Sur les méthodes numériques en sciences physiques et économiques:
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|---|---|
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Introduction V
MÉTHODES ITÉRATIVES ET FONCTIONNELLES QUADRATIQUES
G. I. MARCHOUK, Yu. A. KUZNETSOV
Principales notations 3
Introduction 5
Chapitre 1. Eléments de la théorie des matrices et des espaces linéaires de
i dimension finie 6
§ 1 Propriétés spectrales des matrices 6
1. Matrices auto adjointes 6
2. Valeurs propres et vecteurs propres des matrices AB et BA 8
§ 2 Matrices définies positives et normes dans les espaces à dimensions finie s 9
1. Matrices définies positives et matrices semi définies positives 9
2. Normes dans les espaces de dimensions finies 10
§ 3 Systèmes d équations linéaires 11
§ 4 Bibliographie et commentaires 14
Chapitre 2. Eléments de la théorie générale des méthodes itératives 16
§ 1 Notions principales. Convergence et convergence en quotient des méthodes
itératives 16
§ 2 Vitesse moyenne et asymptotique de convergence 17
§ 3 Méthodes itératives stationnaires 21
§ 4 Conditions suffisantes de convergence et de convergence en quotient des métho¬
des itératives 27
§ 5 Sur l étude de la convergence des méthodes itératives 30
§ 6 Bibliographie et commentaires 32
Chapitre 3. Principales méthodes itératives stationnaires 35
§ 1 Méthode de relaxation 35
§ 2 Méthode de décomposition régulière des matrices 40
VIII TABLE DES MATIÈRES
§ 3 Méthode des pas fractionnaires 43
1. Cas commutatif 45
2. Cas des matrices symétriques 51
3. Schéma symétrique des pas fractionnaires 56
4. Cas des matrices définies positives 57
§ 4 Méthodes itératives utilisant les polynômes de Tchebycheff 60
§ 5 Bibliographie et commentaires 67
Chapitre 4. Méthodes itératives à plusieurs pas, utilisant la minimisation de
fonctionnelles quadratiques 77
§ 1 Généralités et conditions de convergence 77
§ 2 Méthodes à plusieurs pas symétrisables 85
§ 3 Sur une classe de méthodes symétrisables 92
§ 4 Quelques exemples de méthodes à plusieurs pas symétrisables 96
§ 5 Bibliographie et commentaires 101
Chapitre 5. Schémas de réalisation des méthodes à plusieurs pas 106
§ 1 Algorithmes généraux et orthogonalisation 106
§ 2 Méthode des itérations minimales 108
§ 3 Méthode du gradient conjugué 110
§ 4 Bibliographie et commentaires 114
Bibliographie 117
SUR LES MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION
DE DÉCENTRALISATION ET DE COORDINATION ET APPLICATIONS
A. BENSOUSSAN, J. L. LIONS, R. TEMAM
Introduction 135
Chapitre 1. Présentation générale des problèmes 137
§ 1 Problèmes de nature économique 137
1. Problèmes à centre de décision unique 137
1.1. Notations 137
1.2. Utilité globale 137
2. Problèmes à centres de décision multiples 138
Orientation 138
2.1. Notations 139
TABLE DES MATIÈRES IX
2.2. Notion d équipe 139
2.3. Equilibre non coopératif. Point de Nash 139
2.4. Point de Pareto 140
2.5. Notion de coalition bloquante. Cœur 143
2.6. Programmation par objectifs 144
2.7. Critères hiérarchisés 144
3. Décentralisation et décomposition 145
Orientation 145
3.1. Décomposition 146
3.2. Décentralisation 147
4. Problèmes posés par l économie d échanges 150
4.1. Equilibre d échanges 150
4.2. Cœur de l Economie d Echanges 153
4.3. Effets externes 154
§2 Problèmes de nature physique 157
1. Les divers types de problèmes d optimisation 157
1.1. Problèmes à un critère 157
1.2. Problèmes à plusieurs critères 157
1.3. Problèmes à critères hiérarchisés 158
2. Problèmes d optimisation en mécanique 159
2.1. Hydrodynamique de milieux semi perméables 159
2.2. Un problème d élasto plasticité 161
2.3. Remarques sur les problèmes d évolution 162
3. Problèmes de contrôle à un seul critère 163
3.1. Exemple sur un problème statique 163
3.2. Problèmes d évolution 164
3.3. Problèmes décomposés 166
4. Problèmes de contrôle à plusieurs critères 167
4.1. Un exemple 167
4.2. Systèmes décomposés 169
§ 3 Généralités sur les méthodes de décomposition et de coordination 169
1. Décomposition des critères. Problèmes à un niveau 169
1.1. Problèmes à un critère 169
1.2. Problèmes à plusieurs critères 171
2. Problèmes à deux niveaux à système central décomposé 172
