Traité d'analyse: 4 Calcul intégral : théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales
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DU TOME IV.
CHAPITRE I.
Théorie des fonctions synectiques de plusieurs variables.
Pagas.
1. Préliminaires.................................................... i
U. Des fonctions développables en séries entières.................... 2
3. Théorème de M. Weierstrass....................................... h
4. Des diviseurs des fonctions synectiques.......................... g
5. Sur les points singuliers....................................... ։։
6. Sur les intégrales multiples des fonctions de variables imaginaires. i4
7. Sur une classe particulière d’intégrales doubles................ 16
8. Extension du théorème de Cauchy................................. 7
CHAPITRE II.
Théorie des fonctions algébriques. 1 2 3 4 5 6
1. De l’irréductibilité............................................. 20
2. Des fonctions algébriques........................................ 22
3. Théorème fondamental de Gallois................................. 23
4. Étude et classification des points critiques..................... 25
5. Des lacets....................................................... 2g
6. Variation d’une fonction algébrique le long d’un contour quel-
conque.......................................................... 3o
*7. Développement d’une fonction algébrique dans le voisinage d’un
point critique.................................................. 33
*8. Des cycles....................................................... 34
*9. Cycles des courbes algébriques................................... 37
*10. Intersection d’un cycle et d’une courbe.......................... 3g
*11. Somme des ordres de contact de deux cycles....................... 4°
*12. Classification des points singuliers............................. 42
‘CHAPITRE III.
Sur la transformation des figures planes.
pages
1. Diverses méthodes de transformation...................... .. 44
2. Définition des figures homographiques....................... 4֊
3. Propriétés fondamentales des figures homographiques ........ 48
4. Sur une méthode particulière pour effectuer les transformations
homographiques................................................... 5։
5. Utilité de l’homographie......................................... 53
6. Usage de l’homographie pour l’élude des points situés à l’infini. 56
7. Figures homologiques............................................. 67
8. Digression sur les courbes du troisième ordre................... 61
9. Figures corrélatives............................................ 63
10. Recherche de la classe d’une courbe algébrique et du nombre des
points critiques d’une fonction algébrique....................... 65
11. Points d’inflexion d’une courbe algébrique....................... 67
12. Transformations quadratiques..................................... 69
13. Nouvelle espèce de formules de transformation des fonctions
algébriques...................................................... 74
14. Théorème de la conservation du genre............................. 7a
15. Limite du nombre des singularités................................ 79
16. Réduction des fonctions algébriques.............................. 8a
17. Formes les plus simples des fonctions de genre zéro, un et deux. 88
18. Exemples de courbes de même genre................................ 89
19. Des transformations biratiouuelles............................... 91
20. Réduction des transformations birationnelles à des transforma-
tions quadratiques............................................. 95
‘CHAPITRE IV.
Applications géométriques des doctrines exposées au Chapitre précédent.
1. Courbes linicursales ou de genre zéro............................ 96
2. Courbes unicursales du second et du troisième ordre..... 98
3. Courbes unicursales du quatrième ordre............................ 99
4. Sur la transformation par rayons vecteurs réciproques............ 102
5. Des courbes anallagmatiques...................................... io4
6. Anallaginatiques du troisième et du quatrième ordre.... 108
7. Propriétés des foyers des anallagmatiques du quatrième ordre .. m
8. Ovales de Descartes............................................... n3
9. Les cassinoi des ou lemniscates.................................. ii5
10. Transformées par rayons vecteurs réciproques et podaires de
coniques........................................................ 177
11. Anallagmatiques du troisième ordre.............................. 118
TABLE DES MATIÈRES.
44g
Pages.
12. Transformation de M. Hirst.................................... 120
13. Autre mode de transformation.................................. 120
Exercices et Notes................................................. ։a3
CHAPITRE V.
Des transcendantes engendrées par l’intégration indéfinie.
* l. Préliminaires............................................... ia5
* 2. Ponctions implicites définies par des équations différentielles ... 127
* 3. Remarques au sujet du théorème précédent.................... i3a
* 4. Sur l’existence et l’expression des fonctions implicites.... i33
5. Remarque fondamentale au sujet des divers contours d’intégra-
tion que peut suivre une variable............................ i35
6. Des transcendantes auxquelles conduit l’intégration des fonctions
rationnelles. — Logarithmes...................... ........... i3fi
7. Transcendantes auxquelles on est conduit par l’intégration des
fonctions algébriques. — Intégrales abélicnncs................ i38
8. Intégrales des fonctions algébriques du second ordre. - Des fonc-
tions circulaires et hyperboliques............................ i3q
9. Formule fondamentale de la Trigonométrie........................ 142
*11). Intégrales des fonctions algébriques de genre zéro............ i43
*11. Intégrales des fonctions algébriques de genre un............... i44
*12. Sur l’impossibilité d’exprimer les fonctions abélicnnes au moyen
des signes ordinaires de l’Algèbre........................... 145
*13. Impossibilité d’exprimer les intégrales elliptiques à l’aide de
transcendantes plus simples................................... i5i
*14. Théorème d’Abel................................................ 154
*15. Application du théorème d’Abel à un système hyperelliptique... i56
*16. Généralisation du théorème d’Abel.............................. i58
CHAPITRE VI.
