Lineare Algebra und analytische Geometrie:
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
1992
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| Edition: | 3., unveränd. Aufl. |
| Series: | Grundwissen Mathematik
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INHALTSVERZEICHNIS
TEIL A.
LINEARE ALGEBRA I
KAPITEL 1. VEKTORRAEUME
1
§ 1.
DER BEGRIFF EINES VEKTORRAUMES 1
1. VORBEMERKUNG 2.
VEKTORRAEUME 3. UNTERRAEUME 4. GERADEN 5. DAS STANDARD
BEISPIEL
K"
6. GEOMETRISCHE DEUTUNG 7. ANFAENGE EINER GEOMETRIE IM 1R
2
§
2*. UEBER DEN URSPRUNG DER VEKTORRAEUME 10
1. DIE
GRASSMANNSCHE AUSDEHNUNGSLEHRE 2.
GRASSMANN
: UEBERSICHT UEBER DIE
ALLGEMEINE FORMENLEHRE 3. EXTENSIVE GROESSEN ALS ELEMENTE EINES
VEKTORRAUMES
4. REAKTION DER MATHEMATIKER 5. DER MODERNE VEKTORRAUMBEGRIFTF
§ 3.
BEISPIELE VON VEKTORRAEUMEN 15
1.
EINLEITUNG 2. REELLE FOLGEN 3. VEKTORRAEUME VON ABBILDUNGEN 4. STETIGE
FUNKTIONEN 5. REELLE POLYNOME 6*. REELL-ANALYTISCHE FUNKTIONEN 7*.
LINEARE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN /I-TER ORDNUNG 8. DIE VEKTORRAEUME ABB[M, K]
§ 4.
ELEMENTARE THEORIE DER VEKTORRAEUME 20
1. VORBEMERKUNG 2. HOMOGENE GLEICHUNGEN 3. ERZEUGUNG VON UNTERRAEUMEN
4. LINEARE ABHAENGIGKEIT 5. DER BEGRIFF EINER BASIS 6. DIE DIMENSION
EINES
VEKTORRAUMS 7. DER DIMENSIONS-SATZ 8*. DER BASIS-SATZ FUER BELIEBIGE
VEKTOR
RAEUME 9*. EIN GLASPERLEN-SPIEL
§ 5.
ANWENDUNGEN 30
1. DIE
REELLEN ZAHLEN ALS VEKTORRAUM UEBER Q 2. BEISPIELE 3. DER RANG EINER
TEILMENGE 4. ANWENDUNG AUF LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
§ 6.
HOMOMORPHISMEN VON VEKTORRAEUMEN 35
1. EINLEITUNG
2. DEFINITION UND EINFACHSTE EIGENSCHAFTEN 3. KERN UND BILD 4. DIE
DIMENSIONSFORMEL FUER HOMOMORPHISMEN 5. AEQUIVALENZ-SATZ FUER HOMOMOR
PHISMEN 6. DER RANG EINES HOMOMORPHISMUS 7. ANWENDUNG AUF HOMOGENE
LINEARE GLEICHUNGEN 8. BEISPIELE 9*. DIE FUNKTIONALGLEICHUNG
F(X +
J
O
=
/
+
F
(
Y
)
§ 7*.
LINEARFORMEN UND DER DUALE RAUM 45
1. VORBEMERKUNGEN 2. DEFINITION UND BEISPIELE 3. EXISTENZ VON
LINEARFORMEN
4. DER DUAL-RAUM 5. LINEARFORMEN DES VEKTORRAUMS DER STETIGEN FUNKTIONEN
§ 8*. DIREKTE SUMMEN
UND KOMPLEMENTE 48
1. SUMME UND DIREKTE SUMME 2. KOMPLEMENTE 3. DIE DIMENSIONSFORMEL FUER
SUMMEN 4. DIE BILD-KERN-ZERLEGUNG
HTTP://D-NB.INFO/920852114
VIII
INHALTSVERZEICHNIS
KAPITEL 2.
MATRIZEN 52
§ 1.
ERSTE EIGENSCHAFTEN 52
1.
