Traité d'analyse: 7 Calcul intégral : applications géométriques de la théorie des équations differentielles
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| adam_text | TABLE DES MATIERES
DU TOMB VII.
CHAPITRE I.
Étude des courbes que Ton peut tracer sur une surface donnée.
1. De l indicatrice................................................
2. Des courbes conjuguées..........................................
. 3. Théorèmes de Dupin et de Vf. Reina sur les lignes conjuguées...
4. Étude particulière des lignes de courbure................... ..
5. Continuation du même sujet......................................
6. Théorème de O. Kodrigues........................................
7. l.ignes de courbure de quelques surfaces........................
8. Lignes de courbure de l’ellipsoïde..............................
9. Interprétation du premier membre de l’équation des lignes de
courbure.....................................................
10. Théorème de Lancret............................................
11. Variations de la torsion géodésique............................
12. Conséquences du théorème de Lancret............................
13. Sur les lignes de courbure des développables isotropes.........
14. Surfaces dont les lignes de courbure sont planes...............
15. Surfaces dont les plans des lignes de courbure de chaque système
sont parallèles à deux droites fixes.........................
16. Surfaces dont les lignes de courbure d’un système sont situées
dans des plans parallèles....................................
17. Sur les enveloppes de sphères..................................
18. Surfaces canaux................................................
19. Sur Ja cyclide de Dupin........................................
20. Trajectoires orthogonales d’un plan mobile.....................
21. Étude des lignes asymptotiques.................................
22. Lignes asymptotiques des surfaces du second ordre..............
23. Des lignes géodésiques.........................................
24. Propriétés des lignes géodésiques..............................
25. Lignes de niveau et de pente ..................................
Exercices et Notes..................................................
Pases.
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5
7
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22
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3 2
33
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42
43
45
49
50
52
53
56
6 1
62
336
L ABLE DES MAT I É UES.
CHAPITRE II.
Géométrie sphérique.
Pages.
1. Coordonnées sphériques....................................... 65
2. Théorie des tangentes........................................ 67
3. De la courbe polaire......................................... 68
4. Courbure et développées.................................. .. 69
5. De l’indicatrice sphérique................................... 71
6. Théorèmes de M. 0. Bonnet et Jacobi......................... 72
7. Théorie des images de Gauss.................................. 78
8. Sur les images des lignes de courbure.......................... 76
9. Li gués d’une surface dont les images sont les génératrices de la
sphère.................................................... 78
10. Digression sur une propriété des cercles orthogonaux........ 80
lt. Surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes...... 82
Exercices et Notes............................................... 83
CHAPITRE III.
Des coordonnées curvilignes sur une surface.
1. Préliminaires.................................................. 85
2. Coordonnées curvilignes daus le plan........................... 86
3. Coordonnées curvilignes d’un point sur une surface............. 90
4. Sur les cosinus directeurs de la normale....................... gj
5. Des systèmes de coordonnées les plus simples................... 90
6. Applications................................................... 97
7. Hayon de courbure d’une section normale........................ 98
8. Tbéorè.mc de Gauss............................................ ։oi
9. Équation des lignes de courbure, des lignes conjuguées et des
lignes asymptotiques....................................... ioj
10. Sur une forme remarquable des équations des lignes de courbure.. 108
11. Lignes bissectrices .... ................................... 1 m
12. Équations des lignes géodésiques en coordonnées curvilignes. m
13. Coordonnées de Gauss. Polygones géodésiques................... u3
14. Sur l’intégration des équations des lignes géodésiques...... nC
15. Étude d’uue surface remarquable............................. ՝։՛*
16. Sur une classe particulière de géodésiques.................. 12՛՜’
17. Courbes harmoniques.......................................... I3b
18. Composantes de la courbure................................... i27
19. Sur la courbure tangentielle ou géodésique.................. I28
20. Courbures tangentielles en coordonnées curvilignes.......... 3։
21. Nouvelle expression de la courbure géodésique............... 34
22. Théorèmes de M. O. Bonnet.................................... i36
TARLE DES MATIÈRES.
23. Théorème de Lamé.............................................
24. Courbure normale et courbure propre..........................
25. Torsion géodésique...........................................
26. Des surfaces applicables.....................................
27. Méthode pour rechercher des surfaces applicables les unes sur les
autres.....................................................
28. Elude du cas où la courbure est constante....................
29. Quelques propriétés des surfaces à courbure constante........
30. Surfaces applicables sur le plan.............................
31. Théorème de Bour.............................................
32. Sur la construction des caries. Conservation des angles......
32. Projection stcrcographique...................................
33. Conservation des aires.......................................
34. De la périmorphie............................................
Formules fondamentales.......................................
35. Second groupe de formules....................................
3ü. Interprétation des quantités P։, 0։, R„ P„ Q., R։.............
37. Troisième groupe de formules.................................
38. Recherches, à l’aide de la périmorphie, des surfaces applicables
sur une surface donnée.....................................
Exercices et Notes................................................
