Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie: zum Gebrauche beim Selbstunterricht und in Schulen, bes. als Vorbereitung auf Geodäsie und sphär. Astronomie
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1897
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Lehrbuch
der
Zum Gebrauch beim Selbstunterricht und in Schulen
besonders als
Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie
bearbeitet von
Dr E Hammer,
Professor an der K Technischen Hochschule Stuttgart
ZweiteumgearbeiteteAuflage
Bibliothek
Physikalischen Instituts
der Universität Frankfurt a 1
Stuttgart
JBMetzlerscherVerlag
Inhalts-Verzeichnis
Seite
Einleitung 1
Abschnitt I Goniometrie nebst Teilen (1er ebenen Trigono
metrie Einige Anwendungen der Goniometrie in der Algebra
Kapitel 1 Die trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel
§ 1 Erste Einführung von Masszahlen für die Winkel 3
§ 2 Weitere Masszahlen für die Winkel Einführung der gonio-
metrischen Funktionen sin und cos spitzer Winkel 13
§ 3 Definition der sämtlichen goniometrischen Funktionen eines
spitzen Winkels mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks 22
§ 4 Beziehungen zwischen den goniometr Funktionen eines spitzen
Winkels (goniometrische Grundforineln für Einen Winkel) 25
§ 5 Geometrische Darstellung der goniometrischen Zah:en als Strecken
Erster Überblick über den Gang der Zahlen Wirte der gonio
metrischen Funktionen 30
§ 6 Erweiterung des Überblicks im vorigen § Wirte der gonio
metrischen Funktionen für einige spezielle Winkelwerte Drei
stellige Tafel von 1° zu 1° 34
Kapitel 2 Die Berechnung des rechtwinkligen ebenen Dreiecks Gleichschenkliges
Dreieck Reguläre Polygone Rechnungen am Kreis
§ 7 Einleitung Einrichtung der logaritbmisch - trigonometrischen
Tafel 42
§ 8 Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks 56
I Gegeben die Hypotenuse und ein Winkel 58
IL Gegeben eine Kathete und ein Winkel 59
III Gegeben die Hypotenuse und eine Kathete 60
IV Gegeben die beiden Katheten 62
X Inhalts-Verzeichnis
Seite
§ 9 Weitere Bestimmungen am rechtwinkligen Dreieck Gleich
schenkliges Dreieck Reguläre Polygone Aufgaben über schief
winkligeDreiecke68
§ 10 Rechnungen am Kreise 78
§ 11 Anhang zu § 8 und § 10 Berechnung rechtwinkliger Dreiecke
mit einem sehr kleinen Winkel 96
Anhang zum Kapitel 2 Zusammenstellung von Zahlenbeispielen
1) Kechtwinklige Dreiecke 100
2) Kleine Winkel 101
3) Kreis 102
Kapitel 3 Die goniometrischen Funktionen beliebiger Winkel Der allgemeine
goniometrische Formelapparat Berechnung der goniometrischen Zahlenwerte
Umkehrung der goniometrischen Funktionen
§ 12 Einführung beliebig grosser (positiver) Winkel Negative Winkel 103
§ 13 Rechtwinklige Coordinaten und Polar-Cooidinaten in der Ebene
^ Definition der goniometrischen Funktionen beliebig grosser
Winkel • 108
§ 14 Quadrantenrelationen Aufsuchen der Funktionszahlen zu be
liebigen gegebenen Winkeln und umgekehrt Gang der gonio
metrischen Funktionen für beliebige Winkel Zusammenhang
zwischen rechtwinkligen und Polar-Coordinaten Verwandlung
der einen in die andern 115
§ 15 Das Additionstheorem für die goniometrischen Funktionen sin
und cos: Goniometrische Grundformeln tür sin und cos der
Summe und der Differenz zweier Winkel 136
§ 16 Folgerungen aus dem Additionstheorem für 4n und cos: Additions
theoreme der übrigen Funktionen Die sämtlichen gonio
metrischen Formeln für zwei beliebige Winkel 142
§ 17 Die goniometrischen Funktionen der Vielfachen und der Teile
eines gegebenen Winkels 146
§ 18 Berechnung der goniometrischen Zahlen für bestimmte Winkel