DER BEGRIFF EINER MATRIX 2. UEBER DEN VORTEIL VON DOPPELINDIZES
3. MATALS /F-VEKTORRAUM 4. DAS TRANSPONIERTE EINER MATRIX
5. SPALTEN- UND ZEILENRANG 6. ELEMENTARE UMFORMUNGEN 7. DIE RANGGLEI
CHUNG 8. KAESTCHENSCHREIBWEISE UND RANGBERECHNUNG 9. ZUR GESCHICHTE DES
RANG-BEGRIFFES
§ 2. MATRIZENRECHNUNG 62
1
. ARTHUR
CAYLEY
ODER DIE ERFINDUNG DER MATRIZENRECHNUNG
2.
PRODUKTE VON
MATRIZEN 3. PRODUKTE VON VEKTOREN 4. HOMOMORPHISMEN ZWISCHEN STANDARD
RAEUMEN 5.ERNTEZEIT
6. DAS SKALARPRODUKT 7*. RANG
A R
8. KAESTCHENRECH
NUNG
§ 3.
ALGEBREN 70
1. EINLEITUNG 2. DER BEGRIFF EINER ALGEBRA 3. INVERTIERBARE ELEMENTE 4.
RINGE
S. BEISPIELE
§ 4.
DER BEGRIFF EINER GRUPPE 73
1. HALBGRUPPEN 2. GRUPPEN 3. UNTERGRUPPEN 4. KOMMUTATIVE GRUPPEN
S. HOMOMORPHISMEN 6. NORMALTEILER 7. HISTORISCHE BEMERKUNGEN
§ 5. MATRIX-ALGEBREN 79
1. MAT(;
K)
UND
GL(N;K) 2.
DER AEQUIVALENZ-SATZ FUER INVERTIERBARE MATRIZEN
3. DIE INVARIANZ DES RANGES 4. SPEZIELLE INVERTIERBARE MATRIZEN 5*.
ZENTRALI
SATOR UND ZENTRUM 6. DIE SPUR EINER MATRIX 7. DIE ALGEBRA MAT(2; /Q
§ 6. DER NORMALFORMEN-SATZ 86
1. ELEMENTAR-MATRIZEN 2. ZUSAMMENHANG MIT ELEMENTAREN UMFORMUNGEN
3. ANWENDUNGEN 4*. DIE
WEYR-FROBENIUS
-UNGLEICHUNGEN 5. AUFGABEN ZUM
NORMALFORMEN-SATZ 6. ZUR GESCHICHTE DES NORMALFORMEN-SATZES
§ 7. GLEICHUNGSSYSTEME 89
1. ERINNERUNG AN LINEARE GLEICHUNGEN 2. WIEDERHOLUNG VON PROBLEMEN UND
ERGEBNISSEN 3. DER FALL
M = N
4. ANWENDUNG DES NORMALFORMEN-SATZES
5. LOESUNGSVERFAHREN 6. BASISWECHSEL IN VEKTORRAEUMEN
§ 8*. PSEUDO-INVERSE 94
1. MOTIVATION 2. DER BEGRIFF DES PSEUDO-LNVERSEN 3. EIN KRITERIUM FUER
GLEICHUNGSSYSTEME 4. ZERLEGUNG IN EINE DIREKTE SUMME
KAPITEL 3. DETERMINANTEN
98
§ 1.
ERSTE ERGEBNISSE UEBER DETERMINANTEN 98
1. EINE MOTIVATION 2. DETERMINANTEN-FUNKTIONEN 3. EXISTENZ 4.
EIGENSCHAFTEN
S. ANWENDUNGEN AUF DIE GRUPPE
GL{N;K)
6. DIE
CRAMERSCHE
REGEL
§2. DAS INVERSE EINER MATRIX 106
1.
VORBEMERKUNG 2. DIE ENTWICKLUNGS-SAETZE 3. DIE KOMPLEMENTAERE MATRIX
4. BESCHREIBUNG DES INVERSEN
§ 3. EXISTENZBEWEISE 109
1. DURCH
INDUKTION 2. PERMUTATIONEN 3. DIE
LEIBNIZSCHE
FORMEL 4. PERMUTA
TIONSMATRIZEN S. EIN WEITERER EXISTENZBEWEIS
§4. ERSTE ANWENDUNGEN 112
1.
LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 2. ZWEIDIMENSIONALE GEOMETRIE 3. LINEARE
ABHAENGIGKEIT 4. RANGBERECHNUNG 5. DIE DETERMINANTEN-REKURSIONSFORMEL
6. DAS CHARAKTERISTISCHE POLYNOM 7*. MEHRFACHE NULLSTELLEN VON POLYNOMEN
8*. EINE FUNKTIONALGLEICHUNG 9. ORIENTIERUNG VON VEKTORRAEUMEN
INHALTSVERZEICHNIS
IX
§ 5.
SYMMETRISCHE MATRIZEN 121
1. EINLEITUNG 2. DER VEKTORRAUM DER SYMMETRISCHEN MATRIZEN 3.
QUADRATISCHE
ERGAENZUNG 4. DIE JACOBISCHE NORMALFORM 5. NORMALFORMEN-SATZ 6*. TRAEG
HEITS-SATZ
§ 6. SPEZIELLE MATRIZEN 126
1. SCHIEFSYMMETRISCHE MATRIZEN 2. DIE
VANDERMONDESCHE
DETERMINANTE
3. BANDMATRIZEN 4. AUFGABEN
§ 7. ZUR GESCHICHTE DER DETERMINANTEN 128
1. GOTTFRIED WILHELM
LEIBNIZ
2.
BALTZER'S
LEHRBUCH 3. DIE WEITERE ENTWICKLUNG
TEIL
B. ANALYTISCHE GEOMETRIE
KAPITEL 4.
ELEMENTAR-GEOMETRIE IN DER EBENE 130
DER
PYTHAGOREISCHE LEHRSATZ 130
§ 1.
GRUNDLAGEN 131
1. SKALARPRODUKT, ABSTAND UND WINKEL 2. DIE ABBILDUNG XI-*
1
3. GERADEN
4. SCHNITTPUNKT ZWISCHEN ZWEI GERADEN S. ABSTAND ZWISCHEN PUNKT UND
GERADE
6. FLAECHE EINES DREIECKS 7. DER HOEHENSCHNITTPUNKT
§2. DIE GRUPPE 0(2) 137
1. DREHUNGEN
UND SPIEGELUNGEN 2. ORTHOGONALE MATRIZEN 3. BEWEGUNGEN 4. EIN
BEISPIEL 5. DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION FUER 2 X 2 MATRIZEN 6.
FIX-GERADEN
7. DIE BEIDEN ORIENTIERUNGEN DER EBENE
§ 3. GEOMETRISCHE SAETZE 141
1.
DER KREIS 2. TANGENTE 3. DIE BEIDEN SEHNENSAETZE 4. DER UMKREIS EINES
DREIECKS 5. DIE
EULER
-GERADE 6. DER
FEUERBACH
-KREIS 7. DAS MITTENDREIECK
KAPITEL 5. EUKLIDISCHE
VEKTORRAEUME 148
§ 1.
POSITIV DEFINITE BILINEARFORMEN 149
1. SYMMETRISCHE BILINEARFORMEN 2. BEISPIELE 3. POSITIV DEFINITE
BILINEARFORMEN
4. POSITIV DEFINITE MATRIZEN 5. DIE
CAUCHY
-SCHWARZSCHE UNGLEICHUNG
6. NORMIERTE VEKTORRAEUME
§ 2.
DAS SKALARPRODUKT 155
1. DER
BEGRIFF EINES EUKLIDISCHEN VEKTORRAUMES 2. WINKELMESSUNG 3. ORTHONOR
MALBASEN 4. BASISDARSTELLUNG S. ORTHOGONALES KOMPLEMENT UND ORTHOGONALE
SUMME 6. LINEARFORMEN
§ 3. ERSTE ANWENDUNGEN 162
1. POSITIV DEFINITE
MATRIZEN 2. DIE ADJUNGIERTE ABBILDUNG 3. SYSTEME LINEARER
GLEICHUNGEN
4.
EIN KRITERIUM FUER GLEICHE ORIENTIERUNG
5*. LEGENDRE
-POLYNOME
§ 4. GEOMETRIE IN EUKLIDISCHEN VEKTORRAEUMEN 165
1. GERADEN 2. HYPEREBENEN 3. SCHNITTPUNKT VON GERADE UND HYPEREBENE
4. ABSTAND VON EINER HYPEREBENE 5*. ORTHOGONALE PROJEKTION 6*. ABSTAND
ZWEIER UNTERRAEUME 1*. VOLUMENBERECHNUNG 8*. DUALE BASEN
§ 5.
