Diskrete dynamische Optimierung:
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Leipzig
Geest u. Portig
1981
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1. Diskrete dynamische Optimierung 12
1.1. Einführende Beispiele 12
1.2. Grundmodell eines mehrstufigen Entscheidungsprozesses 17
1.2.1. Ausgangsauf gäbe : . 17
1.2.2. Zulässigkeit und Optimalität 20
1.3. Bellmansche Funktionalgleichungen und Optimalitätsprinzip 23
1.4. Zur Lösung der Bellmanschen Funktionalgleichungen 2(S
1.4.1. Allgemeine Lftsuiigsmethode 2 i
1.4.2. Beispiele 28
1.4.3. Algoritlmiische Darstellung 4 )
1.5. Eigenschaften der Op timahvertf unktionen und der optimalen Fntseheidungs-
funklionen 54
1.6. Modifizierte Aufgabenstellungen 58
1.6.1. Einfache Modifikationen der Ausgangsaufgabe 59
1.6.2. Bestimmung des Optimums als Funktion des Endzustandes; Zustands-
iuversion -: 59
1.6.3. Allgemeine Zielfunktion 63
1.7. Verzweigte Prozesse 66
1.8. Verfeinerte numerische Methoden zur Lösung der Bellmansehen Funktional-
gleichiingen , 74
1.8.1. Verfahren zur Reduzierung der r.itterpunktanzahl für den Steuerbereieh . . . 74
1.8.2. Bemerkungen zur Reduzierung der Gitterpunktanzahl für Zustands- und
Steuerbereich 79
Literatur zu Kapitel 1 . . 80
2. Theorie der dynamischen Optimierung unter Einbeziehung zeitabhängiger
EinfluBparameter Sl
2.1. Einführung ¦:. 81
2.1.1. Technologische Prozesse im Bauwesen . ¦. 81
2.1.1.1. Optimale Steuerung des Prozesses Beiondeckenbau beim Staßenbau .... 81
2.1.1.2. Ein spezielles Modell zur optimalen Steuerung des Prozesses ,.Schwarzdeeken-
bau im bituminösen Straßenbau 86
2.1.2. Ein spezielles biologisches Steuerungsmodell 88
2.1.3. Ein elementares Zuteilungsproblem 80
2.2. Grundmodell eines mehrstufigen Entscheidungsprozesses mit zeitabhängigen
Eiuflußparametern 90
2.3. Zur Frage der Zulässigkeil und Optimidiiät bei vollständiger Information . . 94
2.4. Die parametrische Bellmnusche Ftmktionalgleielnmg im Falle vollständiger
Information 97
2.5. Zur Lösung der parametriseben Bellmanschen Funktionalgleicbung .... 103
2.5.1. Kin Beispiel für die analytische Lösbarkeit der Funktionalgleichimgen —
i • Optimale Steuerung des Prozesses Betondeckenbau im Straßenbau 103
2.5.2. Bemerkungen zum Problem der analytischen Lösbarkeit und der Struktur der
Lösungen der Bellmanschen Funktionalgleichung 113
2.5.. S. Numerische Lösung — ein Beispiel 115
2.6. Lineare dynamische Optimierung 118
2.7. Das Optimierungsproblein im Falle unvollständiger Information 122
2.7.1. Zulässigkeitsbegriff 123
2.7.2. Erweitertes Informationsspektrum Yl i
2.7.3. Operatoren zur Modifizierung der Zielfunktion 125
2.7.4. Das Optimierungsproblem (Optimalsteuerungsproblem) 128
2.8. Lösung des Optimierungsproblems im Falle unvollständiger Information . . 130
2.8.1. Eine erweiterte Bellmansche Funktionalgleichung für den Fall unvollständiger
Information l- O
2.8.2. Zur Notwendigkeitsproblematik der erweiterten Bellmanschen Funklional-
gleichungen 138
2.8.3. Beispiele zur Lösung der erweiterten Bellmansclien p mktionalgleichimgen 144
2.8.3.1. Ein Lagerhaltungsproblem 144
2.8.3.2. Optimale Slenerung des Prozesses Betondeckenbau im Straßenbau 149
2.8.3.3. Probleme mit quadratischer Zielfuiiktion und linearer Zustandstransforroalion 153
2.8.4. Eigenschaften der erweiterten Bellmanschen Funktionalgleichungen .... 160
2.8.4.1. Eigenschaften der Oplimalwertfunktioneii 162
2.8.4.2. Eigenschaften der optimalen Entscheidungsfunktioiien 171
2.8.5. Bemerkungen zum Fall der nichtadditiven Zielfunktion 174
2.9. Dynamische Optimierung bei vollständiger und unvollständiger Information
und vektorwertiger Zieliunktion 183
2.9.1. Vektorwertige dynamische Optimierung bei vollständiger Information . . . 183
2.9.2. Vektorwertige dynamische Optimierung hei unvollständiger Information . . 185
2.10. Verallgemeinerte Auffassung des Optimalsteuermigsprobleins bei unvoll¬
ständiger Information 192
2.11. Unendlichstufige Prozesse . 203
2.11.1. Zur Theorie unendlichstufiger Prozesse 203
2.11.2. Berechnung optimaler Entscheidungspolitiken 210
Literatur zu Kapitel 2 213
3. Numerische Verfahren der dynamischen Optimierung hei unvollständiger
Information 216
3.1. Betrachtungen zu den Dimensioiisproblemen der ^iinktionalgleichungen im
Fall unvollständiger Information 216
3.2. Kine Theorie zur Behandlung des I aramelerdimpiisionsproblems 218
3.2.1. Alini iiale exakte parametrisehe Berechnungsmenge der erweiterten BeUman-
schen Funktionolgleichung 218
3.2.2. Numerische Lösung der erweiterten Bellmanschen Fnnktionalgleicliimg . . . 220
3.2.3. Zur Güte der JVäherungsverfahren 222
3.2.3.1. Abschätzung des Betrages der Differenz der Optimalwertfunklionen aus
Original- bzw. Nälierungsfunktionalgleichung 222
3.2.3.2. Beispiele 228
3.2.3.3. Einige Modifizierungen der Abschätzungen — Diskretisierung stetiger
Verteilungen 230
3.2.3.4. Einige Bemerkungen zur Abschätzung des relativen Fehlers 236
3.2.4. Der diskrele stochastische Fall 236
3.2.4.1. Einheitliche Darstellung von drei Xäherungsfunktionalgleichungen ..... 237
3.2.4.2. Spezielle Interpolationsansätze und Eigenschaften der Näherungsfunktional-
gleichungen 240
3.2.4.3. Fehlerabschätzungea für f{ - f- und f- - ft 241
3.2.4.4. Qualitative Abschätzungen 245
3.2.4.5. Ein Anwendungsheispiel für Felllerabschätzungen 247
3.3. Zu einem Näherungs verfahren mit Fehlerabschätzung 252
Literatur zu Kapitel 3 266
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