Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie: 3 Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln
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Inhaltsverzeichnis.
Einleitung.
Kennzeichnende Eigenschaften der Abbildungen von Möbius,
Laguerre und IÄe.
Seite
§ 1. Die Abbildungen von Möbius, Laguerre und Lie als Abbildungen von
Gebieten 1
§ 2. Abbildungen von Gebieten und ihre Ausdehnung 6
§ 3. Die Abbildungen von Möbius, Laguerre und Lie als Abbildungen im
Großen 13
1. Kapitel.
Stereographische Projektion und Geometrie von Möbius in der Ebene.
§ 4. Hyperbolische Bewegungen in der Ebene 16
§ 5. Grundbegriffe der hyperbolischen Geometrie der Ebene 21
§ 6. Die nichteuklidische Entfernung 25
§ 7. Stereographische Projektion der Kugel. Tetrazyklische Koordinaten 30
§ 8. Abbildung der hyperbolischen Geometrie des Raumes auf die Kreis¬
geometrie von Möbius in der Ebene 35
§ 9. Grundbegriffe der hyperbolischen Geometrie des Raumes und der
Kreisgeometrie in der Ebene 39
2. Kapitel.
Invarianten der Kreisgeometrie von Möbius.
§ 10. Allgemeines zur Invariantentheorie der Gruppe von Möbius . 46
§ 11. Inversionsgeometrische Invarianten endlich vieler Vektoren. Die Vor¬
zeicheninvariante dreier Kreise 52
§ 12. Gerichtete Kreise 57
§ 13. Normalkoordinaten und gerichtete Kreise 61
§ 14. Festlegung der Normalkoordinaten der gerichteten Kreise . 65
§ 15. Büschelinvariante dreier sich berührender Kreise. Gerichtete Winkel 68
§ 16. Einordnung der euklidischen Bewegungsgeometrie in die Inversions¬
geometrie 72
§ 17. Beziehungen der Inversionsgeometrie zur nichteuklidischen Bewe¬
gungsgeometrie 76
§ 18. Inversionsgeometrische Formeln für die hyperbolische nichteuklidische
Geometrie 79
§ 19. Gemeinsame Behandlung der elliptischen, hyperbolischen und eukli¬
dischen Bewegungsgeometrie im Rahmen der Inversionsgeometrie 84
§ 20. Koordinaten von Gauß 87
VIII Inhaltsverzeichnis.
3. Kapitel.
Kreisscharen, Kurven und Kurvennetze in der Geometrie von Möbius
in der Ebene.
Seite
§ 21. Kreisscharen in der Ebene 92
§ 22. Die Grundformeln für die Theorie der Kreisscharen 96
§ 23. Schmiegkreise. Beziehungen zur euklidischen und nichteuklidischen
Bewegungsgeometrie ebener Kurven 101
§ 24. Die Hauptkreise einer ebenen Kurve 104
§ 25. Inversionsgeometrie ebener Kurven 108
§ 26. Flächen im hyperbolischen Raum 111
§ 27. Hyperbolische Flächentheorie und Inversionsgeometrie senkrechter"
Kurvennetze auf der Kugel 114
§ 28. Grundformeln für senkrechte Kurvennetze auf der Kugel 116
§ 29. Isotherme Kurvennetze 120
§ 30. Wechselnetze 124
§ 31. Invariante Ableitungen in einem Kurvennetz 126
§ 32. Vermischte Aufgaben zu den Kapiteln 1 bis 3 132
4. Kapitel.
Geometrie von Laguerre in der Ebene,
§ 38. Isotrope Projektion und Abbildungen von Laguerre in der Ebene . . 136
§ 34. Tangentenentfernung. Gerade Kreisreihen 140
§ 35. Kreisvektoren. Ebene Kreissysteme 145
§ 36. Sphärische Kreissysteme 152
§ 37. Einige Eigenschaften der Gruppe von Laguerre 155
§ 38. Ebene Kurven in der Geometrie von Laguerre 162
§ 39. Der Laguerre Zykel 166
§ 40. Vermischte kleinere Aufgaben 171
§ 41. Zusammenhängende größere Aufgaben 173
5. Kapitel.
Die Geometrie von Lie in der Ebene.
