Einführung in die mathematische Logik: klassische Prädikatenlogik
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Stuttgart
Teubner
1991
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| Edition: | 5. Aufl., unveränd. Nachdr. der 4. Aufl. |
| Series: | Mathematische Leitfäden
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 206 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3519222019 |
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INHALT
I EINFUEHRUNG
§ 1 DIE AUFGABE DER LOGIK.
9
§ 2 BEISPIELE FUER MATHEMATISCHE BEWEISE.
12
2.1 GEOMETRISCHES BEISPIEL, S. 12. - 2.2 ARITHMETISCHES BEISPIEL, S. 13.
-
2.3 GRUPPENTHEORETISCHES BEISPIEL, S. 14.
§ 3 DER FOLGERUNGSBEGRIFF.
3.1 PROBLEMSTELLUNG, S. 15. - 3.2 GRUPPEN, S. 15. - 3.3
GRUPPENTHEORETISCHE
AUSSAGEN, S. 16. - 3.4 FOLGERUNGEN AUS DEN GRUPPENAXIOMEN, S. 17. -
3.5 EIN ANDERES AXIOMENSYSTEM DER GRUPPENTHEORIE, S. 19. - 3.6 FOLGERUN
GEN AUS DEN AXIOMEN DER RING-, KOERPER- UND VERBANDSTHEORIE, S. 20. -
3.7 FOLGERUNGEN AUS DEM PEAMOSCHEN AXIOMENSYSTEM, S. 20. - 3.8 FOLGERUN
GEN AUS DEM AXIOMENSYSTEM DER GEOMETRIE, S. 21. - 3.6 ALLGEMEINE DEFINI
TION DES FOLGERUNGSBEGRIFFS, S. 21.
§ 4
BEMERKUNGEN ZUM FOLGERUNGSBEGRIFF.23
4.1 UNABHAENGIGKEITSBEWEISE, S. 23. - 4.2 DIE MATHEMATISCHEN AUSSAGEN ALS
AUSSAGEFORMEN, S. 24. - 4.3 KATEGORIZITAET, S. 26. - 4.4 DIE
ANWENDBARKEIT
DER MATHEMATIK, S. 27. - 4.5 SEMANTIK, S. 27.
§ 5 LOGIKKALKUELE .28
5.1 DER MATHEMATISCHE BEWEIS, S. 28. - 5.2 UNBESTIMMTHEIT DES BEGRIFFS
DER
UNMITTELBAREN FOLGERUNG, S. 29. - 5.3 SEHLUSSREGELN, S. 30. - 5.4
VOLLSTAENDIGE
MENGEN VON REGELN, S. 31. - 5.5 ANNAHMENKALKUELE, S. 34. - 5.6
MASCHINELLES
BEWEISEN, S. 36.
§ 6
SYMBOLISIERUNG MATHEMATISCHER AUSSAGEN: JUNKTOREN UND QUANTOREN . 36
6.1 PROBLEMSTELLUNG, S. 36. - 6.2 JUNKTOREN, S. 37. - 6.3 SYMBOLE,
KLAMMER
ERSPARUNGSREGELN, S. 39. - 6.4 BEISPIEL FUER EINEN NICHT-EXTENSIONELEN
JUNKTOR,
S. 40. - 6.5 DIE PRAEDIKATENLOGISCHEN QUANTOREN, S. 41.
§ 7 SYMBOLISIERUNG MATHEMATISCHER AUSSAGEN: SUBJEKTE, PRAEDIKATE UND
FUNKTOREN 44
7.1 UEBERSICHT, S. 44. - 7.2 SUBJEKTE, PRAEDIKATE, FUNKTOREN, S. 45. - 7.3
BEI
SPIELE ARISTOTELISCHER AUSSAGEN, S. 45. - 7.4 BEISPIELE MATHEMATISCHER
AUS
SAGEN, S. 47. - 7.5 DEFINIERBARKEIT DES PARTIKULARISATORS DURCH DEN
GENERALI-
SATOR, S. 47.
