Einleitung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen:
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Leipzig
Druck und Verlag von B. G. Teubner
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| adam_text | Inhaltsübersicht.
Einleitung. Selto
1. Definition der linearen homogenen Differentialgleichung................. 1
2. Die Coëfficiënten der Differentialgleichung............................. 2
3. Die singulären Punkte der Differentialgleichung........................ 3
4. Ziel der Untersuchung................................................... 5
Kapitel I.
Recursionsformel und determinierende Gleichung.
5. Feststellung der ersten Aufgaben........................................ 8
G. Die Recursionsfoi-mel................................................. 10
7. Die determinierende Gleichung...........................................12
8. Grad der determinierenden Gleichung; Stelle der Bestimmtheit............13
9. Specialisierung für reguläre Stellen....................................14
10. Beispiele..............................................................11
Kapitel II.
Berechnung der Reiheneoefficienten aus der Recursionsformel.
11. PräcisieruDg der Aufgabe . ..........................................20
12. Einführung von Bezeichnungen.........................................21
13. Ersetzung des Systems S durch ein anderes............................24
14. Die Bedingungen dafür, dass zu einer Wurzel der determinierenden Glei-
chung eine Reihe gehört..............................................21
15. Die -willkürlichen Constanten der Reihen...............................28
16. Zwei extreme Specialfälle..............................................80
17. Anwendung anf reguläre Stellen.........................................32
18. Weitere Beispiele......................................................33
Kapitel III.
Nachweis der Reihenconvergenz bei einer Stelle der
Bestimmtheit.
19. Begründung der Beschränkung auf Stellen der Bestimmtheit; verein-
fachende Annahmen....................................................35
20. Hülfsdifferentialgleichung und Hülfsreihe..............................37
21. Convergenz der Hülfsreihe..............................................38
22. Convergenz der vorgelegten Reihe.......................................39
23. Beispiele............................................................ 41
Inhaltsübersicht. XI
Kapitel IV.
Fnndamentalsystem von Integralen. Nicht homogene
Differentialgleichungen. goite
24. Feststellung der nächsten Aufgaben.....................................45
25. Beziehungen von Integralen untereinander............................45
26. Ausdruck der Coëfficiënten der Differentialgleichung durch n linear un-
abhängige Integrale..................................................47
27. Fundamental System von Integralen......................................48
28. Die Determinante eines Fundamentalsystems.............................5l)
29. Erniedrigung der Ordnung der Differentialgleichung bei Kenntnis eines
Integrals............................................................52
30. Fuchs’sehe Methode zur Gewinnung linear unabhängiger Integrale. .. . 53
31. Zurückführung der Integration von nicht homogenen auf die Integration
von homogenen linearen Differentialgleichungen..................... 55
Kapitel V.
Die Integrale bei einer regulären Stelle und die linearen
Differentialgleichungen mit constanten Coëfficiënten.
32. Übersicht über den Fortgang der Untersuchung...........................58
33. Verhalten der Integrale bei einer regulären Stelle.....................58
34. Die scheinbar singulären Punkte........................................60
35. Die linearen Differentialgleichungen mit constanten Coëfficiënten .... 62
36. Nachweis der linearen Unabhängigkeit der « aufgestellten Integrale der՛
Differentialgleichung mit constanten Coëfficiënten...................65
37. Beispiele..............................................................66
Kapitel VI.
Die Integralfunction im ganzen Gebiet der Differential-
gleichung. Gruppe der Differentialgleichung.
38. Feststellung der zu behandelnden Aufgabe........................... . 68
39. Analytische Fortsetzung der Integrale..............................69
40. Das monogene Gebilde der Iutegralfunction..............................71
41. Gebiet der Eindeutigkeit der Integralfunctiou..........................72
42. Zweige der Iutegralfunction........................................75
43. Zusammenhang zwischen zwei unabhängig von einander definierten Fun-
damentalsystemen ....................................................76
44. Fundamentalsubstitutionen und Gruppe der Differentialgleichung .... 79
45. Beispiele............................................................ 82
Kapitel VII.
Analytische Gestalt der Integrale bei einer singulären
Stelle der Bestimmtheit.
