Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker: 1 Numerische Methoden der Algebra
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Berlin [u.a.]
Springer
1988
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Inhaltsverzeichnis
I Hilfsmittel, Nullstellenberechnung bei Gleichungen
1 Hilfsmittel 3
1.1 Punkte und Vektoren 3
1.1.1 Schreibweise 3
1.1.2 Definitionen 3
1.1.3 Normierung. Skalares Produkt 5
1.1.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 7
1.2_ Matrizen 7
1.2.1 Definitionen 7
1.2.2 Matrixnormen 8
1.2.3 Eigenwerte. Spektralradius 9
1.2.4 Rang einer Matrix 10
1.3. Spezielle Matrizen 11
1.3.1 Positiv semidefmite und positiv definite Matrizen 11
1.3.2 Diagonal , Tridiagonal und Block Tridiagonal Matrizen . 12
1.3.3 Weitere, für die Anwendungen wichtige Matrizen 13
1.4 Lineare Gleichungssysteme 14
1.4.1 Bezeichnungen. Lösbarkeit 14
1.4.2 Lösung homogener Gleichungssysteme 15
1.4.3 Lösung inhomogener Gleichungssysteme 17
1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme 18
1.5.1 Darstellungsform. Eigenschaften 18
1.5.2 Funktionalmatrix 20
1.6 Iterationsverfahren 21
1.6.1 Konstruktion 21
1.6.2 Konvergenz 22
1.6.3 Konvergenz bei kontrahierender Abbildung 23
1.6.4 Fehlerabschätzungen 24
1.6.5 Der Satz von Ostrowski 25
1.6.6 Lokale und globale Konvergenz 27
1.7 Hilfsmittel aus der Analysis im Rn 29
X Inhaltsverzeichnis
1.7.1 Vektorfunktionen 29
1.7.2 Ableitungen und Funktionalmatrix 30
1.7.3 Mittelwertsatz und Taylorscher* Satz 32
1.8 Aufgaben 33
2 Berechnung der Nullstellen von Funktionen 35
2.1 Intervallschachtelungsverfahren 35
2.1.1 Verfahrensvorschriften 35
2.1.2 Konvergenz 37
2.2 Newtonsches Verfahren 39
2.2.1 Konstruktion des Verfahrens 39
2.2.2 Konvergenz 41
2.2.3 Weitere Konvergenzkriterien 42
2.2.4 Monotone Konvergenz 44
2.3 Sekantenverfahren 46
2.3.1 Verfahrensvorschrift 46
2.3.2 Konvergenz 48
2.4 Konvergenzordnung der Verfahren. Ergänzungen 51
2.4.1 Vorbereitungen 51
2.4.2 Konvergenzordnung des Newtonschen Verfahrens 52
2.4.3 Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens 53
2.4.4 Verbesserung der Konvergenzordnung 53
2.4.5 Berechnung mehrfacher Nullstellen 54
2.4.6 Rundungsfehlereinflüsse 55
2.5 Tabellarische Zusammenstellung der Verfahren 58
2.6 Beispiele 61
2.7 Aufgaben 65
3 Berechnung der Funktionswerte und Nullstellen von Polynomen 67
3.1 Das Homer Schema 67
3.1.1 Eigenschaften von Polynomen 67
3.1.2 Entwicklung des Horner Schemas 70
3.1.3 Das Rechenschema 72
3.1.4 Anwendung auf komplexe Polynome 74
3.2 Berechnung der reellen Wurzeln 75
3.2.1 Lage der Nullstellen 75
3.2.2 Anwendung des Newtonschen Verfahrens 77
3.2.3 Schranken für die Nullstellen 78
3.2.4 Das Newton Maehly Verfahren 79
3.3 Berechnung von Polynomnullstellen beim Vorliegen komplexer Null¬
stellen 81
Inhaltsverzeichnis xi
3.3.1 Die Methode von Hirano 81
3.4 Aufgaben 84
II Lösung linearer Gleichungssysteme
4 Der Gaußsche Algorithmus 89
4.1 Inhomogene Gleichungssysteme 89
4.1.1 Das Prinzip des Gaußschen Algorithmus 89