II DIE SPRACHE DER PRAEDIKATENLOGIK
§ 1 TERME UND AUSDRUECKE.50
1.1 UEBERSICHT, S. 50. - 1.2 SYMBOLE UND ZEICHENREIHEN, S. 50. - 1.3
TERME,
S. 52. - 1.4 ATOMARE AUSDRUECKE, S. 53. - 1.5 AUSDRUECKE, S. 53. -
1.6 ENDLICHES ALPHABET, S. 55.
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN
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6
INHALT
§ 2
ELEMENTARE ENTSCHEIDBARKEITSFRAGEN.55
2.1 PROBLEMSTELLUNG, S. 55. - 2.2 INVERSIONEN, S. 56. - 2.3 EINTEILUNG
VON
TENNEN UND AUSDRUECKEN, S. 56. - 2.4 ENTSCHEIDBARKEIT DER TERMEIGEN
SCHAFT, S. 56. - 2.5 ENTSCHEIDBARKEIT DER AUSDRUCKSEIGENSCHAFT, S. 57. -
2.6 EINDEUTIGE ZERLEGUNG VON TERMFOLGEN, S. 57. - 2.7 EINDEUTIGE
ZERLEGUNG
VON AUSDRUCKSFOLGEN, S. 58. - 2.8 ZERLEGUNG VON TERMEN UND AUSDRUECKEN,
S. 59.
§ 3 BEWEISE UND DEFINITIONEN DURCH INDUKTION UEBER DEN AUFBAU DER
AUSDRUECKE 60
3.1 ANALOGIE ZUR ARITHMETIK, S. 60. - 3.2 INDUKTIVE DEFINITIONEN, S. 61.
§ 4 FREIE UND GEBUNDENE VARIABLEN.62
4.1 EINFUEHRUNG, S. 62. - 4.2 DIE KALKUELREGELN, S. 62. - 4.3
ENTSCHEIDBAR-
KEIT, S. 63. - 4.4 FREIES VORKOMMEN VON FUNKTOREN- UND PRAEDIKATEN-
VARIABLEN, S. 63.
§ 5 SUBSTITUTION.64
5.1 EINFUEHRUNG, S. 64. - 5.2 DER OPERATOR
ALX, S. 65. - 5.3 SUBSTITUTIONS
KALKUEL, S. 65. - 5.4 SAETZE UEBER DIE SUBSTITUTION, S. 67. - 5.5 BEWEIS
DER
VORSTEHENDEN SAETZE, S. 67. - 5.6 WEITERE SAETZE UEBER DIE SUBSTITUTION, S.
71.
III SEMANTIK DER PRAEDIKATENLOGIK
§ 1 EINFUEHRUNG IN DIE SEMANTIK DER SPRACHE DER PRAEDIKATENLOGIK.71
1.1 AUSDRUECKE ALS AUSSAGEFORMEN, S. 71. - 1.2 INTERPRETATIONEN, S. 72. -
1.3 DIE MODELLBEZIEHUNG, S. 74. - 1.4 MODELLBEZIEHUNG BEI DER GENERALI
SIERUNG, S. 75.
$2 DEFINITION DER WICHTIGSTEN SEMANTISCHEN BEGRIFFE.76
2.1 GRUNDLAGEN DER SEMANTIK, S. 76. - 2.2 DEFINITION DES BEGRIFFE DER
INTER
PRETATION, S. 77. - 2.3 DEFINITION DER MODELLBEZIEHUNG, S. 78. - 2.4
DEFI
NITION DER FOLGERUNGSBEZIEHUNG UND DER ALLGEMEINGUELTIGKEIT, S. 78. - 2.5
DEFINITION DER ERFUELLBARKEIT, S. 79.
§ 3 SAETZE UEBER DIE MODELLBEZIEHUNG.81
3.1 DAS KOINZIDENZTHEOREM, S. 81. - 3.2 DAS UEBERFUEHRUNGSTHEOREM, S. 82.
IV EIN PRAEDIKATENKALKUEL
§ 1 VORBEMERKUNGEN ZU DEN REGELN DES PRAEDIKATENKALKUELS. DER
ABLEITBARKEITG-
BEGRIFF. 83
1.1 DIE BEZIEHUNG
X1.AYY|- A BZW. |- AX . . . AYYA, S. 83. - 1.2 DIE BE
ZIEHUNG 2J11-A, S. 84.