Théorie des intégrales elliptiques.
1. Préliminaires................................................... 161
2. Réductinn des intégrales elliptiques à des types simples. ...... 162
3. problème de la transformation................................... i63
4. Transformation du premier degré................................. i65
5. Transformation du second degré.................................. 167
6. Applications du problème de la transformation à la réduction des
intégrales elliptiques........................................ 168
7. Forme définitive des intégrales elliptiques........ ........... 172
8. Réduction du module au-dessous de l’unité ..................... 174
9. Transformation de Landen........................................ 177
L. — Traité d Analyse, IV.
29
45o
TARLE DES MATIÈRES.
Cases.
10. Interprétation géométrique................................. 17g
*11. Sur la moyenne arithmético-géométrique........................ 182
CHAPITRE VII.
Théorie des fonctions elliptiques.
1. Étude de l’intégrale и — f — trd» -------.. ^5
Jo /(z — t)(z — $)(z — T) (s — S)
2. Étude rapide de la fonction inverse.......................... 188
3. De la fonction sinam; ou sn и............................... 190
4. Sur les fonctions спи et dnи............:.................... 19З
5. Dérivées de sn«, спи, dn и................................... 197
6. Résidus des fonctions elliptiques.............................. 199
7. Remarque importante............................................ 199
8. Discussion rapide des fonctions elliptiques.................... 200
9. Équation d Euler............................................... 202
10. Addition des fonctions elliptiques.— Méthode de Lagrange.... 206
*11. Méthode de Clebsch.............................................. 208
*12. Nouvelle méthode. — Théorème de Poncelet....................... 211
*13. Intégration de l’équation dy — ----........-................ 2i5
V-A Cx
CHAPITRE VIH.
Théorie générale des fonctions doublement périodiques
et des fonctions auxiliaires
1. Introduction.................................................. 2 r 7
* 2. Premier théorème d Arithmétique................................ 217
* 3. Second théorème d’Arithmétique................................. 218
* 4. Ce que l’on doit entendre par périodes distinctes............ 222
* 5. Impossibilité de deux périodes avec un rapport réel............ 224
* 6. Impossibilité de trois périodes................................ 224
* 7. Périodes élémentaires.......................................... 220
8. Propriétés générales des fonctions à deux périodes............. 228
9. Des fonctions auxiliaires...................................... 23o
10. Développement des fonctions auxiliaires......................... 234
11. Sur les racines de 0{x) = 0..................................... 237
12. Formation des fonctions auxiliaires et doublement périodiques
admettant des zéros ou des infinis donnés......................
13. Inversion d’une intégrale elliptique de première espèce......... 24։
14. Relations entre une fonction doublement périodique et sa dérivée. 243
15. Les fonctions auxiliaires de Jacobi............................. 244
TABLE DES MATIÈRES.
/|5і
Pages.
*16. Nouvelle forme des fonctions auxiliaires....................... 2,48
17. Formule de Cauchy.................................:............ a5i
18. Développement des fonctions auxiliaires en produits............ 254
19. Relations entre les fonctions de Jacobi........................ 255
20. Expression de snæ, eux, dnx au moyen des fonctions auxi-
liaires......................................................... 2jg
21. Usage des fonctions 8, t„ 9,, r1։. - Calcul de Inconstante C... 261
*22. Périodes elliptiques............................................ 262
23. Développement des fonctions elliptiques en séries trigonomè-
triques......................................................... .. 264
*21. Relations nouvelles entre les modules et les périodes.......... 265
25. Formules d’addition........................................... 268
26. Formules usuelles déduites de la considération des fonctions auxi-
liaires ........................................................ 270
*27. Théorème de M. Mittag-Lefflcr.................................... 272
*28. Théorème de Liouville............................................ 274
*29. Formules d’addition.............................................. 276
*30· Multiplication des fonctions auxiliaires......................... 278
*31. Multiplication des fonctions elliptiques......................... 281
*32. Méthode d’Abel.................................................. 282
*33. Intégration des fonctions doublement périodiques................ 284
*34. Cas où les périodes de la fonction à intégrer sont 2K et 2 K p 1. 28a
*35. De l’intégrale elliptique de seconde espèce...................... 286
*36· Addition des fonctions do deuxième espèce........................ 288
*37. Intégrale elliptique de troisième espece......................... 290
*38. Intégrales complètes............................................ 29З
*39. Les fonctions Al de Weierstrass.................................. 295
*40. Utilité des fonctions Al pour le développement eu série.......... 296
*41. Équations aux dérivées partielles................................ 277
‘CHAPITRE IX.