4.1.2 Der Gaußsche Algorithmus ohne Pivotisierung 93
4.1.3 Mathematische Formulierung bei Spaltenpivotisierung . 94
4.1.4 Allgemeine inhomogene Systeme 97
4.1.5 Auswirkung von Rundungsfehlern 99
4.2 Homogene Gleichungssysteme 101
4.3 Berechnung der inversen Matrix 103
4.3.1 Ein einfaches Verfahren 103
4.3.2 Das Gauß Jordan Verfahren 105
4.4 Konditionsanalyse und Rundungsfehlereinfluß 109
4.4.1 Eine allgemeine Fehlerabschätzung 109
4.4.2 Die Konditionszahl einer Matrix 110
4.4.3 Brauchbarkeit einer Näherungslösung bei fehlerhaften Aus¬
gangsdaten 112
4.4.4 Skalierungseinfluß beim Gaußschen Algorithmus 117
4.5 Nachiteration 119
4.5.1 Nachiteration bei der Lösung von Gleichungssystemen . 119
4.5.2 Fehleranalyse 121
4.5.3 Der Iterationsalgorithmus 122
4.6 Aufgaben 123
5 Weitere direkte Verfahren 125
5.1 Gleichungssysteme mit symmetrischer Matrix 125
5.1.1 Vereinfachungen bei der Rechnung 125
5.1.2 Die Rechenvorschrift 128
5.1.3 Das Cholesky Verfahren 129
5.2 Gleichungssysteme mit Tridiagonalmatrix 131
5.2.1 Der Algorithmus 131
5.2.2 Diagonaldominante Tridiagonalmatrizen 133
5.3 Gleichungssysteme mit Block Tridiagonalmatrix 134
5.3.1 Eigenschaften von Block Tridiagonalmatrizen 134
5.3.2 Der Algorithmus 135
5.4 Ergänzungen 137
xii Inhaltsverzeichnis
5.4.1 Die Bunch Parlett Zerlegung 137
5.4.2 Gaußscher Algorithmus bei sehr großen Bandsystemen.
Die FRONT Lösungsmethode von Irons 141
5.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung und die QR Zerlegung nach Hou
seholder 141
5.4.4 Sehr große Systeme und ihr Auftreten 148
5.5 Rechenaufwand und Zusammenstellung wichtiger Verfahren 150
5.5.1 Die Zahl der Rechenoperationen 150
5.5.2 Zusammenstellung wichtiger Verfahren 152
5.6 Beispiel 154
5.7 Aufgaben 156
6 Iterative Verfahren 157
6.1 Konstruktion von Iterationsverfahren. Konvergenz 157
6.1.1 Die Fixpunktform 157
6.1.2 Konstruktion von Iterationsverfahren 158
6.1.3 Konvergenz der linearen stationären Einschrittverfahren . . . 159
6.1.4 Die Jordansche Normalform einer Matrix 160
6.1.5 Spektralradius und Konvergenz 162
6.2 OR Verfahren in Gesamtschritten 164
6.2.1 Das Jacobi OR Verfahren 164
6.2.2 Die Konvergenz des Jacobi OR Verfahrens 166
6.2.3 Konvergenz bei symmetrischer und positiv definiter Matrix . 168
6.3 SOR Verfahren 170
6.3.1 Die Iterationsvorschrift 170
6.3.2 Konvergenz bei diagonaldominanter Matrix 173
6.3.3 Konvergenz bei symmetrischer und positiv definiter Matrix . 174
6.3.4 Spektralradius und Konvergenzgeschwindigkeit 176
6.4 Bestimmung des Relaxationsparameters für das SOR Verfahren . . . 177
6.4.1 Matrizen mit der „Property A" 177
6.4.2 Die Berechnung des optimalen Relaxationsparameters . 179
6.5 Komplexe Gleichungssysteme 183
6.5.1 Das Auftreten komplexer Gleichungssysteme 183
6.5.2 Anwendung der Relaxationsverfahren 184
6.5.3 Konvergenz bei hermitescher Matrix 184
6.6 Zur Konvergenzgeschwindigkeit der Verfahren 186
6.6.1 Die mittlere und asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit . 186