46. Anwendung der Fuchs’schen Methode......................................84
47. Aufstellung von Integralgruppen........................................86
48. Analytische Gestalt der Gruppen-Integrale..............................89
49. Zugehörigkeit der Integrale zu den Wurzeln der determinierenden Gleichung 91
XII
Inhaltsüb ersieht.
Seite
50. Folgerungen......................................................... 93
51. Verzweigung der Integrale bei as == 0; Umlaufsrelationen.......... . 94
52. Lineare Abhängigkeit zwischen den Functionen ..................... 97
53. Grad der Gruppen-Integrale im Logarithmus......................... 98
64. Differentialgleichungen mit einer einzigen singulären Stelle (der Be-
stimmtheit) im Endlichen...........................................100
Kapitel VIII.
Recursionsformeln der Reihen in logarithmenbehafteten
Integralen bei einer Stelle der Bestimmtheit.
55. Aufstellung der zu behandelnden Aufgaben................................104
56. Allgemeiner Satz über die Herleitung mehrerer logarithmenbehafteter
Integrale aus einem solchen.......................................... 105
57. Substitution des logarithmenbehafteten Integrals in die Differential-
gleichung ............................................................109
58. Convergenz der Reihen in logarithmenbehafteten Integralen...............111
59. Recursiousformeln der Reihen in logarithmenbehafteten Integralen... 113
60. Zugehörigkeit logarithmonbehafteter Integrale zu den Wurzeln der deter-
minierenden Gleichung.................................................116
61. Berechnung der Reihencoefficienten aus der Recnrsionsformel .... 118
62. Das allgemeinste Integral einer Gruppe..................................123
63. Folgerung aus der Recursionsformel......................................127
64. Beispiel................................................................131
Kapitel IX.
Zerlegung der Integralgruppen in Untergruppen.
65. Fundamentalsystem von lauter einfachsten Integralen............... . 133
66. Integraluntergruppen. Untergruppen höchster Stufe . . . . _....134
67. Aufstellung der übrigen Untergruppen....................................136
68. Modificierte Aufstellung der Untergruppen...............................139
69. Specialfälle und Beispiele..............................................140
Kapitel X.
Notwendigkeit der Bestimmtheitsgestalt der Differential-
gleichung bei einer Stelle für bestimmtes V erhalten sämtlicher
Integrale daselbst.
70. Aufgabe und Gang der Lösung.............................................142
71. Umwandlung des vorgelegten Fundamentalsystems . . ·................... 143
72. Beweis, dass x — 0 höchstens ausserwesentlich singuläre Stelle ist. . . 145
73. Nachweis, dass x — 0 Stelle der Bestimmtheit ist........................147
Kapitel XI.
Fundamentalgleichung.
74. Aufgabe der folgenden Untersuchung................................149
75. Aufstellung der Fundamentalgleichung........................... . 150
76՝. Invarianz der Linearteiler der Fundamentalgleichung...............152
Inhaltsübersicht.
XIII
Seite
77. Invarianz der Elementarteiler der Fundamentalgleichung...............154
78. Grad der Unbestimmtheit des Gleichnngssystems (7)....................156
79. Fundamentalgleichung für eine Stelle der Bestimmtheit und ihre Be-
ziehung zur determinierenden Gleichung...............................157
80. Beziehung zwischen den Integraluntergruppen bei einer Stelle der Be-
stimmtheit und den Elementarteilern der Fundamentalgleichung. . . 159
Kapitel XII.
Die Integrale in einem Kreisring.
81. Die Integrale bei Verschiedenheit sämtlicher Wurzeln der Fundamen-
talgleichung ........................................................162
82. Verfahren bei mehrfachen Wurzeln der Fundamentalgleichung .... 165
83. Integralgruppen entsprechend den mehrfachen Linearteilern der Funda-
mentalgleichung ................................................... 167
84. Sämtliche Integrale erster Stufe in einer Gruppe.....................169
85. Sämtliche Integrale einer Gruppe nach ihrer Stufenzahl geordnet. . . 172
86. Integraluntergruppen entsprechend den Elementarteilern der Funda-
mentalgleichung......................................................176
Kapitel XIII.
Stellen der Unbestimmtheit, bei denen sich ein Teil der
Integrale bestimmt verhält. Eeduktibilität.
