. KONVER
GENTE FOLGEN. HAEUFUNGSPUNKTE - 4. HISTORISCHES ZUM KONVERGENZBEGRIFT -
5. KOMPAKTE MENGEN
§ 3. KONVERGENTE FOLGEN KOMPLEXER ZAHLEN 18
1. RECHENREGELN - 2. CAUCHYSCHES KONVERGENZKRITERIUM. CHARAKTERISIERUNG
KOMPAKTER MENGEN IN C
§ 4. KONVERGENTE UND ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 20
1. KONVERGENTE REIHEN KOMPLEXER ZAHLEN - 2. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN.
MAJORANTENKRITERIUM - 3. UMORDNUNGSSATZ - 4. HISTORISCHES ZUR ABSOLUTEN
KONVERGENZ - 5. BEMERKUNGEN ZUM RIEMANNSCHEN UMORDNUNGSSATZ -
6. REIHENPRODUKTSATZ
§ 5. STETIGE FUNKTIONEN 27
1. STETIGKEITSBEGRIFF - 2. DIE C-ALGEBRA
1F(X)
- 3. HISTORISCHES ZUM FUNK
TIONSBEGRIFF - 4. HISTORISCHES ZUM STETIGKEITSBEGRIFF
§ 6. ZUSAMMENHAENGENDE RAEUME. GEBIETE IN C 31
1. LOKAL-KONSTANTE FUNKTIONEN. ZUSAMMENHANGSBEGRIFF - 2. WEGE UND WEG
ZUSAMMENHANG - 3. GEBIETE IN C - 4. ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN VON
BEREICHEN - S. RAND UND RANDABSTAND
KAPITEL 1. KOMPLEXE DIFFERENTIALRECHNUNG
36
§ 1. KOMPLEX DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN 37
1. KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT - 2. CAUCHY-RIEMANNSCHE
DIFFERENTIALGLEI
CHUNGEN - 3. HISTORISCHES ZU DEN CAUCHY-RIEMANNSCHEN DIFFERENTIALGLEI
CHUNGEN
HTTP://D-NB.INFO/920396259
X INHALTSVERZEICHNIS
§ 2. KOMPLEXE UND REELLE DIFFERENZIERBARKEIT
1. CHARAKTERISIERUNG KOMPLEX DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN - 2. EIN
HINREI
CHENDES KRITERIUM FUER KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT - 3. BEISPIELE ZU DEN
CAUCHY-RIEMANNSCHEN GLEICHUNGEN - 4.* HARMONISCHE FUNKTIONEN
§ 3. HOLOMORPHE FUNKTIONEN
1. DIFFERENTIATIONSREGELN - 2. DIE C-ALGEBRA
(S(D) -
3. CHARAKTERISIERUNG
LOKAL-KONSTANTER FUNKTIONEN - 4. HISTORISCHES ZUR NOTATION
§ 4. PARTIELLE DIFFERENTIATION NACH
X, Y, Z
UND Z
1. DIE PARTIELLEN ABLEITUNGEN /
X
,/
Y
,/
Z
,/- - 2. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN
ABLEITUNGEN U
X
,U
Y
,V
X
,V
Y
, - 3. DIE CAUCHY-RIEMANNSCHE DIFFEREN-
DF
TIALGLEICHUNG -
=
0
- 4. KALKUEL DER DIFFERENTIALOPERATOREN D UND D
DZ
KAPITEL 2. HOLOMORPHIE UND WINKELTREUE. BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN .
.
.
.
§ 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN UND WINKELTREUE
1. WINKELTREUE, HOLOMORPHIE UND ANTIHOLOMORPHIE - 2. WINKEL- UND ORIEN
TIERUNGSTREUE, HOLOMORPHIE - 3. GEOMETRISCHE DEUTUNG DER WINKELTREUE -
4. ZWEI BEISPIELE - 5. HISTORISCHES ZUR WINKELTREUE
§ 2. BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN
1. KOMPLEXE 2
X
2
MATRIZEN UND BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN - 2. DIE BI
Z - I
HOLOMORPHE CAYLEYABBILDUNG IH^ IE, ZI- 3. BEMERKUNGEN ZUR CAY
Z + I
LEYABBILDUNG - 4* BIJEKTIVE HOLOMORPHE ABBILDUNGEN VON IH UND VON IE AUF
DIE GESCHLITZTE EBENE
§ 3. AUTOMORPHISMEN DER OBEREN HALBEBENE UND DES EINHEITSKREISES . .