§ 42. Pentazyklische Koordinaten. Abbildungen von Lie in der Ebene . . 177
§ 43. Invarianten der Geometrie von Lie 181
§ 44. Doppelverhältnis von vier Kreisen eines Büschels. Lineare Kreis¬
scharen 186
§ 45. Lineare Systeme von Kreisen 191
§ 46. Weitere Eigenschaften der linearen Systeme 196
§ 47. Ãber den Einbau der Geometrie von Möbius in die Geometrie von Lie 200
§ 48. Einordnung der Geometrie von Laguerre in die Geometrie von Lie . 204
§ 49. Eigenschaften der Gruppe von Lie 210
§ 50. Der Hauptsatz der projektiven Geometrie 214
§ 51. Die Abbildungen von Möbius, Laguerre und Lie als Abbildungen von
Kreisgebieten 219
6. Kapitel.
Geometrie von Lie, Möbius und Laguerre im Raum.
§ 52. Grundbegriffe der Geometrie von Lie im Raum 226
§ 53. Lineare Kugelscharen und Kugelkomplexe 229
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
§ 54. Ãber die Verwandtschaft der Kugelgeometrie von Lie mit der pro
jektiven Liniengeometrie 233
§ 55. Hyperboloide und Zykliden von Dupin 238
§ 56. Invariantentheorie der Vektorbündel 245
§ 57. Flächenstreifen in der Kugel und Liniengeometrie 250
§ 58. Krümmungsstreifen und Asymptotenstreifen auf einer Fläche . . . 254
§ 59. Geometrie von Möbius im Räume 259
§ 60. Möbius Geometrie der Kreise, Kugelscharen und Kurven im Raum.
(Als Aufgabe) 262
§ 61. Geometrie von Laguerre im Raum 268
§ 62. Die sphärische Abbildung in der Geometrie von Laguerre . 272
§ 63. Bestimmung einer Fläche aus dem sphärischen Bild ihrer Krüm¬
mungslinien 275
§ 64. Flächen mit lauter ebenen Krümmungslinien 278
§ 65. Ãber die Anzahl der Nabelpunkte auf Eiflächen 283
§ 66. Vermischte Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 289
7. Kapitel.
Flächentheorie in der Geometrie von Möbius und Laguerre.
§ 67. Die Zentralkugel und die Mittenkugel einer Fläche 296
§ 68. Invariante Ableitungen in der Flächentheorie 300
§ 69. Flächentheorie und invariante Ableitungen für beliebige Parameter 305
§ 70. Grundformeln der Flächentheorie 314
§ 71. Invariant mit einer Fläche verbundene Kugelkomplexe 320
§ 72. Isotherme Kurvennetze auf einer Fläche 325
§ 73. Krümmungskreise und zyklische Kurvensysteme 331
§ 74. Vermischte Aufgaben zum 7. Kapitel 337
8. Kapitel.
Kugelsysteme.
§ 75. Kugelsysteme in der Geometrie von Möbius und Laguerre 342
§ 76. Grundformeln für Kugelsysteme 346
§ 77. Ä Kugelsysteme 351
§ 78. Kugelsysteme, deren Hüllflächen winkeltreu aufeinander bezogen sind 357
§ 79. Ãbergang zur Flächentheorie der euklidischen Bewegungsgeometrie 362
§ 80. Gemeinsame Behandlung der hyperbolischen, elliptischen und eukli¬
dischen Flächentheorie 368
§ 81. M Minimalflächen und i Minimalflächen 371
§ 82. Flächentheorie in Bonnetscben Koordinaten 377
§ 83. Vermischte Aufgaben zum 8. Kapitel 381
9. Kapitel,
Flächen und Zyklidensysteme in der Geometrie von IAe.
§ 84. Die itesche Zyklide einer Fläche • 388
§ 85. Grundformeln der Liegeometrischen Flächentheorie 393
§ 86. Oskulierende Zykliden einer Fläche und zyklidische Kurven . . . 400
§ 87. Die Hüllflächen des Systems der Zykliden von Lie 407
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 88. Flächen mit einer Schar sphärischer oder ebener Krümmungslinien 409
§ 89. Spezielle R Kugelsysteme 413
§ 90. Grundlagen der projektiven Flächentheorie 420
§ 91. Aufgaben zur projektiven Flächentheorie 424
§ 92. Allgemeine Systeme von Zykliden 428
§ 93. Systeme von Zykliden von Lie 434
§ 94. K Minimalflächen und Projektivminimalflächen 440
§ 95. Möbius Geometrie der Kreissysteme im Raum 447
§ 96. Vermischte Aufgaben zum 9. Kapitel 454
Anhang.
Lebensbilder von MöMus, Laguerre und Lie.
§ 97. August Ferdinand Möbius 458
§ 98. Edmond Laguerre 461
§ 99. Sophus Lie 463
Namen und Stichwortverzeichnis 466 |
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