Grundlagen der Elementarmathematik:
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Berlin
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Einleitung 11
Erster Teil: MENGEN UND ZAHLEN
I. Mathematische Grundbegriffe 21
§ 1. Mengen 21
§2. Abbildungen 24
§ 3. Gruppen 26
II. Kardinalzahlen 31
§ 1. Definition und Rechenregeln 31
§ 2. Natürliche Kardinalzahlen 33
§ 3. Endliche und unendliche Mengen 35
§ 4. Die Ordnung der natürlichen Kardinalzahlen 37
§ 5. Die Definition durch Induktion 38
§ 6. Abzählbare Mengen 41
§ 7. Nichtabzählbare Mengen 44
§ 8. Schlußbemerkung zur Definition der Kardinalzahlen 45
III. Ordnung 47
§ 1. Definitionen 47
§ 2. Dedekindsche Zerlegungen 48
§ 3. Geordnete Mengen ohne Lücken und Schnitte 49
§4. Schließung von Lücken 54
§ 5. Das Theorem von Zorn 56
IV. Der Ring der ganzen Zahlen 61
§ 1. Bemerkungen zu den Rechenregeln 61
§ 2. Negative Zahlen 62
§3. Homomorphismen von Zahlensystemen 65
§ 4. Addition 67
§ 5. Homomorphismen additiver Halbgruppen 69
§6. Multiplikatoren 70
§ 7. Multiplikation in Zahlensystemen 72
6 Inhalt
V. Aus der Algebra 74
§ 1. Zyklische Gruppen 74
§2. Einige Rechenregeln in Halbgruppen 76
§3. Quotientenbildung 78
§ 4. Ganze rationale Funktionen und Polynome 82
§ 5. Die Existenz des Polynomringes 80
VI. Elementare Arithmetik 88
§ 1. Dezimal und Dualsysteme 88
§ 2. Primzahlen 90
§ 3. Der Restklassenring 95
§ 4. Euklidische Ringe 96
§5. Faktorzerlegung in Hauptidealringen 97
§ 6. Direkte Zerlegung des Restklassenringes mod n 100
§ 7. Der Restklassenring nach einer Primzahlpotenz 102
§ 8. Ein Satz von Gatjss über die Zerlegung von Polynomen 105
VII. Reelle Zahlen 106
§ 1. Archimedisch geordnete Gruppen 106
§ 2. Die Existenz stetig geordneter Gruppen 109
§ 3. Eigenschaften stetig geordneter Gruppen 110
§ 4. Multiplikation reeller Zahlen 112
§ 5. Potenzen und Logarithmen 114
§ 6. Schlußbemerkungen zur Einführung der reellen Zahlen 115
VIII. Metrische Räume 117
§ 1. Definitionen 117
§ 2. Stetige Abbildungen 121
§ 3. Kompakte metrische Räume 124
§ 4. Der Überdeckungssatz von Bobbl 126
§ 5. Vollständige metrische Räume 129
IX. Komplexe Zahlen 130
§ 1. Grundbegriffe 130
§ 2. Algebraische Gleichungen im komplexen Zahlkörper 132
§ 3. Drehungen der komplexen Ebene 136
§ 4. Winkelzahlen 138
§ 5. Trigonometrische Punktionen 141
Zweiter Teil: ELEMENTARGEOMETRIE
X. Affine Inzidenzgeometrie 147
§ 1. Affine Ebenen 147
§2. Affine Räume 148
§ 3. Dehnungen und Translationen 151
§ 4. Die Existenz der Dehnungen 153
§ 5. Dreidimensionale Inzidenzräume 155
Inhalt 7
XI. Koordinaten 157
§ 1. Ortsvektoren in Translationsebenen 157
§ 2. Multiplikation im Koordinatenbereich 158
§3. Der Satz von Desargttes 160
§ 4. Der Satz von Pappos 163
§ 5. Multiplikatoren der Vektorengruppe 164
§ 6. Koordinatenkörper und Multiplikatorenkörper 166
XII. Anordnung 168
§1. Hilbertsche Anordnungsaxiome und einfachste Folgerungen 168
§ 2. Seiteneinteilung 170
§ 3. Die Geraden als geordnete Punktmengen 171
§ 4. Einführung einer topologischen Struktur 173
§ 5. Orientierung in der Ebene 174
§ 6. Orientierung im Kaum 178
§ 7. Parallelprojektion einer Geraden auf eine andere 182
§ 8. Die reelle affine Ebene 184
XIII. Kongruenz 186
§ 1. Kongruenzaxiome 186
§ 2. Die ersten beiden Kongruenzsätze von Euklid 188
§ 3. Ebene Bewegungen 191
§ 4. Spiegelungen 194
§5. Orientierte Winkel 198
§ 6. Anwendung des Symmetrieaxioms 200
§ 7. Die Größenvergleichung der Strecken und Winkel 201
XIV. Einführung in die Spiegelungsgeometrie 204
