Praktische Mathematik: Hilfsmittel und Verfahren
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Leipzig
Fachbuchverl.
1974
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| Series: | Mathematik für Ingenieure
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1. Zatalenreebnen, 1 ehler, Genauigkeit 13
1.1. Grundbegriffe 13
1.2. Fehlerfortpflanzung bei den Grundreohenoperationen 18
1.2.1. Fehlerfortpflanzung bei Operationen 1. Stufe 18
1.2.2. Fehlerfortpflanzung bei Operationen 2. Stufe 20
1.2.3. Fehlerfortpflanzung bei Operationen 3. Stufe 22
1.3. Fehlerfortpflanzung bei beliebigen Funktionen 24
2. Rechenanordnungen und Becbenschemata 26
2.1. Uberblick 26
2.1.1. Vorbemerkungen 26
2.1.2. Verschiedene Arten von Reehenanordnungen 26
2.1.3. Planung und Sehematisierung von Rechnungen 27
2.1.4. Zergliederung von Formeln 31
2.2. HOBNER Schema 33
2.2.1. Partialdivision 33
2.2.1.1. Partialdivision mit linearem Bivisor 33
2.2.1.2. Partialdivision mit einem Divisor hoheren Grades 38
2.2.2. Berechnung von Funktionswerten 41
2.2.2.1. Funktionswerte ganzrationaler Funktionen 41
2.2.2.2. Funktionewerte und Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen 45
2.2.3. Lineartransformation; vollstandiges HoEirBK Schema 47
2.2.4. Berechnung der Werte der Ableitungen ganzrationaler Funktionen 51
2.2.5. NawTONSchie Form, ernes Polynoms 53
2.3. Differenzen Schema 56
2.3.1. Definitionen 56
2.3.2. Differenzen Schema 58
2.3.3. Abhangigkeiten im Differenzenschema 61
2.3.4. Additivitat und Homogenitat der Differenzenbildung 63
2.3.5. Differenzen von. Polynomen 64
2.4. Dividierte Differenzen 69
2.4.1. Definitionen, Symmetriebeziehungen 69
2.4.2. Schema der dividierten Differenzen 72
2.4.3. Abhangigkeiten im Schema der dividierten Differenzen 73
2.4.4. Additivitat und Homogenitat 74
2.4.5. Dividierte Differenzen und Ableitungen 74
2.4.6. Dividierte Differenzen von Polynomen 75
/
8 Inhaltsverzeichnis x
3. _ GraHsche Darstellungen und Hilfsmittel (Grundfcegrille) 80
3.1. Skalen 80
3.1.1. RegulSre Skalen 81
3.1.2. Funktionsskalen ¦ 84
3.2. Boppelfkalen 86
3.2.1. Feste Doppelskalen . 86
3.2.2. Verschiebbare Doppelskalen 88
3.3. Recbenstabe 88
3.3.1. Beschreibung der wichtigsten Skalen auf Beehenstaben 89
3.3.2. Besehreibung der verschiedenen Systeme 94
3.3.3. Reehenstab als System fester Skalen 94
3.3.4. Reehenstab als System verschiebbarer Skalen 96
3.3.4.1. Grundoperation 96
3.3.4.2. Operationsketten 98
3.3.4.3. Eriassen von Funktionen 99
3.4. Funktionskurven in Koordinatensystemen 100
3.4.1. Zusammenhang zwisehen Funktionsgleichung, Skalen teilungen u. Kurvenform 100
3.4.2. MaBstabsfragen beina Differenzieren und Integrieren 102
4. Rechengerate 104
4.1. tlberblick .v .... 104
4.1.1. Historischer tJberbliok 104
4.1.2. tJberbliek fiber die heute gebrauchlichen Rechengerate 105
4.2. Tisehreehenmaschinen 106
4.2.1. tJberbliok fiber die gebrauchliohsten Arten und Typen 107
4.2.2. Bedienungselemente der Maschine 107
4.2.3. Zahlendarstellung . 108
4.2.4. Grundoperationen 108
4.2.4.1. Addition und Subtraktion 108
4.2.4.2. Multiplikation , 109
4.2.4.3. Skalarprodukte 110
4.2.4.4. Division * 110
4.3. Digitale Reehenautomaten Ill
4.3.1. Grundbegriffe Ill
4.3.2. Grundaufbau eines digitalen Reehenautomaten 112
4.3.3. Gesiehtspunkte bei der Klassiflzierung von Reehenautomaten 113
4.3.3.1. Einteilung naeh Sehaltelementen 113