6.6.2 Der Einfluß des Relaxationsparameters 188
6.6.3 Fehlerabschätzungen 189
6.7 Block Relaxationsverfahren 190
6.7.1 Gleichungssysteme mit Block Matrizen 190
Inhaltsverzeichnis xiii
6.7.2 Block Relaxationsverfahren 191
6.8 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (cg Verfahren) 193
6.9 Tabellarische Zusammenstellung der Jacobi und SOR Verfahren . . 204
6.10 Beispiel 206
III Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme
7 Allgemeine Iterationsverfahren 215
7.1 Vorbereitungen. Konvergenz 215
7.1.1 Bezeichnungen 215
7.1.2 Die Bedeutung der Funktionalmatrix für die Konvergenz . . . 217
7.1.3 Lokale Konvergenz 218
7.1.4 Der Ausdruck O 218
7.2 Das Newtonsche Verfahren 219
7.2.1 Die Rechenvorschrift 219
7.2.2 Konvergenzkriterien 220
7.2.3 Die Bestimmung der Umgebung Bo 221
7.3 Weitere Verfahren vom Newton Typ 224
7.3.1 Modifizierte Newtonsche Verfahren 224
7.3.2 Nichtlineare Ausgleichsrechnung 225
7.3.3 Das Gauß Newton Verfahren 226
7.3.4 Einbettungsverfahren 231
7.4 Quasi Newton Verfahren 232
7.5 Konvergenzordnung 235
7.5.1 Quadratische Konvergenz des Newtonschen Verfahrens . 235
7.5.2 Konvergenzordnung des modifizierten Newtonschen Verfahrens 236
7.6 Tabellarische Zusammenstellung einiger Verfahren 238
7.7 Beispiel 239
7.8 Aufgaben 241
8 Iterationsverfahren für große nichtlineare Gleichungssysteme 243
8.1 Nichtlineare SOR Verfahren 243
8.1.1 Nichtlineare Gauß Seidel Verfahren 243
8.1.2 SOR und SOR Newton Verfahren 245
8.1.3 Lokale und globale Konvergenz der Verfahren 246
8.2 Das cg Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme 251
8.2.1 Die Verfahrensvorschrift 251
8.2.2 Präkonditionierung 254
8.3 Das Verfahren von Schubert 255
8.4 Beispiel 256
xiv Inhaltsverzeichnis
8.5 Aufgaben 258
IV Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
9 Grundlagen, Abschätzungen, Elementare Transformationen 261
9.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 261
9.1.1 Das charakteristische Polynom 261
9.1.2 Eigenwerte spezieller Matrizenklassen 262
9.2 Beispiele für das Auftreten von Eigenwertproblemen 266
9.2.1 Ein Schwingungsproblem 266
9.2.2 Ein Sturm Liouville Eigenwertproblem und ein Differenzen¬
verfahren 269
9.3 Abschätzungen von Eigenwerten. Fehleraussagen 271
9.3.1 Die Lage der Eigenwerte 271
9.3.2 Eine a posteriori Fehlerabschätzung bei hermiteschen Matrizen275
9.4 Ahnlickeitstransformation auf einfache Gestalt 281
10 Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren 287
10.1 Unterraummethoden 287
10.1.1 Die Verfahren von v. Mises und Wielandt 287
10.1.2 Die simultane Vektoriteration 294
10.1.3 Das Lanczos Verfahren 299
10.2 Transformationsmethoden 305
10.2.1 Das Jacobi Verfahren 306
10.2.2 Das QL Verfahren 312
10.3 Verfahren zur Bestimmung individueller Eigenwerte 318
10.4 Allgemeine Eigenwertprobleme 324
10.5 Die Singulärwertzerlegung (svd) 328
10.6 Das Nullstellenverfahren von Jenkins und Traub 334
Literaturverzeichnis 340
Sachverzeichnis 343 |
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