§ 2 DIE REGELN DES PRAEDIKATENKALKUELS.86
2.1 EINLEITUNG, S. 86. - 2.2 FORMULIERUNG DER REGELN, S. 86. - 2.3
SCHEMA
TISCHE DARSTELLUNG DER REGELN, S. 88. - 2.4 ABLEITUNGEN, S. 89. - 2.5
BEI
SPIELE FUER ABLEITUNGEN, S. 89. - 2.6 DREI ALLGEMEINE BEMERKUNGEN, S. 91.
-
2.7 ENTSCHEIDBARKEIT DER ABLEITUNGSEIGENSCHAFT, S. 91.
§ 3 DIE KORREKTHEIT DES PRAEDIKATENKALKUELS.93
3.1 SATZ VON DER KORREKTHEIT DES PRAEDIKATENKALKUELS, S. 93. - 3.2 DIE
KOR
REKTHEIT DER REGELN DER PRAEDIKATENLOGIK, S. 93.
§ 4 ABLEITBARE REGELN.95
4.1 EINFUEHRUNG, S. 95. - 4.2 ABGELEITETE REGELN, ZU DEREN BEGRUENDUNG DIO
REGELN (A), (E), (W) AUSREICHEN, S. 97. - 4.3 ABGELEITETE REGELN, ZU
DEREN
BEGRUENDUNG AUCH DIE REGELN (K0), (KT), (KS) VERWENDET WERDEN, S. 98. -
4.4
ABGELEITETE REGELN, ZU DEREN BEGRUENDUNG DIE REGELN (A), (G), (GRX), (S')
BE
NOETIGT WERDEN, S. 100. - 4.5 ABGELEITETE REGELN, ZU DEREN BEGRUENDUNG DIE
REGELN (I), (I1) VERWENDET WERDEN, S. 102.
INHALT
7
§ 5
EINIGE EIGENSCHAFTEN DES ABLEITBARKEITSBEGRIIFS. WIDERSPRUCHSFREIHEIT .
. . .104
5.1 UEBERSICHT, S. 104. - 5.2 EINIGE EIGENSCHAFTEN DES
ABLEITBARKEITSBEGRIFLS,
S. 104. - 5.3 WIDERSPRUCHSFREIE UND WIDERSPRUCHSVOLLE AUSDRUCKSMENGEN,
S. 106.
§ 6 DIE ENTSCHEIDBARKEIT DER AUSSAGENLOGISCHEN ABLEITBARKEIT.108
6.1 AUSSAGENLOGISCHE ABLEITBARKEIT, S. 108. - 6.2 TAUTOLOGIEN, S. 108. -
6.3 BELEGUNGEN, S. 109. - 6.4 ENTSCHEIDBARKEIT DER
TAUTOLOGIEEIGENSCHAFT,
S. 110. - 6.5 BEWEIS VON HILFSSATZ 1, ERSTER TEIL, S. 110. - 6.6 BEWEIS
VON HILFSSATZ 1, ZWEITER TEIL, S. 111.- 6.7 BEWEIS VON HILFSSATZ 3, S.
112.
V DER GOEDELSCHE VOLLSTAENDIGKEITSSATZ
§ 1 VERALLGEMEINERTE SUBSTITUTION.114
1.1 EINLEITUNG, S. 114. - 1.2 DIE OPERATOREN OT' UND A, S. 116. - 1.3
FOLGE
RUNGEN, S. 119.
§ 2 AUSDRUCKSISOMORPHISMEN.121
2.1 DEFINITION DER ISOMORPHISMEN, S. 121. - 2.2 LOKALE UMKEHRBARKEIT,
S. 122. - 2.3 SAETZE UEBER ISOMORPHISMEN, S. 122. - 2.4 BEWEIS DER
ANGEGEBE
NEN SAETZE, S. 123.
§ 3 UEBERSICHT UBER DEN BEWEIS FUR DEN VOLLSTAENDIGKEITSSATZ.126
3.1 UEBERSICHT, S. 126. - 3.2 DEFINITION DES AUSDRUCKSISOMORPHISMUS
PA, S. 127.
