Introduction aux structures algébriques:
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 0. — Introduction 1
0.1 Symboles usuels 1
0.2 Règles de calcul 2
0.3 Relations binaires 3
0.4 Familles d ensembles 5
0.5 Opérations 6
0.6 Homomorphisme et isomorphisme 7
0.7 Injection canonique 8
0.8 Théorème d épimorphisme 8
0.9 Ensemble des naturels 10
0.10 Algèbre universelle 12
0.11 Relation fondamentale 18
Chapitre 1. — Structures algébriques usuelles 23
1.1 Hypergroupoïde 23
1.2 Groupoïde large et groupolde 25
1.3 Demi groupe ou monoïde large 29
1.4 Catégorie 31
1.5 Définition de quelques structures 35
1.6 Sous groupes 39
1.7 Espace affine 42
1.8 Structures à opération externe 44
1.9 Anneau et corps 47
1.10 Algèbres et modules 50
1.11 Groupolde, demi groupe, groupe libres 52
1.12 Anneau libre, module libre, algèbre libre 57
Chapitre 2. — Ensembles et structures ordonnées 61
2.1 Eléments remarquables 61
2.2 Demi treillis et treillis 62
2.3 Demi groupe opérant sur un ensemble ordonné 66
2.4 Demi treillis et treillis complet 71
2.5 Groupoïde large à multiplication isotone 77
2.6 Résiduels 85
2.7 Images et coupes 91
2.8 Groupe opérant sur un ensemble 96
2.9 Ensembles noetheriens et artiniens 101
XII TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 3. — Groupoïde large à involution 103
3.1 Définition et exemples 103
3.2 Catégorie à involution 105
3.3 Quotients d un côté 107
3.4 Morphismes induits 110
3.5 Propriétés des facteurs d un produit 115
3.6 Exemples et applications 118
3.7 Egalité et inégalité modulaire 122
3.8 Catégorie modulaire 127
3.9 Application aux groupoïdes 139
3.10 Propriétés de certains morphismes 141
3.11 Fermeture transitive 142
Chapitre 4. — Définition de certaines catégories classiques 146
4.1 Catégories à morphismes nuls 146
4.2 Limites 148
4.3 Produit et somme directs 150
4.4 Noyau. Conoyau. Produit et somme fibres 153
4.5 Catégorie à objet nul 157
4.6 Catégorie semi additive 164
4.7 Catégorie abélienne 169
4.8 Objet injectif et objet projectif 174
Chapitre S. — Images, noyaux, coimages, conoyaux dans les catégories à
involution 175
5.1 Image entière 175
5.2 Noyau entier 177
5.3 Coimage réflexive 180
5.4 Catégorie bimodulaire 183
5.5 Conoyau réflexif 184
5.6 Couple exact et homologie 188
5.7 Décomposition canonique 194
5.8 Immersion dans une catégorie modulaire 197
5.9 Limites dans les catégories à involution 206
Chapitre 6. — Radicaux 210
6.1 Définition 210
6.2 Radicaux 210
6.3 Cas où le radical est une semi fermeture 216
6.4 Radicaux associés à un filtre 2 dual 219
6.5 Radicaux considérés comme intersection 228
Chapitre 7. — Relation de normalité 233
7.1 Normalité dans un demi treillis 233
7.2 ^ normalité 236
7.3 Divisibilité dans un demi groupe commutatif 248
7.4 Divisibilité dans un demi treillis 251
7.5 Union et intersection directe dans un treillis modulaire 260
7.6 Extension essentielle 266
TABLE DES MATIÈRES XIII
Annexe A. — Ensembles finis 272
A. 1 Extension de la notion de nombre 272
A.2 Anneau euclidien 272
A. 3 Demi groupe factoriel 273
A.4 Analyse combinatoire 273
A. 5 Translation à gauche 274
A. 6 Endomorphismes d un groupolde 274
A. 7 Permutations d un ensemble fini 275
A. 8 Groupe alterné 276
A.9 Groupe symétrique 277
A. 10 Demi groupe des Vi 278
A. 11 Compositions et partitions 278
A. 12 Produit symétrisé et formule de Newton Cayley Hamilton 279
A. 13 Application aux matrices 280
A. 14 Applications multilinéaires 281
A.15 Demi groupe des K( et fV/ 282
A. 16 Anneau de Lie 283
Annexe B. — Ensemble des parties d un groupoide 285
B. 1 Parties remarquables 285
B.2 Ensemble des parties d un groupe 286
B. 3 Normalité dans un groupe 287
B.4 Relation de transitivité par les translations à gauche 287
B.5 Classes doubles 288
B.6 Automorphismes intérieurs 288
B. 7 Centralisateur 288
B. 8 Catégorie des relations binaires 289
B. 9 Caractéristique et annulateur 289
B. 10 Treillis modulaire de parties 290
B. 11 Commutateurs 290
B. 12 Sous groupes normaux résidués 291
B. 13 Sous groupes normaux permis 292
B. 14 Modules simples et semi simples 292
B. 15 Conjugaison pour une application bilinéaire 294
Annexe C. — Idéaux. Radicaux 295
Cl Bimodules 295
C.2 Idéaux d un anneau 296
C.3 Radical inférieur 297
C.4 Radical de Jacobson 298
C. 5 Idéaux fractionnaires 299
C.6 jt idéaux 300
C.7 a idéaux 300
C.8 Anneau principal 301
Annexe D. — Catégories 302
D. 1 Définition par les objets 302
D. 2 Catégorie des ensembles 302
XIV TABLE DES MATIÈRES
D.3 Catégorie à morphismes nuls 304
D.4 Catégorie des groupes commutatifs 305
D.5 Catégorie des groupes 306
D.6 Relation multiplicative 307
D.7 Module différentiel 307
D.8 Dérivation extérieure 308
D.9 Complexe simplicial 309
Annexe E. — Treillis distributifs 311
E. 1 Treillis distributif 311
E.2 Treillis de Boole 311
E.3 Définition d un treillis de Boole à partir d un demi treillis 312
E.4 Implication dans un treillis de Boole 312
E.5 Groupoïde à implication 312
E.6 Théorie logique 313
E.7 Matrices de relations 314
E.8 Treillis topologique 315
Bibliographie 317
Notes 319
Index alphabétique 323
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