1. AUTOMORPHISMEN VON H - 2. AUTOMORPHISMEN VON IE - 3. DIE SCHREIB
Z - W
WEISE R\ - FUER AUTOMORPHISMEN VON IE - 4. HOMOGENITAET VON IE UND IH
WZ- 1
KAPITEL 3. KONVERGENZBEGRIFFE DER FUNKTIONENTHEORIE
§ 1. GLEICHMAESSIGE, LOKAL-GLEICHMAESSIGE UND KOMPAKTE KONVERGENZ . . .
1. GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ - 2. LOKAL-GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ -
3. KOMPAKTE KONVERGENZ - 4. HISTORISCHES ZUR GLEICHMAESSIGEN KONVERGENZ -
5.* KOMPAKTE UND STETIGE KONVERGENZ
§ 2. KONVERGENZKRITERIEN
1. CAUCHYSCHES KONVERGENZKRITERIUM - 2. WEIERSTRASSSCHES MAJORANTENKRITE
RIUM
§ 3. NORMAL KONVERGENTE REIHEN
1. NORMALE KONVERGENZ - 2. DISKUSSION DER NORMALEN KONVERGENZ -
3. HISTORISCHES ZUR NORMALEN KONVERGENZ
KAPITEL 4. POTENZREIHEN
§ 1. KONVERGENZKRITERIEN
1. ABELSCHES KONVERGENZLEMMA - 2. KONVERGENZRADIUS - 3. FORMEL VON
CAUCHY-HADAMARD
- 4. QUOTIENTENKRITERIUM - 5. HISTORISCHES ZU KONVER
GENTEN POTENZREIHEN
40
45
50
57
58
63
68
72
73
80
82
85
85
INHALTSVERZEICHNIS XI
§2. BEISPIELE KONVERGENTER POTENZREIHEN 90
1. EXPONENTIALREIHE UND TRIGONOMETRISCHE REIHEN. EULERSCHE FORMEL -
2. LOGARITHMISCHE REIHE UND ARCUSTANGENSREIHE - 3. BINOMISCHE REIHE -
4.* KONVERGENZVERHALTEN AUF DEM RAND - 5* ABELSCHER STETIGKEITSSATZ
§ 3. HOLOMORPHIE VON POTENZREIHEN 96
1. FORMALE GLIEDWEISE DIFFERENTIATION UND INTEGRATION - 2. HOLOMORPHIE
VON
POTENZREIHEN. VERTAUSCHUNGSSATZ - 3. HISTORISCHES ZUR GLIEDWEISEN
DIFFEREN
TIATION VON REIHEN - 4. BEISPIELE HOLOMORPHER FUNKTIONEN
§ 4. STRUKTUR DER ALGEBRA DER KONVERGENTEN POTENZREIHEN 100
1. ORDNUNGSFUNKTION - 2. EINHEITENSATZ - 3. NORMALFORM KONVERGENTER PO
TENZREIHEN - 4. BESTIMMUNG ALLER IDEALE
KAPITEL 5. ELEMENTAR-TRANSZENDENTE FUNKTIONEN
. 104
§ 1. EXPONENTIALFUNKTION UND TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 104
1. CHARAKTERISIERUNG VON EXPZ DURCH DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG - 2. ADDI
TIONSTHEOREM DER EXPONENTIALFUNKTION - 3. BEMERKUNGEN ZUM ADDITIONS
THEOREM - 4. ADDITIONSTHEOREME FUER COSZ UND SINZ - 5. HISTORISCHES ZU
COSZ
UND SINZ - 6. HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN
§ 2. EPIMORPHIESATZ FUER EXP Z UND FOLGERUNGEN 109
1. EPIMORPHIESATZ - 2. DIE GLEICHUNG KERN (EXP) = 2 IT I
Z
- 3. PERIODIZITAET
VON EXPZ - 4. WERTEVORRAT, NULLSTELLEN UND PERIODIZITAET VON COSZ UND
SINZ -
S. COTANGENS- UND TANGENSFUNKTION. ARCUSTANGENSREIHE - 6. DIE GLEICHUNG
E'*=I
§3. POLARKOORDINATEN, EINHEITSWURZELN U
N
D NATUERLICHE GRENZEN .
