Differentialgleichungen für Ingenieure: eine Einführung
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| New Title: | Collatz, Lothar Differentialgleichungen |
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Teubner
1960
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| Series: | Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik
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Einteilung der Differentialgleichungen
1. Bezeichnungen 11
2. Physikalische Beispiele für Differentialgleichungen 12
I Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung
§ 1 Richtungsfeld und einfachste integrierbare Typen
3. Lösungskurven im Richtungsfeld 14
4. Trennung der Veränderlichen 15
5. Ähnlichkeitsdifferentialgleichung 18
6. Einfache, auf die Ähnlichkeitsdifferentialgleichung zurückführbare
Fälle 19
§ 2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
7. Homogene, inhomogene Gleichung, triviale Lösung 20
8. Lösung der homogenen Gleichung 21
9. Lösung der inhomogenen Gleichung 21
§ 3 Bernoullische Differentialgleichung
10. Zurückführung auf eine lineare Differentialgleichung 23
11. Die Riccatische Differentialgleichung 24
§ 4 Der integrierende Faktor
12. Exakte Differentialgleichung 25
13. Der integrierende Faktor 26
§ 5 Vorbereitungen zur Existenz- und Eindeutigkeitsfrage
14. Ein- und mehrdeutige Richtungsfelder 27
15. Nichteindeutigkeit der Lösung 28
16. Die Lipschitz-Bedingung, schärfere und schwächere Form . . . 29
17. Das Verfahren der schrittweisen Näherungen 30
§ 6 Der allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssatz
18. Der Existenzsatz 31
19. Der Eindeutigkeitsbeweis 35
20. System von Differentialgleichungen 36
21. Eine Differentialgleichung ra-ter Ordnung 37
§ 7 Singuläre Iinienelemente
22. Reguläre und singuläre Linienelemente 39
23. Beispiele für singuläre Lösungen 39
24. Isolierte singuläre Punkte 42
25. Allgemeine Theorie der isolierten singulären Punkte 44
26. Die Clairautsche und d Alembertsche Differentialgleichung. . 46
27. Schwingungen bei einem Freiheitsgrad, Phasenkurven 48
28. Beispiele von Schwingungen und Phasenkurven 50
8 Inhalt
§ 8 Vermischte Aufgaben und Lösungen
29. Aufgaben 55
30. Lösungen 57
II Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung
§ 1 Einige Typen nichtlinearer Differentialgleichungen
1. Die abhängige Veränderliche y kommt nicht explizit vor .... 60
2. Die Gleichung y = j(y) und das Energieintegral 61
3. Die allgemeine Differentialgleichung, in der x nicht explizit auftritt 62
4. Die Differentialgleichung enthält nur die Verhältnisse -— ... 64
§ 2 Grundlegende Sätze über lineare Differentialgleichungen
5. Bezeichnungen 64
6. Der Überlagerungssatz 65
7. Reduktion der Ordnung einer linearen Differentialgleichung ... 66
§ 3 Fundamentalsysteme einer linearen Differentialgleichung
8. Lineare Abhängigkeit von Funktionen 67
9. Die Wronskische Determinante für lineare Unabhängigkeit von
Funktionen 69
10. Allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung 71
§ 4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
11. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung 73
12. Mehrfache Nullstellen der charakteristischen Gleichung 76
13. Stabilitätskriterium 79
14. Die Gleichung für erzwungene Schwingungen 80
15. Lösung der homogenen Schwingungsgleichung 81
§ 5 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen linearen Diffe¬
rentialgleichung
16. Das Verfahren der Variation der Konstanten 83
17. Die „Faustregel 85
18. Einführung einer komplexen Differentialgleichung 86
19. Der Resonanzfall 88
§ 6 Die Eulersche Differentialgleichung
20. Lösungsansatz und charakteristische Gleichung 88
21. Beispiele 90
§ 7 Systeme linearer Differentialgleichungen
22. Beispiel: Schwingungen eines Kraftfahrzeugs (Kopplungsarten) . 91