§ 4 DER PROZESS DER MAXIMALISIERUNG .128
4.1 UEBERSICHT, S. 128. - 4.2 DEFINITION DER MENGEN 9JFY UND 3R*, S. 128.
-
4.3 DIE MAXIMALE WIDERSPRUCHSFREIHEIT VON 9J1*, S. 129. - 4.4
FOLGERUNGEN
AUS DER MAXIMALEN WIDERSPRUCHSFREIHEIT VON 9)1*, S. 130. - 4.5 EINE
WEITERE
EIGENSCHAFT VON 9R*, S.I31.
§ 5 ABSCHLUSS DES VOLLSTAENDIGKEITSBEWEISES.131
5.1 UEBERSICHT, S. 131. - 5.2 DER INDIVIDUENBEREICH EU, S. 132. - 5.3 DIE
INTER
PRETATION 3 UEBER CU, S. 132. - 5.4 ERFUELLBARKEIT VON SDL*, S. 133.
§ 6 FOLGERUNGEN AUS DEM VOLLSTAENDIGKEITSSATZ.134
6.1 DIE ENDLICHKEITSSAETZE, S. 134. - 6.2 BEISPIEL. NICHTARCHIMEDISCH
GEORDNETE
KOERPER, S. 135. - 6.3 DER SATZ VON SKOLEM, S. 137.
VI DAS PEANOSCHE AXIOMENSYSTEM
§ 1 SPRACHE UND SEMANTIK DER LOGIK DER ZWEITEN STUFE.140
1.1 AUSDRUECKE VON
2, S. 140. - 1.2 MODELL- UND FOLGERUNGSBEZIEHUNG,
S. 140. YY- 1.3 DIE IDENTITAET, S. 141. -
YY
1.4 SCHLUSSREGELN, S. 141.
|
2 ISOMORPHE INTERPRETATIONEN. KATEGORIZITAET VON AXIOMENSYSTEMEN.142
2.1 ALGEBREN, S. 142. - 2.2 ISOMORPHIE VON ALGEBREN, S. 143. - 2.3
MODELL
BEZIEHUNG BEI ISOMORPHEN ALGEBREN (3), (3'), S. 144. - 2.4 KATE
GORISCHE AXIOMENSYSTEME, S. 146.
§ 3 DIE CHARAKTERISIERBARKEIT DER NATUERLICHEN ZAHLEN IN DER SPRACHE DER
LOGIK DER
ZWEITEN STUFE .147
3.1 UEBERSICHT, S. 147. - 3.2 VOLLSTAENDIGE INDUKTION, S. 148. - 3.3
NACHWEIS
VON (***), S. 148. - 3.4 PEANO-RELATIONEN, S. 149. - 3.5 BEWEIS DES
LEMMAS
AUS 3.1, S. 150.
§ 4 DIE NICHTCHARAKTERISIERBARKEIT DER NATUERUCHEN ZAHLEN IN DER SPRACHE
DER
PRAEDIKATENLOGIK .152
4.1 ARITHMETIK INNERHALB DER LOGIK DER ZWEITEN STUFE, S. 152. - 4.2
ARITH
METIK INNERHALB DER PRAEDIKATENLOGIK, S. 152. - 4.3 DAS HAUPTERGEBNIS,
S. 154. - 4.4 BEWEIS DES SKOLEMSCHEN SATZES, S. 154. - 4.5
UNVOLLSTAENDIGKEIT
DER LOGIK DER ZWEITEN STUFE, S. 155. - 4.6 VERMEHRUNG DER ARITHMETISCHEN
GRUNDBEGRIFFE, S. 156.
8
INHALT
VII ERWEITERUNGEN DER SPRACHE, NORMALFORMEN
§ 1 ERWEITERUNGEN DER SPRACHE DER PRAEDIKATENLOGIK.
157
1.1 PROBLEMSTELLUNG, S. 157. - 1.2 DIE SPRACHE DER ERWEITERTEN
PRAEDIKATEN
LOGIK, S. 157. - 1.3 SEMANTIK DER ERWEITERTEN PRAEDIKATENLOGIK, S. 158. -
1.4 EIN ERWEITERTER PRAEDIKATENKALKUEL, S. 160. - 1.5 DIE VOLLSTAENDIGKEIT
DES
ERWEITERTEN PRAEDIKATENKALKUELS, S. 162.