87. Aufstellung der zu behandelnden Aufgaben.............................179
88. Differentialgleichung niedrigerer Ordnung für die sich bestimmt ver-
haltenden Integrale..................................................180
89. Zerlegung eines Differentialausdrucks................................181
90. Zerlegbarkeit einer Differentialgleichung mit bei x = 0 zum Teil sich
bestimmt verhaltenden Integralen.................................... 184
91. Specialisierung für ausserwesentlich singuläre Stellen. Zerlegbarkeit
der Eecursionsformel.................................................185
92. Zerlegung eines Differentialausdrucks in Dilferentialausdrücke erster
Ordnung . . . . ....................................................188
93. Eeduktibilität linearer Differentialgleichungen......................191
94. Nachweis der Existenz irreduktibler Differentialgleichungen..........193
95. Beispiele............................................................194
Kapitel XIV.
Die Integrale in der Umgebung unendlich grosser Werte der
unabhängigen Variablen.
96. Transformation mittelst reciproker Eadien............................198
97. Die transfoimierte Differentialgleichung.............................199
98. Allgemeine Gestalt der Integrale in der Umgebung von x = oo . . . 201
99. Mannigfaltigkeit des zu x = oo gehörigen Fundamentalsystems; Inva-
rianz seiner Einteilung in Untergruppen..............................202
100. Kriterien für die Natur der Stelle a: = oo............................203
101. Eebursionsformel bei x = oo...........................................206
Inhaltsübersicht.
XlV
102. Die zu X == OO gehörige determinierende Gleichung
103. Beispiele.........................................
Seite
207
209
Kapitel XV.
Differentialgleichungen der Puc hs’sehen Klasse.
104. Differentialgleichungen mit rationalen Coëfficiënten..................212
105. Gemeinschaftliche Eecursionsformel derselben bei x 0 und íe = oo 213
106. Gemeinschaftlicher Algorithmus der Integrale von Differentialgleichungen
mit rationalen Coëfficiënten bei x — 0 und x — oo....................215
107. Anwendung auf-die Gauss’sche Differentialgleichung....................217
108. Differentialgleichungen der Fuchs’schen Klasse........................219
109. Beziehung zwischen den Wurzeln der determinierenden Gleichungen
aller singulären Punkte.................................................220
110. Differentialgleichungen mit nur algebraischen Integralen.................222
111. Transformation der Differentialgleichungen II. Ordnung der Fuchs’schen
Klasse................................................................. 224
112. Die Gauss’sche Differentialgleichung.....................................226
113. Die Integrale der Gauss’schen Differentialgleichung....................227
Anhang.
Hülfssätze.
Zu Kap. IV. Sechs Sätze über lineare Abhängigkeit von Functionen . . . 233
„ „ V. Über das Verschwinden einer Determinante.......................240
,, „ VII. Über die Integration einer sich bestimmt verhaltenden Function 241
„ „ X. Begründung einer S. 146 benutzten Identität...........245
„ „ XI. Beweis der S. 155 benutzten Determiuantenformel.......246
„ „ XII. 1) Begründung einer S. 166 benutzten Identität........248
2) Satz von Casorati ....................._..........250
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257
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| spelling | Heffter, Lothar 1862-1962 Verfasser (DE-588)116570237 aut Einleitung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen von Dr. Lothar Heffter, a. o. Professor an der Universität Giessen Leipzig Druck und Verlag von B. G. Teubner 1894 XIV, 258 Seiten graph. Darst. 25 cm txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Differential equations, Linear Theorie (DE-588)4059787-8 gnd rswk-swf Lineare Differentialgleichung (DE-588)4206889-7 gnd rswk-swf Lineare Differentialgleichung (DE-588)4206889-7 s Theorie (DE-588)4059787-8 s 1\p DE-604 Elektronische Reproduktion München : Bayerische Staatsbibliothek, 2023 urn:nbn:de:bvb:12-bsb11650999-6 http://mdz-nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb11650999-6 Resolving-System kostenfrei Volltext // Exemplar mit der Signatur: München, Bayerische Staatsbibliothek -- Math.p. 209 df http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=06680001 kostenfrei Volltext KOBV Fremddatenuebernahme application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=002846558&sequence=000001&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis 1\p cgwrk 20201028 DE-101 https://d-nb.info/provenance/plan#cgwrk |
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