23. Fundamentalsystem von Lösungen 94
24. Lösung des inhomogenen Systems mit Hilfe der Variation der Kon¬
stanten 96
25. Matrix A konstant, charakteristische Zahlen der Matrix 96
26. Die drei Hauptklassen in der Theorie der quadratischen Matrizen 97 ,
27. Anwendung auf die Schwingungslehre 99
28. Beispiel eines physikalischen Systems mit nicht normaUsierbarer
Matrix 100
Inhalt 9
Anhang zu Kapitel II: Transformation normaler und normalisierbarer Matri¬
zen auf Diagonalgestalt 101
III Band-, insbesondere Eigenwertaufgaben
1. Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben 106
§ 1 Beispiele linearer Bandwertaufgaben
2. Ein Träger. Mehrere Felder der Differentialgleichung 107
3. Die Anzahl der Lösungen bei linearen Randwertaufgaben .... 109
§ 2 Beispiele nichtlinearer Bandwertaufgaben
4. Differentialgleichung der Kettenlinie 111
5. Die Differentialgleichung y = j/2 113
6. Abzählbar unendlich viele Lösungen der Randwertaufgabe bei
y = -y 116
§ 3 Die Alternative bei linearen Bandwertaufgaben gewöhnlicher Diffe¬
rentialgleichungen
7. Halbhomogene und vollhomogene Randwertaufgaben 117
8. Die allgemeine Alternative 118
§ 4 Lösung von Randwertaufgaben mit Hilfe der Greenschen Funktion
9. Einfachste Beispiele Greenscher Funktionen 119
10. Die Greensche Funktion als Einflußfunktion 122
11. Allgemeine Definition der Greenschen Funktion 123
12. Die Lösungsformel für die Randwertaufgabe 125
§ 5 Beispiele von Eigenwertaufgaben
13. Die vollhomogene Randwertaufgabe 127
14. Die nichtlineare Randwertaufgabe 129
15. Partielle Differentialgleichung der Torsionsschwingungen von
Wellen 130
16. DerBernoulli-Ansatz für Eigenschwingungen 131
§ 6 Eigenwertaufgaben und Orthononnalsysteme
17. Selbstadjungierte und volldefinite Eigenwertaufgaben 134
18. Orthogonalität der Eigenfunktionen 136
19. Orthonormalsystem 137
20. Orthogonalsysteme mit Polynomen 142
21. Approximation im Mittel 142
22. Zum Entwicklungssatz 143
§ 7 Vermischte Aufgaben und Lösungen zu Kapitel II und III
23. Aufgaben 145
24. Lösungen 147
IV Spezielle Differentialgleichungen
§ I Kugelfunktionen
1. Lösung der Potentialgleichung 150
2. Die erzeugende Funktion 153
10 Inhalt
3. Kugelfunktionen zweiter Art 155
4. Eine andere explizite Darstellung der Legendreschen Polynome 156
5. Orthogonalität 157
§ 2 Zylinderfunktionen
6. Partielle Sehwingungsgleichung einer Membran 158
7. Bernoulli-Ansatz für die Membranschwingungen 159
8. Die erzeugende Funktion 160
9. Folgerungen mit Hilfe der erzeugenden Punktion 161
10. Integraldarstellung 164
11. Beispiel aus der Astronomie: Die Keplersche Gleichung . . . .165
12. Bessel-Funktionen zweiter Art 166
13. Allgemeinere Differentialgleichungen 166
14. Schwingungsformen der Kreismembran 169
§ 3 Reihenentwicklung, hypergeometrische Funktion
15. Reihenansatz, determinierende Gleichung 170
16. Wurzeln der determinierenden Gleichung 171
17. Beispiele. Hypergeometrische Gleichung 173
V Ergänzungen
§ 1 Allgemeine Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten
1. Einfache lineare partielle Differentialgleichungen 175
2. Wellengleichung und Potentialgleichung 177
§ 2 Randwertaufgabe der Potentialtheorie
3. Lösung der Randwertaufgabe für den Kreisbereich 180
4. Beispiel: Temperaturverteilung 181
§ 3 Einige Näherungsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differential¬
gleichungen
5. Vorbemerkungen und einige grobe Näherungsverfahren 183
6. Angenäherte rechnerische Integration nach Runge und Kutta 184
7. Verfahren der zentralen Differenzen 186
8. Differenzenverfahren 189
9. Mehrstellenverfahren 190
10. Ritzsches Verfahren 191
Verzeichnis einiger deutschsprachiger Bücher 193
Sachverzeichnis 194
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