. . .
1
1
5
1. POLARKOORDINATEN - 2. EINHEITSWURZELN - 3. SINGULAERE PUNKTE UND
NATUERLI
CHE GRENZEN - 4. HISTORISCHES ZU NATUERLICHEN GRENZEN
§ 4. LOGARITHMUSFUNKTIONEN 120
1. DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN - 2. EXISTENZ VON
LOGARITHMUS
FUNKTIONEN - 3. DIE EULERSCHE FOLGE (1 -T-Z/N)" - 4. HAUPTZWEIG DES
LOGARITH
MUS - S. HISTORISCHES ZUR LOGARITHMUSFUNKTION IM KOMPLEXEN
§ 5. DISKUSSION VON LOGARITHMUSFUNKTIONEN 125
1. ZU DEN IDENTITAETEN LOG(WZ)=LOGW + LOGZ UND LOG(EXPZ) = Z - 2.
LOGARITH
MUS UND ARCUSTANGENS - 3. POTENZFUNKTIONEN. FORMEL VON
NEWTON-ABEL -
4. DIE RIEMANNSCHE F-FUNKTION
TEIL B. CAUCHYSCHE FUNKTIONENTHEORIE
KAPITEL 6. KOMPLEXE INTEGRALRECHNUNG
130
§ 0. INTEGRATION IN REELLEN INTERVALLEN 131
1. INTEGRALBEGRIFT. RECHENREGELN UND STANDARDABSCHAETZUNG - 2.
FUNDAMENTAL
SATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
§ 1. WEGINTEGRALE IN C 133
1. STETIG UND STUECKWEISE STETIG DIFFERENZIERBARE WEGE - 2. INTEGRATION
LAENGS
WEGEN - 3. DIE INTEGRALE J (( -C)"D - 4. HISTORISCHES ZUR INTEGRATION
IM
XII INHALTSVERZEICHNIS
KOMPLEXEN - 5. UNABHAENGIGKEIT VON DER PARAMETRISIERUNG - 6. ZUSAMMEN
HANG MIT REELLEN KURVENINTEGRALEN
§ 2. EIGENSCHAFTEN KOMPLEXER WEGINTEGRALE 139
1. RECHENREGELN - 2. STANDARDABSCHAETZUNG - 3. VERTAUSCHUNGSSAETZE - 4.
DAS
§ 3. WEGUNABHAENGIGKEIT VON INTEGRALEN. STAMMFUNKTIONEN 144
1. STAMMFUNKTIONEN - 2. BEMERKUNGEN UEBER STAMMFUNKTIONEN.
INTEGRABILITAETS
KRITERIUM - 3. INTEGRABILITAETSKRITERIUM FUER STERNGEBIETE
KAPITEL
7.
INTEGRALSATZ, INTEGRALFORMEL UND POTENZREIHENENTWICKLUNG
.
.
.
.
149
§ 1. CAUCHYSCHER INTEGRALSATZ FUER STERNGEBIETE 149
1.
INTEGRALLEMMA VON
GOURSAT - 2.
CAUCHYSCHER INTEGRALSATZ FUER STERNGEBIE
TE -
3.
HISTORISCHES ZUM INTEGRALSATZ - 4. HISTORISCHES ZUM INTEGRALLEMMA -
5.* REELLER BEWEIS DES INTEGRALLEMMAS - 6.* DIE FRESNELSCHEN INTEGRALE -
7.* DAS INTEGRAL I(Z)-~ J T~
1
(E~'-E~'
Z
)DT
O
§ 2. CAUECHYSCHE INTEGRALFORMEL FUER KREISSCHEIBEN 158
1.
