Mathematische Hilfsmittel: Mit 116 Abb.
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Berlin
Dt.Verl.d.Wiss.
1978
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Komplexe Zahlen 13
1.1. Einführung und algebraische Darstellung 13
1.2. Trigonometrische Darstellung 16
1.3. Eulersche Formel, Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen 18
1.4. Graphische Addition und Multiplikation 20
1.6.* Badizieren 21
1.6.* Potenzieren und Logarithmieren 22
1.7. Zusammenfassung 23
1.8. Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1 25
2. Grundlagen der Differential und Integralrechnung 27
2.1. Differentialrechnung 27
2.1.1. Funktionsbegriff, Stetigkeit, Differenzierbarkeit 27
2.1.2. Geometrische Bedeutung von Differenzenquotient und Ableitung 28
2.1.3. Physikalische Bedeutung der Ableitung 30
2.1.4. Differentiationsregeln 31
2.1.4.1. Ableitung der elementaren Funktionen 31
2.1.4.2. Ableitung von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten 31
2.1.4.3. Umkehrfunktionen und ihre Ableitungen 32
2.1.4.4. Ableitung von mittelbaren Funktionen 35
2.1.4.5. Ableitung einer impliziten Funktion 37
2.1.5. Differentiale 39
2.1.6. Höhere Ableitungen 40
2.1.7. Formelzusammenstellung 43
2.2. Integralrechnung 44
2.2.1. Der Riemannsche Integralbegriff 44
2.2.2. Eigenschaften des bestimmten Integrah 46
2.2.3. Geometrische und physikalische Bedeutung des bestimmten Integrals .... 46
2.2.4. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 48
2.2.5. Das unbestimmte Integral 49
2.2.5.1. Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze 49
2.2.5.2. Hauptsatz der Differential und Integralrechnung 50
2.2.6. Integrationsregeln 51
2.2.6.1. Grundintegrale 51
10 Inhaltsverzeichnis
2.2.6.2. Integration einer Summe 51
2.2.6.3. Integration eines Produktes 53
2.2.6.4. Einführung einer neuen Veränderlichen 54
2.2.7. Formelzusammenstellung 58
2.3. Differentiations und Integrationstabellen 59
2.4. Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2 62
3. Reihenentwicklung Ton Funktionen 67
3.1. Taylorsehe Formel und Taylorsche Reihe 67
3.1.1. Unendliche Reihen 67
3.1.2. Taylor Entwicklung für Funktionen von einer unabhängigen Veränderlichen . 69
3,1.2.1. Die Exponentialfunktion 72
3.1 .2.2.* Die Hyperbelfunktionen 73
3.1.2.3. Die trigonometrischen Funktionen 75
3.1.2.4. Die binomische Reihe 79
3.1.2.5.* Die Logarithmusfunktion 81
3.1.3. Partielle Ableitung, vollständiges Differential, Taylor Entwicklung für Funk¬
tionen Ton mehreren unabhängigen Veränderliehen .83
3.2. Entwicklung einer Funktion nach einem orthonormierten Funktionensystem. 88 i
3.2.1. Definition eines vollständigen orthonormierten Funktionensystems 88 i
3.2.2. Fourier Reihendarstellung periodischer Funktionen 91 |
3.2.3.* Fourier Integraldarstellung nichtperiodischer Funktionen (Fourier Trans
f ormation) 99
4*. Spezielle Funktionen der mathematischen Physik 103
4.1. Die Heavisidesche Sprungfunktion 103
4.2. Die Diracsche Deltafunktion 104
4.3. Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 4 109
5. Gewöhnliche Differentialgleichungen (Lösungsmethoden) 111
5.1. Begriff und Einteilung der gewöhnlichen Differentialgleichungen 111
5.2. Die lineare Differentialgleichung w ter Ordnung 113
5.2.1. Die homogene lineare Differentialgleichung w ter Ordnung 114
5.2.2. Die inhomogene lineare Differentialgleichung w ter Ordnung 119
5.2.3. Die Schwingungsdifferentialgleichung 123