2.1. Problème à un critère 172
2.2. Problèmes à plusieurs critères 173
3. Coordonnabilité 173
3.1. Problème de contrôle à un critère 173
3.2. Décomposition des équations d état 174
X TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 2. Décomposition 176
Orientation 176
§ 1 Optimisation. Problèmes à un critère 176
1. Description de l algorithme de décomposition 177
1.1. Approximation d un algorithme stationnaire par un système
évolutif 177
1.2. La formule de Trotter 178
1.3. Méthode des pas fractionnaires 179
1.3.1. Problèmes d évolution 179
1.3.2. Problèmes stationnaires 180
1.4. Décomposition en calcul des variations 182
1.5. Introduction des contraintes 184
2. Convergence des algorithmes de décomposition 184
2.1. Problème en dimension infinie 185
2.1.1. Problème exact 185
2.1.2. L éclatement 185
2.2. Schéma de décomposition. Enoncé du théorème de convergence.. 186
2.3. Démonstration du théorème de convergence 188
2.3.1. Estimations a priori 188
2.3.2. Passage à la limite 189
2.4. Fonctionnelle non strictement convexe 190
3. L algorithme de calcul parallèle et son interprétation économique 192
3.1. Calcul parallèle 192
3.1.1. Description de l algorithme 192
3.1.2. Interprétation économique 193
3.2. Convergence 195
4. Méthodes de décomposition tenant compte des ordres de grandeur des
sous critères 197
4.1. Motivation. Position du problème 197
4.2. Méthode itérative de décomposition 197
§ 2 Points selles 202
1. Rappel de théorèmes d existence de points selles 202
1.1. Définition 202
1.2. Résultats principaux (rappels) 206
2. Approximation d un point selle par le calcul parallèle 209
2.1. Le problème exact et l éclatement 209
2.2. Résultats de convergence 211
TABLE DES MATIÈRES XI
§ 3 Points d équilibre 215
1. Position des problèmes 215
2. Les deux types de décomposition 215
2.1. Décomposition des fonctionnelles 215
2.2. Décomposition en problèmes à un critère 217
3. Algorithmes de décomposition en problèmes à un critère 217
3.1. Notations et hypothèses 217
3.2. Décomposition 218
3.3. Théorème de convergence 219
Chapitre 3. Méthode de coordination ou de décentralisation par les prix 222
1. Présentation du problème 222
1.1. Hypothèses. Notations 222
1.2. Enoncé du problème 223
2. Exemples économiques 223
2.1. Optimisation à un seul critère 223
2.2. Equilibre coopératif 225
2.3. Equilibre non coopératif 225
2.4. Extension du problème 226
3. Algorithme de coordination 228
3.1. Description de l algorithme 228
3.2. Convergence de l algorithme 230
3.3. Interprétation de l algorithme 232
3.4. Sur l existence de solutions 233
4. Exemples d application en contrôle et en analyse numérique 235
4.1. Théorie du contrôle. Coordination de l observation et du contrôle. 235
4.2. Coordination de systèmes linéaires couplés 237
4.3. Coordonnabilité et éléments finis 242
4.4. Coordonnabilité et éclatement des opérateurs 249
Conclusion 254
Bibliographie 255
APPENDICE
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE D ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
PARTIELLES PAR DÉCOMPOSITION ET COORDINATION
P. LEMONNIER
Introduction 261
I. Méthodes classiques de résolution 262
1.1. Exposé du problème exact 262
1.2. Discrétisation 262
i
XII TABLE DES MATIÈRES
1.3. Méthode de Cholesky 263
1.4. Méthode de sur relaxations successives 263
1.5. Méthode de sur relaxations par blocs 264
1.6. Méthode du gradient conjugué 265
1.7. Méthode des directions alternées 266
1.8. Exemples numériques 266
II. Coordonnabilité et décomposition de l opérateur 267
2.1. Décomposition et coordination 267
2.2. Décomposition du problème de Dirichlet 268
2.3. Décomposition du problème de Neumann 270
2.4. Algorithme de recherche du point selle 274
2.5. Méthodes de descente 275
2.6. Résolution du problème discrétisé 278
III. Résultats numériques 281
IV. Coordonnabilité et éléments finis 290
4.1. Décomposition du domaine 290
4.2. Algorithme de recherche du point selle 292
V. Résultats numériques 295
5.1. Exemple 1 295
5.2. Exemple 2 295
5.3. Exemple 3 296
5.4. Remarques sur la décomposition du domaine G 297
5.5. Remarques sur la convergence de l algorithme 297
5.6. Conclusion 297
Bibliographie 299
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