VERSCHAERFUNG DES CAUCHYSCHEN INTEGRALSATZES FUER STERNGEBIETE -
2.
CAUE
CHYSCHE INTEGRALFORMEL FUER KREISSCHEIBEN -
3.
HISTORISCHES ZUR INTEGRALFORMEL
- 4* DIE CAUECHYSCHE INTEGRALFORMEL FUER REELL STETIG DIFFERENZIERBARE
FUNKTIO
NEN - 5* SCHWARZSCHE INTEGRALFORMEL
§ 3. ENTWICKLUNG HOLOMORPHER FUNKTIONEN IN POTENZREIHEN 163
1.
ENTWICKLUNGSLEMMA -
2.
GNTWICKLUNGSSATZ VON
CAUCHY-TAYLOR - 3.
HISTO
RISCHES ZUM ENTWICKLUNGSSATZ - 4. RIEMANNSCHER FORTSETZUNGSSATZ - S.
HISTORI
SCHES ZUM RIEMANNSCHEN FORTSETZUNGSSATZ
§ 4. DISKUSSION DES ENTWICKLUNGSSATZES 169
1. HOLOMORPHIE UND UNENDLICH HAEUFIGE KOMPLEXE DIFFERENZIERBARKEIT -
2.
UMBILDUNGSSATZ -
3.
ANALYTISCHE FORTSETZUNG - 4. PRODUKTSATZ FUER POTENZ
REIHEN - 5. BESTIMMUNG VON KONVERGENZRADIEN
§ 5* SPEZIELLE TAYLORREIHEN. BERNOULLISCHE ZAHLEN 173
1.
TAYLORREIHE VON Z(E
Z
- L)~
L
. BERNOULLISCHE ZAHLEN -
2.
TAYLORREIHEN VON
Z
ZCOTZ, TANZ UND
-R^- - 3.
POTENZSUMMEN UND BERNOULLISCHE ZAHLEN -
SINZ
4. BERNOULLISCHE POLYNOME
TEIL C. CAUCHY-WEIERSTRASS-RIEMANNSCHE FUNKTIONENTHEORIE
KAPITEL 8. FUNDAMENTALSAETZE UEBER HOLOMORPHE FUNKTIONEN
178
§ 1. IDENTITAETSSATZ 178
1. IDENTITAETSSATZ - 2. HISTORISCHES ZUM IDENTITAETSSATZ - 3. DISKRETHEIT
UND
ABZAEHLBARKEIT DER A-STELLEN - 4. NULLSTELLENORDNUNG UND VIELFACHHEIT -
S. EXISTENZ SINGULAERER PUNKTE
§2. DER HOLOMORPHIEBEGRIFF 185
1. HOLOMORPHIE, LOKALE INTEGRABILITAET UND KONVERGENTE POTENZREIHEN -
INHALTSVERZEICHNIS XIII
2. HOLOMORPHIE VON INTEGRALEN - 3. HOLOMORPHIE, WINKEL- UND
ORIENTIERUNGS
TREUE (ENDGUELTIGE FASSUNG) - 4. CAUCHYSCHER, RIEMANNSCHER UND WEIERSTRASS
SCHER STANDPUNKT. DAS GLAUBENSBEKENNTNIS VON
WEIERSTRASS
§3. CAUCHYSCHE ABSCHAETZUNGEN UND UNGLEICHUNGEN FUER TAYLORKOEFFIZIEN
TEN
1. CAUCHYSCHE ABSCHAETZUNGEN FUER ABLEITUNGEN IN KREISSCHEIBEN - 2.
GUTZMER
SCHE FORMEL. MAXIMUMPRINZIP - 3. GANZE FUNKTIONEN. SATZ VON
LIOUVILLE
-
4
.