5.3. Differentialgleichungen erster Ordnung . . 126
5.3.1.* Die exakte Differentialgleichung 128
5.3.2. Differentialgleichung mit getrennten Variablen 130
5.3.3. Variation der Konstanten 131
5.4.* Differentialgleichungen zweiter Ordnung 133
5.4.1. Die Differentialgleichung y = f(y , x) 133
5.4.2. Die Differentialgleichung y = f y , y) 134
5.4.3. Die Differentialgleichung y = %) 135
5.5. Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 5 136
6. Vektoralgebra 139
6.1. Skalare 140
6.2. Verschiebungen und Vektoren 141
6.3. Skalarprodukt 145
6.3.1. Darstellung des Skalarproduktes in kartesischen Koordinaten .....•• 148
Inhaltsverzeichnis 11
6.4.* Basisdrehung 151
6.5. Vektorprodukt 154
6.5.1. Darstellung des Vektorproduktes in kartesisohen Koordinaten J55
6.6.* Tensorielles Produkt und Tensoren 158
6.7. Mehrfache Produkte von Vektoren 163
6.8. Determinanten 168
6.8.1.* Aullösung linearer Gleiehungssysteme mit Hilfe von Determinanten 171
6.9. Matrizen 173
6.9.1.* Spezielle Matrizen 175
6.10.* Hauptachsentransformation von symmetrischen Tensoren zweiter Stuf s . . . 177
6.11. Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 6 185
7. Vektoranalysis 193
7.1. Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 193
7.1.1. Der Ortsvektor und sein Differential in karteBischen, Zylinder und Kugel
koordinaten 198
7.1.2.* Winkelgeschwindigkeit 201
7.2. Integration eines Vektors nach einem Parameter 202
7.3. Gradient eines Skalarfeldes und Vektoroperator Nabla 203
7.4.* Gradient eines Vektorfeldes 208
7.5. Divergenz 213
7.6. Botor 214
7.7. Zweifache Anwendung von Nabla 216
7.8. Kurvenintegrale 218
7.9. Integraldarstellung von rot v und Stokesscher Integralsatz 220
7.10. Fläehenintegrale 223
7.11. Integraldarstellung von VU und allgemeiner Gaußscher Integralsatz .... 227
7.12. Volumenintegrale 229
7.13. Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 7 231
8. Partielle Ditferentialgleielnnigen 241
8.1. Die Laplacesche Differentialgleichung 241
8.2. Die Poissonsche Differentialgleichung 243
8.3. Die Wellengleiehung 245
8.4. Die schwingende Saite 247
8.5. Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 8 248
9. Fehlerreelmung 251
9.1. Einige mathematische Vorbemerkungen 251
9.1.1. Eelative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, Wahrscheinlich¬
keitsdichte und Verteilungsfunktionen 251
9.1.1.1. Einige Verteilungen 256
9.1.1.1.1. Binomialverteilung 256
9.1.1.1.2. Poisson Verteilung 259
9.1.1.1.3. Gauß Verteüung 260
9.2. Grobe, zufällige und systematische Fehler 264
9.3. Zur Auswertung von Meßergebnissen 266
9.3.1. Große Anzahl von Meßwerten; systematische Fehler seien gegenüber den zu¬
fälligen vernachlässigbar 266
9.3.1.1. Absoluter Fehler 266
12 Inhaltsverzeichnis
9.3.1.2. Scheinbarer Fehler, Gaußsches Verfahren der kleinsten Quadratsumme . . . 266
9.3.1.3. Mittlerer quadratischer Fehler der Binzelmessungen 268
9.3.1.4. Fehlerfortpflanzungsgesetz 270
9.3.1.5. Mittlerer quadratischer Fehler des Mittelwertes 273
9.3.1.6. Auswertung von Meßwerten verschiedener Genauigkeit 274
9.3.1.7. Ausgleichung von Meßwerten durch lineare Funktionen 275
9.3.2. Beliebige Anzahl von Meßwerten; systematische Fehler seien gegenüber zu¬
fälligen Fehlern nicht vernachlässigbar 277
9.3.2.1. Absoluter Größtfehler 278
Literatur 279
Sachverzeichnis 281
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