Formelsammlung zur numerischen Mathematik mit MODULA-2-Programmen:
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| Language: | German |
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Mannheim [u.a.]
BI-Wiss.-Verl.
1988
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| Edition: | 1. Aufl. |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Enth. außerdem: MODULA-2-Programme / von Stefan Coors und Matthias Eichstädt |
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INHALTSVERZEICHNIS.
Seite
1. Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse 1
1.1 Definition von Fehlergrößen 1
1.2 Dezimaldarstellung von Zahlen 2
1.3 Rundungsvorschriften für Dezimal zahlen 3
1.4 Schreibweise für Näherungszahlen und Regeln zur Bestimmung
der Anzahl sicherer Stellen 4
1.5 Fehlerquellen 6
1.5.1 Der Verfahrensfehler 6
1.5.2 Der Eingangsfehler 6
1.5.3 Der Rechnungsfehler 9
2. Numerische Verfahren zur Lösung algebraischer und transzenden¬
ter Gleichungen 10
2.1 Iterationsverfahren 10
2.1.1 Konstruktionsmethode und Definition 10
2.1.2 Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösungen 12
2.1.3 Konvergenz eines Iterationsverfahrens. Fehlerabschät¬
zungen. Rechnungsfehler 13
2.1.4 Praktische Durchführung 15
2.1.4.1 Algorithmus 15
2.1.4.2 Bestimmung des Startwertes 16
2.1.4.3 Konvergenzuntersuchung 17
2.1.5 Konvergenzordnungeines Iterationsverfahrens 17
2.1.6 Spezielle Iterationsverfahren 19
2.1.6.1 Das Newtonsche Verfahren für einfache Null
stellen 19
2.1.6.2 Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Null
steilen 21
2.1.6.3 Regula falsi für einfache und mehrfache Null
steilen 22
2.1.6.4 Das Verfahren von Steffensen für einfache und
mehrfache Nullstellen 24
2.1.6.5 Das Pegasus Verfahren 25
2.1.6.6 Bisektion 26
2.1.6.7 Entscheidungshilfen 27
2.2 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 28
2.2.1 Das Horner Schema für algebraische Polynome 29
2.2.1.1 Das einfache Horner Schema für reelle Ar
gumentwerte 29
2.2.1.2 Das einfache Horner Schema für komplexe
Argumentwerte 30
X
Seite
2.2.1.3 Das vollständige Horner Schema für reelle
Argumentwerte 32
2.2.1.4 Anwendungen 34
2.2.2 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen
algebraischer Gleichungen 35
2.2.2.1 Vorbemerkungen und Oberblick 35
2.2.2.2 Das Verfahren von Mull er 36
2.2.2.3 Das Verfahren von Bauhuber 40
2.2.2.4 Das Verfahren von Jenkins und Traub 41
3. Verfahren zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme 42
3.1 Aufgabenstellung und Lösbarkeitsbedingungen. Prinzip
der direkten Methoden 42
3.2 Der Gauß ^Algorithmus 45
3.3 Matrizeninversion mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus 51
3.4 Das Verfahren von Cholesky 51
3.5 Das Gauß Jordan Verfahren 52
3.6 Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit dem
Austauschverfahren (Pivotisieren) 53
3.7 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 55
3.8 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonalen Matrizen 57
3.9 Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen und all¬
gemeinen Bandmatrizen 58
3.9.1 Systeme mit fünfdiagonalen Matrizen 58
3.9.2 Gleichungssysteme mit Bandmatrizen 60
3.10 Fehler, Kondition und Nachiteration 61
3.10.1 Fehler und Kondition 61
3.10.2 Nachiteration 64
3.11 Iterationsverfahren 65
3.11.1 Vorbemerkungen 65
3.11.2 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten 65
3.11.3 Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder
das Gauß Seidelsche Iterationsverfahren 71
3.11.4 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 72
3.11.5 Relaxation beim Einzelschrittverfahren 73
3.12 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens 74
3.13 Gleichungssysteme mit Blockmatrizen 76
4. Systeme nicht!inearer Gleichungen 81