HISTORISCHES ZU DEN CAUCHYSCHEN UNGLEICHUNGEN UND ZUM SATZ VON
LIOU
VILLE
- 5.* BEWEIS DER CAUCHYSCHEN UNGLEICHUNGEN NACH
WEIERSTRASS
§ 4. KONVERGENZSAETZE VON
WEIERSTRASS
1. WEIERSTRASSSCHER KONVERGENZSATZ - 2. DIFFERENTIATIONSSAETZE FUER REIHEN.
WEIERSTRASSSCHER DOPPELREIHENSATZ - 3. HISTORISCHES ZU DEN
KONVERGENZSAETZEN
- 4.* WEITERE KONVERGENZSAETZE - 5.* EINE BEMERKUNG
WEIERSTRASS'
ZUR
HOLOMORPHIE - 6.* EINE KONSTRUKTION VON
WEIERSTRASS
§ 5. OFFENHEITSSATZ UND MAXIMUMPRINZIP
1. OFFENHEITSSATZ - 2. MAXIMUMPRINZIP - 3. HISTORISCHES ZUM MAXIMUM
PRINZIP - 4. VERSCHAERFUNG DES WEIERSTRASSSCHEN KONVERGENZSATZES - 5. SATZ
VON
HURWITZ
KAPITEL 9. MISCELLANEA
§ 1. FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA
1. FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA - 2. VIER BEWEISE DES FUNDAMENTALSATZES
- 3. SATZ VON
GAUSS
UEBER DIE LAGE DER NULLSTELLEN VON ABLEITUNGEN
§ 2. SCHWARZSCHES LEMMA UND DIE GRUPPEN AUT IE, AUT H
1. SCHWARZSCHES LEMMA - 2. MITTELPUNKTSTREUE AUTOMORPHISMEN VON
IE.
DIE
GRUPPEN AUT
IE
UND AUT 1H - 3. FIXPUNKTE VON AUTOMORPHISMEN - 4. HISTORI
SCHES ZUM SCHWARZSCHEN LEMMA - 5. LEMMA VON
SCHWARZ-PICK
- 6. SATZ
VON
STUDY
§ 3. HOLOMORPHE LOGARITHMEN UND HOLOMORPHE WURZELN
1. LOGARITHMISCHE ABLEITUNG. EXISTENZLEMMA - 2. HOMOLOGISCH EINFACH
ZUSAM
MENHAENGENDE BEREICHE. EXISTENZ HOLOMORPHER LOGARITHMUSFUNKTIONEN - 3.
F'(C)
HOLOMORPHE WURZELFUNKTIONEN - 4. DIE GLEICHUNG /(Z)=/(C)EXP Y-RRPRDC
- 5. DIE KRAFT DER QUADRATWURZEL , I '
§4. BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN. LOKALE NORMALFORM
1. BIHOLOMORPHIEKRITERIUM - 2. LOKALE INJEKTIVITAET UND
LOKAL-BIHOLOMORPHE
ABBILDUNGEN - 3. LOKALE NORMALFORM - 4. GEOMETRISCHE INTERPRETATION DER
LOKALEN NORMALFORM - 5. FAKTORISIERUNG HOLOMORPHER FUNKTIONEN
§ 5. ALLGEMEINE CAUCHY-THEORIE
1. DIE INDEXFUNKTION IND
Y
(Z) - 2. HAUPTSATZ DER CAUCHYSCHEN FUNKTIONENTHEO
RIE - 3. BEWEIS VON III)= II) NACH
DIXON
- 4. NULLHOMOLOGIE. CHARAKTERISIERUNG
HOMOLOGISCH EINFACH ZUSAMMENHAENGENDER BEREICHE
§ 6.* ASYMPTOTISCHE POTENZREIHENENTWICKLUNGEN
1. DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN - 2. EINE HINREICHENDE BEDIN
GUNG FUER DIE EXISTENZ ASYMPTOTISCHER ENTWICKLUNGEN - 3. ASYMPTOTISCHE
ENTWICKLUNGEN UND DIFFERENTIATION - 4. SATZ VON
RITT
- 5. SATZ VON E.
