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Traité d'analyse: 1 Calcul différentiel : applications analytiques et géométriques

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Main Author:	Laurent, Hermann (Author)
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Language:	French
Published:	Paris Gauthier-Villars 1885
Subjects:	Differentialrechnung Differentialgeometrie
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adam_text	TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE Pr. Introduction. f a?C:·* 1. Des fonctions........................................................ 1 2. Continuité........................................................... 2 3. Continuité des fonctions imaginaires................................. 6 4. Représentation géométrique des imaginaires........................... 7 0. Notions sur les infiniment petits.................................... 8 CHAPITRE II. Théorie générale des séries. 1. Définitions......................................................... ii 2. Théorèmes sur la convergence........................................ 12 3. Régie de convergence................................................ 20 4. Des calculs que l’on peut effectuer sur les séries................. 26 5. Sur un théorème de Cauchy........................................... 3o G. Séries uniformément convergentes.................................... 3a 7. Théorème d’Abel..................................................... 33 8. Théorème général sur les séries..................................... 37 9. Développement des fonctions rationnelles............................ 38 19. Séries récurrentes................................................... 4o Ml. Théorème d’fcfiscnstein............................................... 43 12. Développements de e1, sin.r, cos a:................................ 43 13. Généralisation des exponentielles et des fonctions circulaires..... 49 14. Origine purement analytique du sinus............................... 5i 15. Des logarithmes.................................................... 55 16. Fonctions circulaires et hyperboliques inverses.................... 67 17. Digression sur la nature des exponentielles........................ 58 18. Quelques théorèmes concernant les séries doubles.................... 59 19. Application destinée à faire comprendre l’utilité de la théorie des séries doubles..................................................... ha (11 Les matières traitées dans les paragraphes et chapitres marqués d’un ne sont pas exiges des candidats à la licence. L. — Traité TAnalyse, I. 25 386 TAULU DES MATIÈRES. CHAPITRE Ili. Théorie des dérivées. 1. Définition de la dérivée.................................... 2. Dérivée d’une somme,d’un produit,d’une différence, d’uu quotient. 3. Dérivée d’une fonction de fonction.......................... 4. Dérivée de quelques fonctions simples....................... 5. Dérivées des fonctions circulaires.......................... 0. Théorème de Rolle........................................... 7. formule de Taylor........................................... 8. Théorèmes déduits de la formule de Taylor................... 9. Dérivée d’une fonction composée............................. 10. Quelques fonctions dont on peut calculer la dérivée d’ordre n en fonction du nombre n....................................... 10 bis. Dérivée nitmt d une fonction de fonction................ 11. Dérivée re1Sm d’une fonction rationnelle.................. 12. Formule de Maclaurin....................................... 13. Développement de arc tanga.՛............................... 14. De la formule de Taylor considérée comme formule d’approxima- tion ............................................................. l am-s. 65 66 c9 7a 75 7« 8i 83 84 87 88 90 9 CHAPITRE IV. Différences des fonctions d’une variable. 1. Différences des fonctions d’une seule variable................... 97 2. Formules servant à calculer A«/ et formules inverses............. 99 3. Examen du cas où la différence de la variable tend vers zéro.... 101 4. Formules d’interpolation de Engrange et de Newton............... ioS 5. Formule d’Ampère............................................... J06 6. Formule de Brassinne.............................................. 07 7. Formule de Cauchy................................................. 108 8. Expression des dérivées en fonction des différences et. vice versa. 10g 9. Construction des Tables numériques.............................. 111 10. Construction des Tables de logarithmes.......................... ,։3 11. Construction des Tables de sinus................................. ։\|3 12. Application à la résolution des équations........................ ։։6 CHAPITRE V. Théorie des différentielles des fonctions d’une seule variable. 1. Sur les divers ordres d’infiniment petits....7.................... 119 2. Définition des différentielles..................................... ։։3 3. Remarques au sujet de la formule de Taylor....................... ia5 4. Comparaison des différences et des différentielles............... 127 TABLE DES MATIÈRES. 387 Pagos. 5. Remarques sur Je Calcul différentiel. — Ses avantages sur le Cal- cul des dérivées......................................... 127 6. Sur un mode de raisonnement employé en Analyse.............. 129 CHAPITRE VI. Dérivées, diîiérences et diîîérentielles des fonctions de plusieurs variables. 1. Sur le calcul des expressions symboliques....................... 2. Remarques au sujet des dérivées des fonctions de plusieurs va- riables...................................................... 3. Formule de Taylor généralisée................................... 4. Différences des fonctions de plusieurs variables................ 5. Formule d’interpolation......................................... 6. Différentielles totales......................................... 7. Calcul des différentielles partielles........................... 8. Principes fondamentaux.......................................... 9. Remarques....................................................... 10. Des fonctions dont la différentielle est nulle................. i33 ։38 ij։ 143 14G 47 151 T 53 154 155 CHAPITRE VII. Des déterminants fonctionnels et des fonctions implicites- 1. Préliminaires.................................................. I·1™ 2. Déterminant du système adjoint.................................. ։Ü9 ‘3. Déterminants gauches............................................ ։62 4. Déterminant d’un système de fonctions........................... JS3 5. Reconnaître si des fonctions sont indépendantes................. 