§1. Einige Grundeigenschaften der Bewegungen 204
§2. Folgerungen aus (1.1 ) und (1.3) 205
§ 3. Folgerungen aus allen Axiomen 208
§ 4. Das Rechnen mit Spiegelungen 210
§ 5. Einige Sätze der Elementargeometrie 216
§ 6. Hjelmslevsche Halbdrehungen 218
§ 7. Geradenbüschel 221
XV. Ebene euklidische Geometrie 224
§ 1. Elementare Sätze 224
§ 2. Koordinaten in der euklidischen Ebene 229
§ 3. Der Satz des Pythagobas 231
§ 4. Die euklidische Ebene als komplexe Zahlenebene 233
§ 5. Die reelle euklidische Ebene 236
§ 6. Aus der Raumgeometrie 237
§ 7. Euklidische Spiegelungsgeometrie der Ebene 240
§ 8. Schlußbemerkung zum Aufbau der euklidischen Geometrie 247
XVI. Projektive Geometrie 250
§ 1. Projektive Ebenen 250
§2. Perspektivitäten 251
§ 3. Uneigentliche Punkte und Geraden affiner Räume 253
§ 4. Projektive Räume 255
§ 5. Affine Teilräume 257
§ 6. Hüllenoperatoren in beliebigen Mengen 260
8 Inhalt ^
Dritter Teil: ALGEBRA UND KOORDINATENGEOMETRIE
XVII. Nichtkommutative lineare Algebra 264
§ 1. Vektorräume 264
§ 2. Lineare Abhängigkeit 266
§ 3. Die Dimension eines Unterraumes 269
§4. Lineare Abbildungen 272
§5. Matrizen 274
§ 6. Lineare Gleiehungssysteme 276
§ 7. Kanonische Form einer Matrix 277
XVIII. Determinanten 281
§ 1. Definition der Determinantenfunktionen 281
§ 2. Ein Eindeutigkeitssatz 283
§ 3. Multiplikative Determinantenfunktionen 285
§ 4. Die reduzierte Determinantenfunktion 287
§ 5. Determinanten im klassischen Sinn 289
§ 6. Die Cramersche Regel 292
§ 7. Die Determinante einer linearen Abbildung 293
XIX. Körper 295
§ 1. Grundbegriffe 295
§ 2. Endliche Körpererweiterungen 296
§ 3. Endliche Körper 300
§ 4. Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome 301
§ 5. Die Kommutativität endlicher Körper 302
§ 6. Endliche Quasikörper 303
§ 7. Körpererweiterungen gegebenen Grades 305
XX. Affine Koordinatengeometrie 307
§ 1. Der affine Koordinatenraum 307
§2. Affine Teilräume 308
§ 3. Linearformen 309
§4. Isomorphismen affiner Räume 311
XXI. Innere Produkte 314
§1. Definition und einfachste Eigenschaften 314
§ 2. Bewegungen 317
§ 3. Die Hauptachsendarstellung einer quadratischen Form 321
XXII. Konvexe Körper und Polyeder 324
§1. Definition der konvexen Körper 324
§ 2. Baryzentrische Koordinaten 325
§ 3. Stützebenen und extreme Punkte 326
§ 4. Konvexe Polyeder 328
§ 5. Polyeder und Zerlegungskomplexe 332
§ 6. Die Eulersche Charakteristik 333
XXIII. Inhalt 340
§ 1. Der Jordansche Inhalt 340
§2. Vereinigung und Durchschnitt quadrierbarer Mengen 342
§ 3. Der Inhalt eines Polyeders 344
Inhalt 9
§ 4. Die Abhängigkeit des Inhalts von der Wahl der Basis 345
§ 5. Schlußbemerkungen zur Inhaltslehre 348
XXIV. Projektive Koordinatengeometrie 350
§ 1. Homogene Koordinaten 350
§ 2. Dimension und Codimension 352
§3. Dualität 354
§4. Kollineationen 356
§ 5. Polaritäten 359
XXV. Normalformen linearer Abbildungen 363
§ 1. Das Minimalpolynom 363
§ 2. Zerlegung in invariante Unterräume 365
§3. Die Normalformen 367
XXVI. Orthogonalität und Kongruenz 371
, § 1. Orthogonalität 371
§2. Halbähnlichkeiten 373
§3. Normalformen innerer Produkte 375
§ 4. Das Theorem von Witt 379
Anhang. Wieviel Mengenlehre ist in der Gebrauchsmathematik nötig? 382
§ 1. Vorbemerkungen 382
§ 2. Einige „Axiome der naiven Mengenlehre 383
§ 3. Konstruktion von Großklassen 388
§ 4. Fundierte Mengen und Stufeneinteilung 391
§ 5. Beispiele 392
Literaturverzeichnis 395
Namenverzeichnis 403
Sachverzeichnis • 406
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