Fonctions modulaires.
1. Équations différentielles entre les périodes.................. 299
2. Définition et propriétés des fonctions modulaires............. Зої
3. Fonctions modulaires inverses ................................ 00З
4. Théorème de M. Picard......................................... 3o5
5. Sur le problème de la transformation.......................... З07
6. Réduction du problème......................................... З09
7. Transformations fournies par des substitutions unimodulaircs
entre les périodes............................................ З10
8. Méthode générale pour effectuer les transformations précé-
dentes...................................................... 3i3
9. Division d une période par deux............................... 3i5
10. Division d’une période par un nombre impair.................. З19
TABLE DES MATIÈRES
45 a
‘CHAPITRE X.
Applications géométriques de la théorie des fonctions elliptiques.
Pages.
1. Sur les arcs d’ellipse....................................... 322
2. Théorème de Fagliano......................................... 3a3
3. Théorèmes de Graves, Mac Cullagli el Chasles................. 325
4. Théorème de Landen........................................... 327
5. Courbes de J.-A. Serret...................................... 328
6. Démonstration d’un théorème de Poncelet...................... 33i
7. Roulette de Dclaunav................................. ....... 333
8. La courbe élastique.......................................... 336
9. Surface de l ellipsoïde.. ................................... 336
10. Sur les courbes du premier genre, et en particulier sur les courbes
du troisième degré........ ................................... 338
11. Quelques propriétés des courbes du troisième degré.............. 34i
12. Les points Steiner dans les courbes du troisième ordre.......... 345
13. Sur les biquadratiques gauches................................. 347
14. Surfaces monoïdes de M. Cayley.................... ............ 35i
15. Cubiques gauches................................................ 353
Résumé des principales formules elliptiques......................... 354
Exercices et Notes................................................ 307
‘CHAPITRE XI.
Étude des fonctions abéliennes.
1. Préliminaires................................................ 36o
2. Surfaces de Riemann.......................................... 36o
3. Propriété des fonctions qui peuvent être représentées au moyen
des surfaces de Riemann.................................... 363
4. Sur Tordre adelphique des surfaces... ..................... 364
5. Ordre adelphique des surfaces de Riemann................... 368
6. Types simples de fonctions algébriques que Ton peut se borner à
considérer dans la théorie des intégrales abéliennes........ 371
7. Systèmes de lacets d’un polygone........................... 372
8. Lacets fondamentaux, groupes de ramifications.............. 373
9. Effet produit par un changement de forme du polygone G..... 374
10. Théorème de M. Lüroth........................................ 376
11. Construction d’une surface de Riemann pour une fonction algé-
brique d’ordre m............................................ 381
12. Système canonique des sections............................... 382
13. Sur une propriété des fonctions algébriques.................. 384 ՛
14. Extension des théorèmes de Cauchy............................ 386
TABLE DES MATIÈRES. 4^3
Po os.
15. Classification des intégrales abcliennes..................... 388
16. Intégrales de première et de seconde espèce.................. 3gi
17. Intégrales de troisième espèce............................... 3g3
18. Propriétés des intégrales de troisième espèce................ 397
19. Sur les valeurs,multiples des intégrales abéliennes de première
espèce....................................................... 400
20. Choix d’un système de périodes............................... 4o2
21. Relations entre les périodes de deux intégrales de première espèce, 4°4
22. Intégrales normales de première espèce....................... 4°6
23. Propriété remarquable des périodes normales.................. 407
24. Intégrales normales do troisième espèce...................... 4°®
25. Relations entre les périodes de deux intégrales de troisième espèce. 4°9
26. Remarques au sujet du théorème d’Abel........................ 410
27. Intégration d’un système abélien............................. 412
28. Addition et inversion.......................................... 4J4
29. Des fonctions 0 de plusieurs arguments......................... 4*7
30. Sur une fonction d’une variable déduite des fonctions 0....... 420
31. Suite des propriétés de la fonction fl (a;)................... 423
32. Problème de l’inversion........................................ 42®
33. Expression d’une intégrale abélienne de troisième espèce au
moyen des fonctions 0...................................... 43o
34. Théorème de M. Picard........................................ 43·
35. Des fonctions de n variables possédant 2« systèmes de périodes
simultanées................................................. 4-34
36. Théorèmes de M. Weierstrass.................................. 436
37. Théorème de MM. Picard et Poincaré............................. 43y
38. Théorème de M. Poincaré........................................ 44°
NOTES.
Note sur les intégrales définies.................................... 442
Théorème de Riemann................................................. 443
Table des matières du tome IV....................................... 44?
Errata.............................................................. 434
FIN DE LA TABLE DU TOME QUATRIÈME.
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