167 ’6. Sur un théorème de Jacobi....................................... ։7° 7. Définition des fonctions implicites............................. J72 8. Dérivées et différentielles des fonctions implicites d’une seule va- riable....................................................... J72 9. Dérivées et différentielles desfonctions implicites de plusieurs va- riables...................................................... J7^ 10. Caractère de3 solutions multiples.............................. 77 ‘ 11. Déterminants des fonctions implicites......................... ‘79 12. Formule de Lagrange.......................................... CHAPITRE VIII. Fonctions de variables imaginaires. 1. Définition précise d’une fonction de variables imaginaires. ։85 2. Calcul de quelques dérivées................................ 3. Formule de Taylor................................................. 4. Différentielles des fonctions de variables imaginaires..... 19^ 388 TABLE DES MATURES. CHAPITRE K. Changement de variables. Paç«s 1. Changement de variable dans les fonctions d’une seule variable indépendante................................................. ig4 2. Changement des variables dans les fonctions de plusieurs variables. 199 3. Application. — Fonctions isotropes de Cauchy.................. soi 4. Cas où l’on change à la fois les fonctions et les variables indé- pendantes................................................. ao-j 5. Autre méthode pour le changement de variable................. aoy 6. Quelques changements de variables effectués au moyen d’artifices particuliers............................................... 211 7· Sur quelques formules destinées à simplifier le changement de va- riables....................................................... 212 8. Variables elliptiques.......................................... 220 9. Théorème des fonctions homogènes............................... 221 CHAPITRE X. ”Théorie des substitutions linéaires. 1. Définitions................................................. 2. Applicalion des substitutions linéaires aux fonclionshomogènesdu premier degré............................................. 3. Application aux fonctions homogènes du second degré......... 4. Transformation d’une fonction du second degré............... 5. Réduction à une somme de carrés au moyen d’une substitution or- thogonale................................................. 0. Discussion des résultats précédents......................... 7. Réduction simultanée de deux fonctions du second degré à des sommes de carrés.......................................... 8. Discussion de la théorie précédente......................... 9. Invariants et covariants.................................... 10. Émanants................................................... 11. Contrevarianls et divarianls............................... 1?. Évectants............................................ ...... 13. Recherche des invariants................................... 14. Méthodes générales pour former des covariants et des contreva- riants.................................................... 15. Invariants des formes quadratiques......................... 16. Conlrevariants et divariauts des formes quadratiques....... 17. Combinants................................................. 18. Sur une propriété générale des formes...................... 19. Démonstration d’un lemme................................... 20. Recherche des covariants et des contrevariants des formes li- néaires .................................................. 201 2,32 236 238 2^2 •44 248 a5o 253 255 256 269 261 2G2 266 267 2G8 272 TABLE DES MATIÈRES. З89 Pages. 21. Recherches des contre variants des formes quelconques........ ar5 22. Méthode de M. Cayley......................................... 277 23. Application aux formes binaires.............................. 27g CHAPITRE XI. Sur l élimination. 1. Définitions................................................... 28Ü 2. Coefficients, arguments, poids.................................. 287 3. Fonctions symétriques des racines d’une équation ............. 289 4. Résultante de deux équations.................................. 292 5. Transformation de la résultante............................... 294 6. Méthode de M. Cayley, racine commune.......................... 297 7. Résolution de deux équations à deux inconnues................. 298 8. Théorème de Bézout.............................................. З00 9. Sur l’équivalence des polynômes................................. З04 10. Démonstration d’un lemme....................................... 3o5 11. Résolution de quelques problèmes sur les polynômes réduits___ З06 12. Calcul de la résultante de plusieurs équations............... З10 13. Nouvelle manière de former la résultante, résolution......... 3i3 14. Sur les polynômes multiplicateurs.............................. З17 15. Cas où la résultante a des solutions infinies.................. З18 16. Calcul des fonctions symétriques. — Formule de Jacobi.......... З19 17. Formule de M. Knrico Betli..................................... З22 18. Remarque sur les solutions communes............................ 3a5 19. Propriétés de la résultante.................................... З26 20. Résultants..................................................... З28 21. Discriminants.................................................. ЗЗ2 22. Théorème propre à faciliter l’élimination...................... 334 23. Sur une élimination remarquable................................ 336 24. Principe de correspondance................................... ЗЗ7 CHAPITRE XII. Résolution des questions de maximum et de minimum. 1. Règle générale pour trouver les maxintaelles miniina des fonctions explicites................................................... З47 2. Quelques exemples............................................ З47 3. Sur le maximum des fonctions de plusieurs variables liées entre elles........................................................ 35o 4. Applications des théories precedentes........................ 353 5. Digression sur la plus courte distance de deux droites....... 357 6. Axes de l’ellipsoïde......................................... 35g 7. Axes d’une section plane de l’ellipsoïde..................... З60 8. Propriété des polynômes du second degré.................... 36a 9. Réilexioiis au sujet des théories précédentes................ 364 3go TABLE DES MATIÈRES. CHAPITRE XIII. Sur les valeurs des fonctions qui se présentent sous une forme singulière. 1. Préliminaires...................................... 2. Valeur d’une fonction qui se présente sous la forme . 3. Valeur d’une fonction qui se présente sous la forme —- 4. De quelques autres cas d’indétermination apparente... 5. Théorème de Cauchy................................. Note I.............................................. N ote II............................................ Paçes. 370 3,, 374 376 377 381 383 FIX DE LA TABLE DU TOME PREMIER.
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