4.3.3.2. Einteilung naeh der Art der Programmierung 113
4.3.3.3. Einteilung naeh Befehlsadressen 114 ,
4.3.3.4. Einteilung naeh der logischen Struktur der Informationsverarbeitung . . . .114
4.3.3.5. Einteilung naeh JTest und Gleitkomma 114
4.3.3.6. Einteilung naeh fester und variabler Wortlange 115
4.3.3.7. Einteilung naeh Speieherart und kapazitat 115
4.4. Rechenvorbereitung und Wahl der Hilfsmittel 116
4.4.1. Allgemeine Vorbereitung 116
4.4.1.1. Problemformulierung 116
4.4.1.2. Mathematische Modellierung 116
4.4.2. Wahl des Hilfsmittels 116
4.4.3. Vom gewahlten Hilfsmitte] beeinflufite Vorbereitung 117
4.4.3.1. Wahl eines geeigneten L3sungsverfahrens 117
4.4.3.2. Sehematisierung des geplanten Reehenablaufs 118
4.4.4. Fur das Hilfsmittel spezifische Vorbereitung 118
i
Inhaltsverzeichnis 9
6. Taleln 120
5.1. Grundbegriffe 120
5.1.1. Argumentbereieh und Unterteilung einer Tafel 120
5.1.2. Tafelanordmmgen 121
5.1.3. Genauigkeit nnd Stellenzahl 124
5.1.4. Gleichbleibende Stellen 124
5.1.5. Einige allgemeine Bemerkungen 125
5.2. Tafelablesen als mathematisohe Operation 125
5.2.1. Einfaches Tafelablesen 125
5.2.2. Verkettetes Tafelablesen 128
5.3. Interpolation in Tafeln 129
5.3.1. Problemstellung . 129
5.3.2. Lineare Interpolation 129
1 5.3.3. fNichtlineare Interpolation 131
5.3.3.1. Direkte nichtlineare Interpolation 131
! 5.3.3.2. Inverse nichtlineare Interpolation 133
1 5.3.3.3. Nichtlineare Interpolation fiber einen Parameter 134
i 6. Naherungsformeln . 135
6.1. Grundbegriffe t 135
6.1.1. Naherungsfunktionen und Naherungsformeln 135
6.1.2. Aufstellen von Naherungsformeln 136
6.1.3. Abweichung der TAYXOB Approximation 139
6.1.4. {Approximationspolynom und Potenzreihe * 141
6.2. Zusammenstellung einiger Standard Naherungsformeln 142
6.3. Herleitung weiterer Naherungsformeln 144
6.3.1. Herleitung weiterer Naherungsformeln durch Ersetzung 144
6.3.2. Herleitung weiterer Naherungsformeln durch Kombination 145
6.3.3. Herleitung weiterer Naherungsformeln durch Differentiation und Integration 146
6.4. Anwendung der Naherungsformeln 148
6.4.1. Allgemeine Hinweise 148
: 6.4.2. Spezielle Anwendungsbeispiele 149
; 6.4.2.1. Wurzelbereehnung 149
6.4.2.2. Naherungsweises Losen gewisser quadratiseher Gleichungen 151
7. Beliebige Gleichungen mit einer Unbekannten 154
7.1. Vorbemerkungen . . 154
7.2. Nullstellenverfahren 155
7.3. Schnittstellenverfahren 157
7.4. Interpolationsverfahren 162
7.4.1. Lineares Interpolationsverfahren 162
7.4.2. Bilineares Interpolationsverfahren 164
7.4.3. Quadratisches Interpolationsverfahren 166
7.4.4. Ein Beispiel 167
7.5. Schmiegunggverfahren 169
7.5.1. Lineares Schmiegungsverfahren 170
7.5.2. Quadratisches Schmiegungsverfahren 173
7.5.3. Ein Beispiel 174
7.6. Iteration 175
7.6.1. Prinzip und Konvergenz des Iterationsverfahrens 175
7.6.2. Konvergenzverbesserung 183
7.7. Iteration und TAYLOR Entwicklung 185
7.8. Zur Behandlung komplexer Losungen 187
10 Inhaltsverzeiohais *
8. Algebraische Gleichungen mit einer Uabekannten 189
8.1. Theoretisehe Grundlagen 189
8.2. Anwendung allgemeiner Verfahren zur Bereehnung reeller Losungen algebra
isoher Gleiehungen 192
8.2.1. Eingrenzung des Bereiehs reeller Losungen , 192
8.2.2. NEWTONsehes Sehmiegungsverfahren 193
8.2.3. Iteration 195
8.3. Spezielle Veriahren fiir Gleichungen 4. Grades 197
8.3.1. Benutzung einer kubischen Besolvente 198