4.1 Allgemeines Iterationsverfahren 81
XI
Seite
4.2 Spezielle Iterationsverfahren 84
4.2.1 Newtonsche Verfahren 84
4.2.1.1 Das quadratisch konvergente Newton Verfahren 84
4.2.1.2 Das gedämpfte Newton Verfahren 86
4.2.2 Regula falsi 87
4.2.3 Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradienten¬
verfahren) 88
4.2.4 Das Verfahren von Brown 90
5. Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 91
5.1 Definitionen und Aufgabenstellungen 91
5.2 Diagonal ähnliche Matrizen 92
5.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises 94
5.3.1 Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des
zugehörigen Eigenvektors 94
5.3.2 Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes 98
5.3.3 Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren 99
5.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh Quotienten
im Falle hermitescher Matrizen 100
5.5 Direkte Methoden 101
5.5.1 Das Verfahren von Krylov 101
5.5.1.1 Bestimmung der Eigenwerte 101
5.5.1.2 Bestimmung der Eigenvektoren 103
5.5.2 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter symme¬
trischer tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD
Algorithmus 103
5.5.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Ver¬
fahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch, Wil
kinson 105
6. Approximation stetiger Funktionen 107
6.1 Appfoximationsaufgabe und beste Approximation 107
6.2 Approximation im quadratischen Mittel 110
6.2.1 Kontinuierliche Fehlerquadratmethode von Gauß 110
6.2.2 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauß 113
6.3 Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff Polynome 117
6.3.1 Beste gleichmäßige Approximation. Definition 118
6.3.2 Approximation durch Tschebyscheff Polynome 119
6.3.2.1 Einführung der Tschebyscheff Polynome 119
6.3.2.2 Darstellung von Polynomen als Linearkombi¬
nation von Tschebyscheff Polynomen 120
XII
Seite
6.3.2.3 Beste gleichmäßige Approximation 122
6.3.2.4 Gleichmäßige Approximation 122
6.4 Approximation periodischer Funktionen 125
6.4.1 Approximation im quadratischen Mittel 125
6.4.2 Trigonometrische Interpolation 126
6.4.3 Komplexe diskrete Fourier Transformation 128
7. Interpolation und Splines 130
7.1 Aufgabenstellung zur Interpolation durch algebraische
Polynome 130
7.2 Interpolationsformeln von Lagrange 131
7.2.1 Formel für beliebige Stützstellen 131
7.2.2 Formel für äquidistante Stützstellen 132
7.3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Stlitz
stellen 132
7.4 Inverse Interpolation nach Aitken 135
7.5 Interpolationsformeln von Newton 135
7.5.1 Formel für beliebige Stützstellen 135
7.5.2 Formel für äquidistante Stützstellen 137
7.6 Interpolationsformeln für äquidistante Stützstellen mit
Hilfe des Frazerdiagrarams 138
7.7 Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung
des Interpolationsfehlers 143
7.8 Interpolierende Polynom Splines dritten Grades 145
7.8.1 Problemstellung 145
7.8.2 Definition der Splinefunktionen 146
7.8.3 Berechnung der kubiscnen Splinefunktionen 148
7.9 Hermite Splines fünften Grades 154
7.10 Polynomiale Ausgleichssplines dritten Grades 162
7.11 Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen 164
7.11.1 Interpolationsformel von Lagrange 164
7.11.2 Zweidimensionale Polynom Splines dritten Grades 166
7.12 Bezier Splines 176
7.13 Rationale Interpolation 176
7.14 Entscheidungshilfen bei der Auswahl des zweckmäßigsten
Verfahrens zur angenäherten Darstellung einer stetigen
Funktion 177
8. Numerische Differentiation 180
8.1 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoras 180
XIII
Seite
8.1.1 Berechnung der ersten Ableitung an einer beliebigen
Stelle 180
8.1.2 Tabelle zur Berechnung der ersten und zweiten Ab¬