Berechnung dieser Zahlen für beliebige Winkel Elemente
der analytischen Theorie der goniometrischen Funktionen
Maskelyne sehe Regel für kleine Winkel IJmkehrung der gonio
metrischen Funktionen 156
Kapitel 4 Fortsetzung der Goniometrie Goniometrische Gleichungen
Goniometrie und Algebra
§ 19 Goniometrische Gleichungen mit Einem unbekannten Winkel 176
§ 20 Goniometrische Gleichungen mit mehrerei; unbekannten Winkeln 184
Inhalts-V erzeichnis XI
§ 21 Rechnung mit komplexen Zahlen Moiwes Formel Binomische 8eite
Gleichungen Satz von Cotes 186
§ 22 Goniometrische Auflösung der quadratischen und kubischen
Gleichungen 205
Anhang zum Abschnitt I: Goniometrie
1) Goniometrische Formeln für einen beliebigen Winkel cc und für Viel
fache von et 213
2) Goniometrische Formeln für zwei beliebige Winkel 216
3) Goniometrische Formeln für drei beliebige Winkel 217
4) Goniometrische Formeln für die Winkel eines ebenen Dreiecks 218
5) Goniometrische Formeln für drei Winkel, von den- n der eine gleich
der Summe der beiden andern ist 219
6) Goniometrische Formeln für die vier Winkel eines ebenen Vierecks 219
Abschnitt II Trigonometrie und Polygonometrie der Ebene
, Kapitebl Trigonometrie des ebenen Dreiecks
§ 23 Trigonometrische Formeln für das ebene schiei v inklige Dreieck 221
§ 24 Berechnung des schiefwinkligen ebenen Dreiecks 231
I Gegeben eine Seite und die Winkel 231
IIa Gegeben zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel 233
IIb (Casus ambiguus) Gegeben zwei Seiten und dej Gegenwinkel der
einen 241
III Gegeben die drei Seiten 248
§ 25 Berechnung weiterer Stücke im schiefwinkligen Dreieck 250
§ 26 Übungen zu § 25 258
§ 27 Weitere Aufgaben und Sätze über das ebene Dreieck 265
Anhang zum Kapitel 1 Zusammenstellung von Zahlenbeispielen
1) Dreiecke für die Fälle I, IIa und III 282
2) Dreiecke für den Fall IIb 284
Kapitel 2 Trigonometrie des ebenen Vierecks (Totragono metrie )
Erste Andeutungen Uber Polygonometrie
§ 28 Parallelogramm und Trapez^ 286
§ 29 Sehnenviereck (Kreisviereck) und Tangentenviereck 290
§ 30 Beliebiges Viereck 293
Kapitel 3 Geodätische Aufgaben
§ 31 Aufgaben der sog Lage-Kleinmessung CoordiniitenUmwandlung 302
§ 32 Aufgaben über Absteckungen 315
§ 33 Triangulirungsaufgaben 320
£11 Inhalts-V erzeichnis
Seite
§ 34 Fortsetzung Die Aufgaben von Snellius und von Hansen und
weitere Aufgaben der praktischen Trigonometrie 326
§ 35 Aufgaben über trigonometrische Höhenmessung 339
Kapitel 4 Rechnungen im rechtwinkligen Coordinatensystem Geodätische
Aufgaben unter Zugrundlegung der rechtwinkligen Coordinaten der Punkte
§ 36 Definitionen 344
§ 37 Die beiden trigonometrischen Grundaufgaben im rechtwinkligen
Coordinatensystem und einfache Anwendungen 348
§ 38 Die beiden Hauptaufgaben der Kleintriangulirung (praktischen
Trigonometrie): Bestimmung Eines Punkte durch Vorwärts-
und durch Rückwärtseinschneiden 358
§ 39 Weitere Aufgaben zur trigonometrischen Punktbestimmung
Coordinatentransformation 368
Kapitel 5 Ebene Polygonometrie
§ 40 Der polygonale Zug und seine Berechnung 376
§ 41 Das geschlossene Polygon Allgemeines 383
§ 42 Berechnung der drei Aufgaben über das geschlossene Polygon 386
I Gesucht zwei Seiten und ein Winkel 386
IL Gesucht eine Seite und zwei Winkel 389
III (Casus ambiguus ) Gesucht drei Winkel 391
§ 43 Flächeninhalt beliebiger Polygone 395
Anhang zu den Abschnitten I und II
Differentialformeln der Goniometrie und der ebenen Trigonometrie
I Einleitung 398
II Goniometrische Differentialformeln 399
III Differentialformeln des rechtwinkligen Dreieckt; 401
