Theorie der linearen Differenzengleichungen:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig [u.a.]
Teubner
1911
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| Schriftenreihe: | B. G. Teubner's Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften
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| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS.
ERSTER TEIL.
Grundlegende Begriffe und allgemeine Theorien.
Erstes Kapitel.
Begriff der linearen Differenzengleichung und ihrer Integration.
Seite
I. Definition einer linearen Differenzengleichung ntei Ordnung 3
II. Definition der Integration einer homogenen linearen Differenzengleichung.
Existenz einer Partikularlösung 5
A. Die homogene lineare Differenzengleichung erster Ordnung 5
B. Die Summen 11
C. Die Gaminafunktion 15
D. Homogene lineare Differenzengleichungen beliebiger Ordnung, deren
Koeffizienten rationale Funktionen sind 26
Zweites Kapitel.
Formale Theorien. 1. Teil.
I. Allgemeine Sätze über Differenzendeterminanten 32
A. Der Satz von Casorati 33
B. Sätze von Bortolotti und Wallenberg 34
C. Adjungierte Funktionensystemc 37
II. Fundamentalsysteme 40
A. Definition eines Fundamentalsystems von Lösungen einer homogenen
linearen Differenzengleichung 40
B. Beziehungen zwischen zwei Fundamentalsystemen 44
III. Lineare Differenzengleichung mit gegebenem Fundamentalsystem; Dar¬
stellung ihrer Koeffizienten durch die Fundamentallösungen 45
IV. Gemeinsame Lösungen homogener linearer Differenzengleichungen; Re¬
sultante; Kettenbruchverfahren 50
V. Zusammensetzung homogener linearer Differenzenausdrücke; symbo¬
lisches Produkt derselben 54
VI. Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste Vielfache zweier homo¬
gener linearer Differenzenausdrücke. Beispiele 56
Drittes Kapitel.
Formale Theorien. 2. Teil.
I. Reduktion der Ordnung einer homogenen linearen Differenzengleichung
bei Kenntnis einiger Partikularlöaungen. Beispiele 64
II. Vielfache Lösungen 71
Inhaltsverzeichnis. XIII
Seito
III. Zerlegung eines homogenen linearen Differenzenausdruckes in homogene
lineare Differenzenausdrücke erster Ordnung 74
IV. Multiplikatoren. Adjungierte Differenzengleichung 78
V. Vollständige lineare Differenzengleichungen. Beispiele 87
VI. Iteration linearer homogener Differenzenausdrücke. Symbolische Potenz. 93
Viertes Kapitel.
Gruppentheorie 1. Teil. Transformation.
I. Invariante Funktionen der Lösungen eines Fundamentalsystems. ... 97
II. Transformation einer homogenen linearen Differenzengleichung.... 103
III. Lineare homogene Differenzengleichungen derselben Art 106
IV. Assoziierte Differenzengleichungen 109
Fünftes Kapitel.
Reduzibilität.
I. Begriff der Reduzibilität einer linearen homogenen Differenzen¬
gleichung. Aufgaben 114
II. Die Zerlegung homogener linearer Differenzenausdrücke in irreduzible
Faktoren 119
III. Vollständig reduzible homogene lineare Differenzengleichungen. . . . 124
Sechstes Kapitel.
Gruppentheorie 2. Teil. Die Rationalitätsgruppe.
I. Die Rationalitätsgruppe einer homogenen linearen Differenzengleichung 127
II. A. Reduzibilität der Rationalitätsgruppe 132
B. Die Rationalitätsgruppe von Differenzengleichungen derselben Art. 132
III. Reduktion der Rationalitätsgruppe: Die homogene lineare Differenzen¬
gleichung zweiter Ordnung. Aufgaben 136
IV. Anwendungen der Theorie der Rationalitätsgruppe 141
A. Algebraische Beziehungen zwischen den Lösungen einer homogenen
linearen Differenzengleichung 141
B. Ein Reduktibilitätssatz 150
C. Vertauschbarkeit homogener linearer Ditferenzenausdrücke .... 161
ZWEITER TEIL.
Integration der linearen Differenzengleichungen durch
analytische Ausdrücke.
w Siebentes Kapitel.
Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten.
I. Homogene Gleichungen. Beispiele 169
II. Vollständige Gleichungen Beispiele 175
III. Anwendungen: A. Auf rekurrente Reihen 183
B. Auf die Geometrie 186
t
!
XIV Inhaltsverzeichnis.
Seite
Achtes Kapitel.
Differenzengleichungen mit linearen Koeffizienten. Integration
derselben durch bestimmte Integrale.
I. Homogene Gleichungen 189
II. Vollständige Gleichungen 191
A. Die rechte Seite ist eine ganze rationale Funktion von x l Jl
B. Die rechte Seite ist von der Form jf1F{t)dt 198
i
Neuntes Kapitel.
Verhalten der Lösungen, homogener linearer Differenzengleichungen
im Unendlichen.
I. Der Satz von Poincare. Einleitung 201
A. Alle Wurzeln der „charakteristischen Gleichung haben verschiedene
absolute Beträge 202
B. Die „charakteristische Gleichung besitzt Wurzeln von gleichem
absoluten Betrage 208
C. Die Wurzeln der „charakteristischen Gleichung sind zum Teil un¬
endlich oder alle gleich Null 21 2
D. Der Grenzwert des Quotienten V^* für x = — x . Verhalten der
Adjungierten V* 214
II. Anwendungen des Poincare sehen Satzes 215
A. Approximative Lösung homogener linearer Differenzengleichungen . 215
B. Lösung homogener linearer Differenzengleichungen zweiter Ord¬
nung durch Kettenbrüche 218
Zehntes Kapitel.
Integration der linearen Differenzengleichungen durch Reihen.
Einleitung 224
I. Differenzengleichungen erster Ordnung 228
A. Homogene Gleichungen: 1. mit linearen Koeffizienten 229
2. mit quadratischen Koeffizienten . . . 229
B. Vollständige Gleichungen 231
II. Hypergeometrische Differenzengleichungen zweiter Ordnung 244
III. Differenzengleichungen beliebiger Ordnung mit rationalen Koeffizienten:
Asymptotische Darstellung ihrer Lösungen durch Fakultätennormalreihen 251
IV. Differenzengleichungen beliebiger Ordnung, deren Koeffizienten Fakul¬
tätenreihen sind: Normalform; Integration durch konvergente Fakul¬
tätenreihen 262
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