leitungen an Stützstellen 181
8.2 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer
Polynom Splines 183
8.3 Differentiation nach dem Romberg Verfahren 184
9. Numerische Quadratur 186
9.1 Vorbemerkungen und Motivation 186
9.2 Interpolationsquadraturformeln 186
9.2.1 Konstruktionsmethoden 186
9.2.2 Newton Cotes Formeln 188
9.2.2.1 Die Sehnentrapezformel 189
9.2.2.2 Die Simpsonsche Formel 190
9.2.2.3 Die 3/8 Formel 191
9.2.2.4 Weitere Newton Cotes Formeln 192
9.2.3 Quadraturformeln von Maclaurin 194
9.2.3.1 Die Tangententrapezformel 194
9.2.3.2 Weitere Maclaurin Formeln 195
9.2.4 Die Euler Maclaurin Formeln 197
9.2.5 Fehlerschätzungsformeln und Rechnungsfehler 198
9.3 Tschebyscheffsche Quadraturformeln 200
9.4 Quadraturformeln von Gauß 202
9.5 Das Verfahren von Romberg 205
9.6 Adaptive Quadraturverfahren 207
9.7 Konvergenz der Quadraturformeln 207
10. Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen
Differentialgleichungen erster Ordnung 208
10.1 Prinzip und Einteilung der numerischen Verfahren 208
10.2 Einschrittverfahren 209
10.2.1 Das Polygonzugverfahren von Euler Cauchy 209
10.2.2 Das Verfahren von Heun (Praediktor Korrektor
Verfahren) 210
10.2.3 Runge Kutta Verfahren 212
10.2.3.1 Allgemeiner Ansatz 212
10.2.3.2 Das klassische Runge Kutta Verfahren 213
10.2.3.3 Zusammenstellung expliziter Runge Kutta
Verfahren 215
XIV
Seite
10.2.4 Anfangswertproblemlöser 218
10.2.5 Implizite Runge Kutta Verfahren 218
10.3 Hehrschrittverfahren 220
10.3.1 Prinzip der Hehrschrittverfahren 220
10.3.2 Das explizite Verfahren von Adams Bashforth 222
10.3.3 Das Praediktor Korrektor Verfahren von Adams
Houlton 224
10.3.4 Weitere Praediktor Korrektor Formeln 227
10.3.5 Das Mehrschrittverfahren von Gear 228
10.4 Fehlerschätzungsformeln und Rechnungsfehler 230
10.4.1 Fehlerschätzungsformeln 230
10.4.2 Rechnungsfehler 232
10.5 Extrapolationsverfahren 233
10.6 Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens 235
11. Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei Systemen
von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung und
bei Differentialgleichungen höherer Ordnung 236
11.1 Runge Kutta Verfahren 237
11.1.1 Allgemeiner Ansatz 237
11.1.2 Das klassische Runge Kutta Verfahren 237
11.1.3 Runge Kutta Verfahren für Anfangswertprobleme bei
gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ord¬
nung 241
11.1.4 Schrittweitensteuerung 242
11.1.5 Runge Kutta Fehlberg Verfahren 243
11.1.5.1 Beschreibung des Verfahrens 243
11.1.5.2 Fehlerschätzung und Schrittweiten¬
steuerung 245
11.2 Mehrschrittverfahren 248
11.3 Ein Hehrschrittverfahren für steife Systeme 251
12. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 253
12.1 Zurückführung des Randwertproblems auf ein Anfangswert¬
problem 253
12.1.1 Randwertprobleme für nichtlineare Differential¬
gleichungen zweiter Ordnung 253
12.1.2 Randwertprobleme für Systeme von Differential¬
gleichungen erster Ordnung 255
12.1.3 Mehrzielverfahren 257
XV
Seite
12.2 Differenzenverfahren 260
12.2.1 Das gewöhnliche Differenzenverfahren 260
12.2.2 Differenzenverfahren höherer Näherung 266
12.2.3 Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme
zu speziellen Randwertproblemen 268
12.2.4 Lineare Eigenwertprobleme 269
Anhang: MODULA 2 Programme 271
Verzeichnis der Programme 272
L Literaturverzeichnis 495
L.1 Lehrbücher und Monographien 495
L.2 Originalarbeiten 497
L.3 Aufgaben und Formelsammlungen, Tabellenwerke,
Programmbibliotheken 498
L.4 Ergänzungen zu L.1 499
L.5 Ergänzungen zu L.2 500
Sachregister 503
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| author | Engeln-Müllges, Gisela 1940- Reutter, Fritz 1911-1990 Coors, Stefan Eichstädt, Matthias |
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