BOREL
189
195
201
208
208
211
217
221
226
231
XIV INHALTSVERZEICHNIS
KAPITEL 10. ISOLIERTE SINGULARITAETEN. MEROMORPHE FUNKTIONEN
239
§ 1. ISOLIERTE SINGULARITAETEN 239
1. HEBBARE SINGULARITAETEN. POLE - 2. ENTWICKLUNG VON FUNKTIONEN UM POL
STELLEN -
3.
WESENTLICHE SINGULARITAETEN. SATZ VON
CASORATI
UND
WEIERSTRASS
- 4. HISTORISCHES ZUR CHARAKTERISIERUNG ISOLIERTER SINGULARITAETEN
§ 2* AUTOMORPHISMEN PUNKTIERTER BEREICHE 244
1. ISOLIERTE SINGULARITAETEN HOLOMORPHER INJEKTIONEN - 2. DIE GRUPPEN A
U
T
C
UND A
U
T
C - 3. AUTOMORPHISMEN PUNKTIERTER BESCHRAENKTER BEREICHE -
4. STARRE GEBIETE
§ 3. MEROMORPHE FUNKTIONEN 248
1. DEFINITION DER MEROMORPHIE - 2. DIE C-ALGEBRA JF(D) DER IN D MEROMOR
PHEN FUNKTIONEN - 3. DIVISION VON MEROMORPHEN FUNKTIONEN - 4. DIE ORD
NUNGSFUNKTION O
E
KAPITEL 11. KONVERGENTE REIHEN MEROMORPHER FUNKTIONEN
254
§ 1. ALLGEMEINE KONVERGENZTHEORIE 254
1. KOMPAKTE UND NORMALE KONVERGENZ - 2. RECHENREGELN - 3. BEISPIELE
§ 2. DIE PARTIALBRUCHENTWICKLUNG VON
N
COT
N Z
258
1. COTANGENS UND VERDOPPLUNGSFORMEL. DIE IDENTITAET 7T COT 712 = 6! (Z) -
2. HISTORISCHES ZUR COTANGENSREIHE UND ZU IHREM BEWEIS - 3.
PARTIALBRUCHREI
7T
2
7T
HEN FUER -7-5- UND - 4.* CHARAKTERISIERUNG DES COTANGENS DURCH SEIN
SIN 7T Z SIN 7T Z
ADDITIONSTHEOREM BZW. SEINE DIFFERENTIALGLEICHUNG
0
§ 3. DIE EULERSCHEN FORMELN FUER Y -
L
- 262
^ V
V
AE
I
V
1. ENTWICKLUNG VON EJ(Z) UM 0 UND EULERSCHE FORMELN FUER C(2N) -
2. HISTORISCHES ZU DEN EULERSCHEN F(2N)-FORMELN - 3.
DIFFERENTIALGLEICHUNG FUER
E, UND EINE IDENTITAET FUER BERNOULLISCHE ZAHLEN - 4. DIE EISENSTEINREIHEN
§ 4*
EISENSTEIN-THEORIE
TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 265
1. ADDITIONSTHEOREM - 2. EISENSTEINS GRUNDFORMELN - 3. WEITERE
EISENSTEIN
SCHE FORMELN UND DIE IDENTITAET ,(Z)=7TCOT7TZ - 4. SKIZZE DER THEORIE
DER
KREISFUNKTIONEN NACH
EISENSTEIN
KAPITEL 12. LAURENTREIHEN UND FOURIERREIHEN
272
§ 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN IN KREISRINGEN UND LAURENTREIHEN .
.
.
.
272
1. CAUCHYTHEORIE FUER KREISRINGE - 2. LAURENTDARSTELLUNG IN KREISRINGEN -
3. LAURENTENTWICKLUNGEN - 4. BEISPIELE - 5. HISTORISCHES ZUM SATZ VON
LAURENT
- 6.* HERLEITUNG DES SATZES VON
LAURENT
AUS DEM SATZ VON
CAUCHY
TAYLOR
§ 2. EIGENSCHAFTEN VON LAURENTREIHEN 283
1. KONVERGENZSATZ UND IDENTITAETSSATZ - 2. GUTZMERSCHE FORMEL UND 'CAUCHY
SCHE UNGLEICHUNGEN - 3. CHARAKTERISIERUNG ISOLIERTER SINGULARITAETEN
INHALTSVERZEICHNIS XV
§ 3. PERIODISCHE HOLOMORPHE FUNKTIONEN UND FOURIERREIHEN 287
1. STREIFENGEBIETE UND KREISRINGE - 2. PERIODISCHE HOLOMORPHE FUNKTIONEN
IN STREIFENGEBIETEN - 3. FOURIERENTWICKLUNG IN STREIFENGEBIETEN - 4.