§
2 ABGELEITETE REGELN UND ABLEITBARKEITSBEZIEHUNGEN MIT DEN
VERKNUEPFUNGENV, -
YY
, V 162
2.1 ABGELEITETE REGELN FUER V, -*
YY
, S. 162. - 2.2 ABLEITBARKEITSBEZIEHUNGEN,
S. 163. - 2.3 ABGELEITETE REGELN FUER V, S. 165.
§ 3 WEITERE ABLEITBARKEITSBEZIEHUNGEN IN VERBINDUNG MIT DER
GENERALISIERUNG UND
PARTIKULARISIERUNG .F66
3.1 ZUSAMMENFASSUNG, S. 166. - 3.2 NACHWEIS DER
ABLEITBARKEITSBEZIEHUNGEN
(1) BIS (13), S. 167.
§ 4 KONJUNKTIVE UND ALTERNATIVE NORMALFORM .172
4.1 PROBLEMSTELLUNG, S. 172. - 4.2 ITERIERTE KONJUNKTIONEN UND
ALTERNATIONEN,
S. 172. - 4.3 HERSTELLUNG KONJUNKTIVER NORMALFORMEN, S. 173.
§ 5 PRAENEXE NORMALFORMEN.
174
5.1 PRAEFIXE, S. 174. - 5.2 PRAENEXE NORMALFORMEN, S. 175. - 5.3 BEWEIS,
S. 175. - 5.4 BEWEIS VON HILFSSATZ 1, S. 176. - 5.5 BEWEIS VON HILFSSATZ
2,
S. 178.
VIII DIE SAETZE VON A. ROBINSON, CRAIG UND BETH
§ 1 EINBETTUNGEN VON ALGEBREN. SUBALGEBREN. KETTEN VON ALGEBREN.179
1.1 BEZEICHNUNGEN, S. 179. - 1.2 EINBETTUNGEN, S. 179. - 1.3
SUBALGEBREN,
S. 180. - 1.4 VEREINIGUNG EINER KETTE VON ALGEBREN, S. 180.
§ 2 THEORIEN .
2.1 THEORIEN. THEORIE EINER ALGEBRA, S. 181. - 2.2 VERSCHIEDENE ALGEBREN
MIT
DERSELBEN THEORIE, S. 181. - 2.3 EINIGE LEMMATA, S. 182.
§ 3 ELEMENTARE EINBETTUNGEN VON ALGEBREN. ELEMENTARE SUBALGEBREN.
ELEMENTARE
KETTEN VON ALGEBREN .183
3.1 ELEMENTARE EINBETTUNGEN, S. 183. - 3.2 ELEMENTARE SUBALGEBREN, S.
184.
3.3 VEREINIGUNG EINER ELEMENTAREN KETTE VON ALGEBREN, S. 184.
§ 4 DREI LEMMATA UEBER ELEMENTARE EINBETTUNGEN.186
4.1 LEMMA
1, S. 186. - 4.2 LEMMA 2, S. 187. - 4.3 LEMMA 3, S. 188.
§ 5 DIE SAETZE VON A. ROBINSON UND CRAIG.189
5.1 DER ERFUELLBARKEITSSATZ VON A. ROBINSON, S. 189. - 5.2 DER INTER
POLATIONSSATZ VON CRAIG, S. 190.
§
6 DIE DEFINIERBARKEITSSAETZE VON BETH .192
6.1 DER BEGRIFF DER DEFINIERBARKEIT, S. 192. - 6.2 DER
DEFINIERBARKEITSSATZ
VON BETH FUER EINE PRAEDIKATENVARIABLE, S. 193. - 6.3 DER
DEFINIERBARKEITSSATZ
VON BETH FUER EINE FUNKTORENVARIABLE, S. 195.
WEITERFUEHRENDE LITERATUR.
196
VERZEICHNIS DER KURZBEZEICHNUNGEN FUER DEFINIERENDE UND ABGELEITETE
REGELN . 198
BEZEICHNUNGEN UND SYMBOLE .199
NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS .200 |
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