8.3.2. Aufspalten durch Eingabeln 201
8.3.3. Aufspalten durch Iteration oder naeh Newton 202
8.4. Spezielle Verfahren fiir algebraische Gleichungen beliebigen Grades 202
8.4.1. Verfahren zur Abtrennung eines quadratischen Losungstrinoms 203
8.4.1.1. Prinzip des Verfahrens 203
8.4.1.2. Benutzung vollstandiger Gleichungen fur p und q 206
8.4.1.3. Wiederholte Partialdivision mit Iinearisierung v. • 209
8.4.1.4. Eine Abwandlung des zweizeiligen HoBNEB Schemas N ¦ 211
8.4.2. Verfahren von Bernotjuj 213
9. Liiieare Grleicbungssysteme 216
9.1. Begriffe und Darstellungsmoglichkeiten 216
9.2. Austauschverfahren 219
9.3. Losbarkeit von Gleichungssystemen 226
9.4. Auflosung von Gleichungssystemen 232
9.4.1. Inverse Matrix ? 232
9.4.2. Verfahren von Jordan 234
9.4.3. GATjssseher Algorithmus 236
9.4.4. Verketteter Algorithmus 241
9.4.5. Iteration . . . . 244
10. Nichtlincare Glotehungssystemc 247
10.1. Allgemeines und Spezialfalle 247
10.2. Anfsuchen einer ersten Naherung 251
10.3. Verbesserung einer ersten Naherung 265
10.3.1. . Iterationsverfahren 255
10.3.2. Berechnung von Korrekturen 258
10.3.3. Losung mit Hilfe der TATLOB Entwieklung .260
11. Interpolationstunktionen ., 264
11.1. Grundbegriffe . 264
11.1.1. Problemstellung 264
11.1J2. Struktur der Interpolationsfunktion 265
11.1.3. Bestimmungsgleichungen fiir die Parameter 267
11.2. Interpolation durch Polynome bei beliebiger Stutzstellenverteilung 268
11.2.1. Direkter Polynomansatz 268
11.2.2. NiswroNsche Interpolation 270
11.2.3. , LAOBANOBsche Interpolation 275
11.2.4. ArrKEisrsche Interpolation . . 277
11.2.5. Fehlerbetrachtungen 277
11.3. Interpolation durch Polynome fur aquidistante Stutzstellen 279
11.3.1. Vorbemerkungen und Hilfsformeln 279
11.3.2. Grundfonneln von Gbjsooby Nhwtoit und Gattss 279
Inhaltsverzeichnis 11
11.3.3. Kombinierte Formeln 283
11.4. Goniometrische Interpolation fur aquidistante Stutzstellen 286
11.4.1. Grundbegriffe und Problemstellung 286
11.4.2. Einige Summenfonneln 287
11.4.3. Formeln fur die Berechnung der Koeffizienten 288
I 11.4.4. RtrHxra Faltung 289
11.4.5. Beriicksiehtigung von Symmetrie Bigenschaften 292
Tafeln 11.1 bis 11.4 294
12. Approximationsfunktionen 310
12.1. Approximation als verallgemeinerte Interpolation 310
12.1.1. Ausgleioh von Mefifehlern 310
12.1.2. Ersatzfunktionen 313
12.1.3. Approximationsprinzipien 317
12.1.4. Struktur der Approximationsfunktion 318
12.2. Mittlere quadratisc he Approximation: Theoretische Grundlagen und allge
meine Formeln 320
12.2.1. Skalarprodukt zweier Funktionen 320
12.2.2. . Skalarprodukt und Gitrsssche Quadratabweichung 323
12.2.3. Grundformeln der mittleren quadratisohen Approximation 324
12.2.4. Grundformeln der mittleren quadratisohen Approximation bei linearer Struktur
der Approxim ationsf unktion 328
12.2.5. Mittlere quadratische Approximation fiber einer orthogonalen Basis .... 331
12.3. Mittlere quadratische Approximation durch Polynome 332
12.3.1. Grundformeln 333
12.3.2. Approximationspolynome zu Wertetabellen 333
12.3.3. Appfoximationspolynome zu kontinuierlich gegebenen Funktionen 336
12.4. Mittlere quadratische Approximation dureh goniometrisehe Funktionen . . . 338
12.4.1. Allgemeine Bemerkungen 338
12.4.2. Goniometrische Approximationsfunktionen zu Wertetabellen mit gleichab
standigen Stutzstellen 339
12.4.3. Goniometrische Approximationsfunktionen zu kontinuierlich gegebenen