33;
•âge*.
,37
138
l4o
,4
x5n
16.3
160
166
167
’fi7
7
I72
74
irfi
79
CHAPITRE IV.
Des coordonnées curvilignes dans l’espace. 1 2 3 4 * * 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1. Préliminaires................................................... 181
2. Transformation des coordonnées................................... 182
3. Systèmes orthogonaux. Transformation............................. i83
4. Calcul des dérivées secondes des coordonnées à l’aide des dérivées
premières de L, M, N........................................... 186
0. Interprétation de L, M, N et de leurs dérivées................... 189
fi. Théorème de Dupin............................................... 191
7. Conditions pour que deux familles de surfaces fassent partie d’un
système orthogonal............................................. 193
8. Conditions ponr qu’une famille de surfaces fasse partie d’un sys-
tème orthogonal. Théorème de M. O. Bonnet.................... 196
9. Théorèmes de M. Maurice Lévy..................................... 197
10. Formules de Lamé................................................. 200
11. Recherche des systèmes orthogonaux............................... 2o3
12. Coordonnées elliptiques. Ligues de courbure de l’ellipsoïde.... 20/1
13. Calcul de divers éléments des surfaces du système elliptique... 2o5
14. Discussion des équations des ligues de courbure de l’ellipsoïde.. 208
15. Lieu des centres de courbure principaux de l’ellipsoïde.......... 209
16. Lignes de courbure de la surface podaire de l’ellipsoïde par rap-
port au centre............................՛.................. 210
L. — Traité d Analyse, VII. 22
338
TABLE DES MATIÈRES.
Pages
17. Lignes geodèsiques de l’ellipsoïde.............................. sii
18. Coordonnées paraboliques. Lignes de courbure des paraboloïdes.. ai.5
19. Lignes geodèsiques du paraboloïde........................·.... 216
20. Sur la transformation par rayons vecteurs réciproques......... 217
21. Des anallaginaliques de M. Moutard............................ 220
22. Équations des anallagmatiques................................... 221
23. Anallagmatiques du quatrième degré homofocales................ 224
24. Du système triple formé d’anallagmatiques homofocales......... 228
25. Quelques anallagmatiques remarquables........................... 229
20. Application des coordonnées curvilignes à la recherche des sur-
faces et des volumes........................................... 23o
Exercices et Notes................................................... 234
CHAPITRE V.
Théorie des surfaces gauches.
1. Préliminaires.................................................
2. Propriétés du plan langent....................................
3. Paraboloïde de raccordement...................................
4. Cènes et cylindres circonscrits...............................
5. Surfaces réglées à plan directeur.............................
6. Symptômes auxquels on reconnaît qu’une surface est réglée.....
7. Lignes de striction des surfaces du second ordre..............
8. Étude des lignes tracées sur les surfaces gauches.............
9. Sur quelques surfaces gauches applicables les unes sur les autres..
10. Théorème de M. O. Bonnet..................................... ..
11. Lignes géodésiques des surfaces gauches......................
12. Lignes asymptotiques.........................................
13. Courbure des surfaces gauches. Lignes de courbure constante....
14. Des surfaces gauches dont les génératrices sont les normales
principales d’une courbe gauche............................
15. Des surfaces gauches dont les génératrices sont les binormales
d’une courbe...............................................
16. Théorème de M. Bertrand......................................
17. Surfaces gauches, lieux des axes cle glissement..............
18. Des normalies................................................
Exercices et Notes................................................
237
242
244
245
246
246
249
2.20
253
255
258
25q
265
266
268
268
272
274
277
CHAPITRE VI.
La géométrie des lignes droites.
1. Les complexes............................................. 279
2. Des congruences ou des faisceaux.......................... 281
3. Complexes du premier degre................................ S82
TABLE DES MATIÈRES.
339
Pages.
4. Diamètres et axe d’un complexe du premier degrc................. 283
0. Classification des complexes du premier degré................... 286
6. Congruence du premier degré..................................... 287
7. Complexes du second degré..................................... 288
8. Des congruences en général. Foyers.............................. 292
9. Points principaux............................................... 296
10. (Générations singulières..................................... 3o2
11. Congruences harmoniques.............................·......... 3o4
12. Du faisceau des normales à une surface.......................... 307
13. Quelques surfaces élémentaires du faisceau des normales à une
surface..................................................... 3ir
14. Théorème de Dupin.............................................. 3։2
15. Congruences isotropes... ..................................... 3i4
16 . Retour à la méthode de Pliicker................................ 3x8
Surfaces gauches............................................... 820
17. Congruences.................................................... 32i
18. Complexes..................................................... 324
19. Application de la théorie des complexes à l’intégration des équa-
tions aux dérivées partielles................................ 32g
20. Note historique sur la théorie des droites..................... 332
Exercices et Notes.................................................. 333
Conclusion......................................................... 333
Table des matières du Tome VU....... ............................ 335
FIN DE LA TABLE DU TOME SEPTIÈME.
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