IV Differentialformeln des schiefwinkligen Dreieck 402
Abschnitt III Sphärische Trigonometrie
Kapitel I Die wichtigsten Formeln des sphärischen Dreiecks
§ 44 Dreikant und sphärisches Dreieck 406
§ 45 Rechtwinklige Coordinaten und Polarcoordinaten im Raum 409
§ 46 Allgemeine Entwicklung der Fundamentalforiueln des sphärischen
Dreiecks dnrch Coordinatentransformation 413
§ 47 Andere Herleitungen der Grundformeln des sphärischen Dreiecks 415
§ 48 Die Grundformeln und daraus abgeleitete Formeln Hilfswinkel
Das Polardreieck 417
§ 49 Die Gleichungen von Delambre und Neper 420
Inhalts-Verzeichnis XIII
Seite
§ 50 Weitere Formeln 423
§ 51 Der sphärische Excess des Dreiecks oder Dreikants Flächen
inhalt des sphärischen Dreiecks 425
§ 52 Das rechtwinklige und das rechtseitige sphärisc lie Dreieck 428
§ 53 Übergang vom sphärischen zum ebenen Dreieck 430
%
Kapitel 2 Berechnung der sphärischen Dreiecke (Dreikante)
§ 54 Berechnung des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks 433
I Gegeben die Hypotenuse und eine Kathete 434
II Gegeben die beiden Katheten 435
III Gegeben die Hypotenuse und ein Winkel 436
IV Gegeben eine Kathete und der anliegende Winkel 436
V (Casus ambiguus) Gegeben eine Kathete und ihr ( egenwinkel 437
Vi Gegeben die beiden Winkel 438
§ 55 Berechnung des schiefwinkligen sphärischen Dreiecks 441
L Gegeben die drei Seiten 44*2
II Gegeben die drei Winkel (Polarfail von I) 444
III« Gegeben zwei Seiten und der eingeschlossene Wii kel 446
IV « Gegeben zwei Winkel und die eingeschlossene Seite l Polarfall von IHM 448
III (Erster Casus ambiguus ) Gegeben zwei Seiten und der Gegenwinkel
der einen 450
IV*1 (Zweiter Casus ambiguus ) Gegeben zwei Winkel und die Gegenseite
des einen (Polarfall von III 45a
Anhang zu Kapitel 2 Zusammenstellung von ZaMlenbeispielen
1) Rechtwinklige Dreiecke für die Fälle I, II, III, IV, VI 457
2) Rechtwinklige Dreiecke zu dem Fall V 4ß8
3) Schiefwinklige Dreiecke für die Fälle I, II, III», IV 45»
4) Schiefwinklige Dreiecke für die Fälle III1 und IVt 460
Kapitel 3 Bestimmung weiterer Stücke im sphärischen Dreieck Weitere
Dreiecksaufgaben und Sätze der Sphärik Anwendung der sphärischen
Trigonometrie auf Stereometrie, mathematische Geographie und Geodäsie
§ 56 Bestimmung der wichtigsten weitern Stücke des sphärischen
Dreiecks 461
§ 57 Weitere Aufgaben und Sätze über das sphärisi he Dreieck und
sonstige Sätze der Sphärik 466
§ 58 Stereometrische Aufgaben und Sätze 472
§ 59 Aufgaben aus der mathematischen Geographie 475
§ 60 Geodätische Aufgaben Satz von Legendre 486
Anhang zu Kapitel 2 und 3
DifTerentialformeln des sphärischen Dreiecks 497
XIV Inhalts-Verzeichnis
Kapitel 4 Grundzllge der sphärischen Astronomie Seite
§ 61 £ ie Coordinatensysteme der Himmelskugel 500
§ 62 Sphärische Coordinaten eines Gestirns 503
§ 63 Beziehungen zwischen den verschiedenen sphärischen Coordinaten
eines Gestirns Dreieck Zenit-Pol-Stern und Beziehungen darin
Aufgaben 509
§ 64 Bemerkung über die Örter der Gestirne an der Sphäre Refraktion
und Parallaxe Deklination der Sonne 513
§ 65 Sternzeit und die zwei Sonnenzeiten: WZ,MZ; Zeitgleichung
Zeitverwandlung Aufgaben mit der Sonne Anhang: Sonnenuhren 519
§ 66 Einige Andeutungen über Bestimmung von Zeit, Meridian,
Breite, Länge 527
§ 67 Auf- und Untergang der Sterne Tagbogen 536
§ 68 Auf- und Untergang der Sonne Tagesdauer Dämmerungen 539
Anmerkungen
Nr 1) bis Nr 1») S 546 bis 572
Tafel der dreistelligen natürlichen Zahlenwerte der goniometrischen Funktionen
und Bogenlängen (zum Herausschneiden und Aufkleben)
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