Funktionen 340
12.5. GleichmaBige Approximation (^ Approximation) 344
12.5.1. Problemstellung und Beschrankung 344
12.5.2. Einige Satze und Hilfsmittel • 346
12.5.2.1. Fundamentalsatz der T Approximation durch Polynome 346
12.5.2.2. Theorem von Tschebyscheit . . . 347
12.5.2.3. TscHBBYSCHEFF Polynome 347
12.5.3. Einige Verfahren zur Ermittlung und Verbesserung von Naherungen ffir Mini
mallosungen 350
; 12.5.3.1. Ermittlung einer Naherang mit Hilfe der TATLOB Entwieklung 351
12.5.3.2. Ermittlung einer Naherung durch Interpolation 353
12.5.3.3. Transformation und goniometrische Interpolation 354
12.5.3.4. Ansatz fur Alternanten . 354
13. Fehler und Ausgleicbsrechnung 356
13.1. Fehler 356
13.1.1. Fehlerursachen und Fehlerarten 356
13.1.2. Fehler bei direkter und indirekter Binzelmessung 357
13.1.3. MeBreihe 359
13.1.4. Mittlerer Fehler der Einzelwerte einer MeBreihe 360
I
12 Inhaltsverzeiehnis
13.1.5 Mittlerer Fehler des Mittelwertes einer MeBreihe 362
13.1.6. Fehlerfortpflanzung bei MeBreihen 363
13.1.7. Einige wesentliche Folgerungen 365
13.1.8. Wahrseheinlicher Fehler 367
13.2. Ausgleichung 368
13.2.1. Vorbetrachtungen 368
13.2.2. Ausgleichung von Messungen ungleicher Genauigkeit 369
13.2.3. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 372
13.2.3.1. Ausgleichung durcli eine lineare Funktion 372
13.2.3.2. Ausgleichung durch eine ganzrationale Funktion 377
13.2.3.3. Lineare Ausgleichung bei mehreren Variablen 378
13.2.3.4. Ausgleichung durch eine beliebige Funktion 379
13.2.4. Ausgleichung bedingter Beobaehtungen 384
13.2.4.1. Eine Nebenbedingung 384
13.2.4.2. Mehrere Nebenbedingungen 385
14. Integration und Differentiation 391
14.1. Vorbemerkungen zur Integration 391
14.2. Mittelwertformeln: Theoretische Grundlagen und allgemeine Formeln . . . . 392
14.2.1. Bemerkungen zur Herleitung der Mittelwertformeln 392
14.2.2. Normierung des Integrationsintervalles 393
14.2.3. Herleitung der Formeln fur Naherungswerte 394
14.2.4. EinBeispiel 397
14.2.5. Fehlerbetraehtungen 398
14.2.6. Stiitzstellenverteilungen 400
14.3. Spezielle Mittelwertformeln I: Stiitzstellen im Inneren und am Bande des Inte¬
grationsintervalles 401
14.3.1. tJberblick fiber die Prinzipien der Stutzstellenverteilung 401
14.3.2. Herleitung ejniger Standardformeln mit gleichabstandigen Stiitzstellen . . . 402
14.3.3. EinBeispiel 407
14.3.4. Mehrfachanwendung von Standardformeln 410
14.3.4.1. Mehrfachanwendung der NEWTON KoTESschen Formel mit drei Stiitzstellen 410
14.3.4.2. Mehrfachanwendung der MACLATrBiNschen Formel mit drei Stiitzstellen . . . 413
14.3.5. Fehlerbetraehtungen 416
14.4. Spezielle Mittelwertformeln II: Stiitzstellen aueh auBerhalb des Integrations¬
intervalles 418
14.4.1. Vorbemerkungen und t)berbliek 418
14.4.2. Herleitung und Zusammenstellung der Formeln 419
14.5. Verwendung von Ableitungen 422
14.5.1. Verallgemeinerung der Mittelwertformeln dureh Verwendung von Ableitungen
des Integranden 422
14.5.2. Herleitung der Formeln fiir Naherungswerte 422
14.5.3. Aufstellen einiger Formeln 424
14.6. Numerische Differentiation 426
14.6.1. Vorbemerkungen und tJberblick 426
14.6.2. Herleitung der Niiherungsformeln 427
14.6.3. Einige Standardformeln fiir die numerische Differentiation in Wertetabellen
mit Squidistanten Stutzstellen 429
Literaturverzeiebnis 433
Sachwortveraeichnis 436
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