DIE ORTHOGONALE GRUPPE 172
1. BEWEGUNGEN
2. SPIEGELUNGEN 3. DIE TRANSITIVITAET VON
0(V,O)
AUF SPHAEREN
4*. DIE ERZEUGUNG VON
0{V, A)
DURCH SPIEGELUNGEN 5*. WINKELTREUE AB
BILDUNGEN
§6.
VERMISCHTE AUFGABEN 177
X
INHALTSVERZEICHNIS
KAPITEL 6. DER
]R" ALS EUKLIDISCHER VEKTORRAUM 179
§ 1.
DER IR" UND DIE ORTHOGONALE GRUPPE 0(N) 179
1. DER EUKLIDISCHE VEKTORRAUM IR" 2. ORTHOGONALE MATRIZEN 3. DIE GRUPPE
0(RI)
4. SPIEGELUNGEN 5. ERZEUGUNG VON
0(N)
DURCH SPIEGELUNGEN 6*. DREHUNGEN
7. ANWENDUNG DER DETERMINANTEN-THEORIE 8*. EINE PARAMETERDARSTELLUNG
9.
EULER, CAUCHY, JACOBI
UND
CAYLEY
§2. DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION 187
1. PROBLEMSTELLUNG 2. DER VEKTORRAUM DER SYMMETRISCHEN MATRIZEN 3.
POSITIV
SEMI-DEFMITE MATRIZEN 4. DAS MINIMUM EINER QUADRATISCHEN FORM 5. SATZ
UEBER
DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION 6. EIGENWERTE 7. EIGENRAEUME
§3. ANWENDUNGEN 195
1. VORBEMERKUNG 2. POSITIV DEFLNITE MATRIZEN 3. HYPERFLAECHEN 2. GRADES
4*. DER QUADRATWURZEL-SATZ 5*. POLAR-ZERLEGUNG 6*. ORTHOGONALE
NORMALFORM
7*. DAS MOORE
-PENROSE
-INVERSE
§ 4*. TOPOLOGISCHE EIGENSCHAFTEN 201
1. ZUSAMMENHANG 2. KOMPAKTHEIT 3. HAUPTACHSENTRANSFORMATION
KAPITEL
7. GEOMETRIE IM DREIDIMENSIONALEN RAUM 204
§ 1.
DAS VEKTORPRODUKT 204
1. DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 2. ZUSAMMENHANG MIT DETERMINANTEN
3. GEOMETRISCHE DEUTUNG 4. EBENEN 5. PARALLELOTOPE 6. VEKTORRECHNUNG IM
ANSCHAUUNGSRAUM
§ 2*. SPHAERISCHE GEOMETRIE 210
1. UEBER DEN URSPRUNG DER SPHAERIK 2. DAS SPHAERISCHE DREIECK 3. DAS
POLARDREIECK 4. ENTFERNUNG AUF DER ERDE
§ 3. DIE GRUPPE 0(3) 214
1. BESCHREIBUNG DURCH DAS VEKTORPRODUKT 2. ERZEUGUNG DURCH DREHUNGEN
3. SPIEGELUNGEN 4. FIX-GERADEN 5. DIE NORMALFORM 6. DIE DREHACHSE
7*. DIE EULERSCHE FORMEL 8*. DREHUNGEN UM EINE ACHSE
§ 4.
BEWEGUNGEN 222
1.
FIXPUNKTE 2. BEWEGUNGEN MIT FIXPUNKT 3. SCHRAUBUNGEN
TEIL C.
LINEARE ALGEBRA II
KAPITEL 8. POLYNOME
UND MATRIZEN 225
§ 1.
POLYNOME 225
1. DER VEKTORRAUM POL
K 2.
POL
K
ALS RING 3. ZERFALLENDE POLYNOME 4. POL
K
ALS
HAUPTIDEALRING 5*. UNBESTIMMTE
§ 2. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 230
1. DER KOERPER C DER KOMPLEXEN ZAHLEN 2. KONJUGATION UND BETRAG 3. DER
FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA
§ 3. STRUKTURSATZ FUER ZERFALLENDE MATRIZEN 232
1. DER BEGRIFF DER DIAGONALISIERBARKEIT 2. DAS CHARAKTERISTISCHE POLYNOM
3. AEQUIVALENZ-SATZ FUER EIGENWERTE 4. NILPOTENTE MATRIZEN 5. IDEMPOTENTE
MATRIZEN 6. ZERFALLENDE MATRIZEN 7. DIAGONALISIERBARKEITS-KRITERIUM 8*.