BEISPIELE
- 5. HISTORISCHES ZU FOURIERREIHEN
§ 4. DIE THETAFUNKTION 291
1. KONVERGENZSATZ - 2. KONSTRUKTION DOPPELT-PERIODISCHER FUNKTIONEN -
3. DIE FOURIERREIHE VON E~*
2NT
9(IRZ,
T)
- 4. TRANSFORMATIONSFORMEL DER THETA
FUNKTION - 5. HISTORISCHES ZUR THETAFUNKTION - 6. UEBER DAS
FEHLERINTEGRAL
KAPITEL 13. RESIDUENKALKUEL
300
§ 1. RESIDUENSATZ 300
1. EINFACH GESCHLOSSENE WEGE - 2. DAS RESIDUUM -
3.
BEISPIELE - 4. RESIDUEN
SATZ - 5. HISTORISCHES ZUM RESIDUENSATZ
§ 2. FOLGERUNGEN AUS DEM RESIDUENSATZ 308
1. DAS INTEGRAL -- F F(() "F DT, - 2. ANZAHLFORMEL FUER NULL- UND
POLSTEL
2T I
Y
F
(
0
~
A
LEN -
3.
SATZ VON
ROUCHE
KAPITEL 14. BESTIMMTE INTEGRALE UND RESIDUENKALKUEL
314
§ 1. BERECHNUNG VON INTEGRALEN 314
0. UNEIGENTLICHE INTEGRALE - 1. TRIGONOMETRISCHE INTEGRALE
2N
J R(COSQ , SIN P)DQ - 2. UNEIGENTLICHE INTEGRALE J F{X)DX - 3. DAS
INTEGRAL
O
OO
1
J -
D
X
FUER M, NEN, 0
M
N
O
1
"
L+X"
§ 2. WEITERE INTEGRALAUSWERTUNGEN 319
00
1. UNEIGENTLICHE INTEGRALE J G(X)E'
A
X
DX - 2. UNEIGENTLICHE INTEGRALE
- OO
~ SIN" X
J Q(X)X
A
~
L
DX - 3. DIE INTEGRALE J -
-
D
X
O O
X"
§ 3. GAUSSSCHE SUMMEN 326
E
UZ
1. ABSCHAETZUNG VON FUER 0
U
L - 2. BERECHNUNG DER GAUSSSCHEN
E
Z
- 1
N- 1 2NI ,
V
SUMMEN GYY = = E
N
, N
1
-
3
.
DIREKTER RESIDUENTHEORETISCHER BEWEIS DER
0
FORMEL J E~'
I
DT=]/N - 4. FOURIERREIHEN DER BERNOULLISCHEN POLYNOME
KURZBIOGRAPHIEN VON
A
B
E
L
, C
A
U
C
H
Y
, EISENSTEIN, E
U
L
E
R
, R
I
E
M
A
N
N
UND
WEIERSTRASS
333
PHOTOGRAPHIE VON RIEMANNS GRABPLATTE
337
XVI INHALTSVERZEICHNIS
LITERATUR
338
KLASSISCHE LITERATUR ZUR FUNKTIONENTHEORIE - LEHRBUCHLITERATUR ZUR
FUNKTIO
NENTHEORIE - LITERATUR ZUR GESCHICHTE DER FUNKTIONENTHEORIE UND DER MA
THEMATIK
SYMBOLVERZEICHNIS
346
NAMENVERZEICHNIS
347
SACHVERZEICHNIS
351
PORTRAETS BERUEHMTER MATHEMATIKER
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