EIN
BEISPIEL ZUM STRUKTUR-SATZ 9*. ELEMENTARSYMMETRISCHE FUNKTIONEN UND PO
TENZSUMMEN
INHALTSVERZEICHNIS
XI
§ 4.
DIE ALGEBRA K[AE] 242
1. EINE WARNUNG 2. MATRIX-POLYNOME 3. DAS MINIMALPOLYNOM 4. EIGENWERTE
5.
DAS RECHNEN MIT KAESTCHEN-DIAGONALMATRIZEN
6.
SATZ VON
CAYLEY 7.
AEQUI
VALENZ-SATZ FUER DIAGONALISIERBARKEIT 8. SPEKTRALSCHAREN 9. EIGENRAEUME
§ 5.
DIE
JORDAN-CHEVALLEY
-ZERLEGUNG 251
1. EXISTENZ-SATZ 2. SUMMEN VON DIAGONALISIERBAREN MATRIZEN 3. DIE EIN
DEUTIGKEIT 4. ANWENDUNGEN
§ 6. NORMALFORMEN REELLER UND KOMPLEXER MATRIZEN 254
1.
NORMALFORMEN KOMPLEXER MATRIZEN 2. REELLE UND KOMPLEXE MATRIZEN
3*. HERMITESCHE MATRIZEN 4. INVARIANTE UNTERRAEUME 5. DIE STUFENFORM 6.
DER
SATZ
UEBER CLIE STUFENFORM 7. ORTHOGONALE MATRIZEN 8. SCHIEFSYMMETRISCHE
MATRIZEN 9*. NORMALE MATRIZEN
§ 7*.
DER HOEHERE STANDPUNKT 261
1.
EINFACHE UND HALBEINFACHE ALGEBREN 2. KOMMUTATIVE ALGEBREN 3. DIE
STRUKTURSAETZE 4. DIE WEITERE ENTWICKLUNG 5. DER GENERISCHE STANDPUNKT
KAPITEL 9.
HOMOMORPHISMEN VON VEKTORRAEUMEN 264
§ 1.
DER VEKTORRAUM HOM(K, V) 264
1. DER VEKTORRAUM ABB(AF,
V) 2.
HOM(
V, V)
ALS UNTERRAUM VON ABB(K,
V)
3. MAT(/W,W;AE) ALS BEISPIEL 4. VERKNUEPFUNGEN VON HOM(K,
V)
UND
HOM(K',
V")
§ 2.
BESCHREIBUNG DER HOMOMORPHISMEN IM ENDLICH-DIMENSIONALEN FALL.
266
1.
ISOMORPHIE MIT STANDARD-RAEUMEN 2. DARSTELLUNG DER HOMOMORPHISMEN
3. BASISWECHSEL 4. DIE ALGEBRA END
V
5. DIAGONALISIERBARKEIT
§ 3. ANWENDUNGEN 269
1. SPIEGELUNGEN
IN EUKLIDISCHEN VEKTORRAEUMEN 2. DIE LINKSMULTIPLIKATION IN
MAT(N; K) 3. POLYNOME
§ 4. DER QUOTIENTENRAUM 271
1. EINLEITUNG 2. NEBENKLASSEN 3. DER SATZ UEBER DEN QUOTIENTENRAUM 4. DER
SATZ
UEBER DEN KANONISCHEN EPIMORPHISMUS 5. KANONISCHE FAKTORISIERUNG
6.
ANWENDUNGEN
7.
BEISPIELE
§ 5*.
NILPOTENTE ENDOMORPHISMEN 274
1. PROBLEMSTELLUNG 2. ZYKLISCHE
UNTERRAEUME 3. DER STRUKTUR-SATZ 4. NILZYKLI
SCHE MATRIZEN 5. DIE NORMALFORM
LITERATUR
277
NAMENVERZEICHN
IS
SACHVERZEICHNIS
278
280 |
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