Funktionentheorie:
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer-Verlag
|
| Series: | Grundwissen Mathematik
... Springer-Lehrbuch |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | 5. Auflage von Band 1 mit 2. Verfasser |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Historische Einführung....................................... 1
0. Komplexe Zahlen und stetige Funktionen................. 7
0.1 Der Körper
0.1.1 Der Körper
0.1.2 Absoluter Betrag und Polarkoordinaten............. 9
0.1.3 M-lineare und
0.1.4 Skalarprodukt ................................... 12
0.1.
0.2
0.2.1 Metrische Räume................................. 15
0.2.2 Offene und abgeschlossene Mengen ................. 17
0.2.3 Konvergente Folgen. Häufungspunkte............... 17
0.2.4 Historisches zum Konvergenzbegriff................. 18
0.2.5 Kompakte Mengen ............................... 19
0.3 Konvergente Folgen komplexer Zahlen..................... 20
0.3.1 Rechenregcln .................................... 20
0.3.2 Cauchysches Konvergenzkriterium. Charakterisierung
kompakter Mengen in
0.4 Konvergente und absolut konvergente Reihen .............. 23
0.4.1 Konvergente Reihen komplexer Zahlen.............. 23
0.4.2 Absolut konvergente; Reihen. Majorantenkriteriuin .... 25
0.4.3 Umordnungssatz ................................. 26
0.4.4 Historisches zur absoluten Konvergenz.............. 26
0.4.5 Bemerkungen zum Riemannschen Umordnuugssatz ... 27
0.4.6 Reihcriproduktsatz ............................... 28
0.5 Stetige Funktionen ..................................... 29
0.5.1 Stetigkeitsbegriff................................. 30
0.5.2 Die
0.5.3 Historisches zum Funktionsbegriff.................. 32
0.5.4 Historisches zum Stetigkeitsbegriff.................. 33
0.6 Zusammenhängende Räume. Gebiete in
0.6.1 Lokal-konstante Funktionen. Zusammenhangsbegriff . . 35
0.6.2 Wege und Wegzusannuenhang ..................... 35
XII Inhaltsverzeichnis
0.6.3 Gebiete in
0.6.4 Zusammenhangskomponenten von Bereichen......... 38
0.6.5 Rand und Randabstand........................... 38
1. Komplexe Differentialrechnung........................... 41
1.1 Komplex differenzierbare Funktionen...................... 42
1.1.1 Komplexe Differenzierbar
1.1.2 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen......... 44
1.1.3 Historisches zu den Cauchy-Riemannschen Differenti¬
algleichungen .................................... 45
1.2 Komplexe und reelle Differenzierbar
1.2.1 Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen 46
1.2.2 Ein hinreichendes Kriterium für komplexe Differen-
zierbarkeit....................................... 47
1.2.3 Beispiele zu den Cauchy-Riemannschen Gleichungen . . 48
1.2.4 * Harmonische Funktionen ........................ 49
1.3 Holomorphe Funktionen................................. 51
1.3.1 Differentiationsregeln............................. 52
1.3.2 Die C-Algcbra O(D).............................. 54
1.3.3 Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen....... 55
1.3.4 Historisches zur Notation.......................... 56
1.4 Partielle Differentiation nach
1.4.1 Die partiellen Ableitungen fx, fy, fz, ,h............. 58
1.4.2 Beziehungen zwischen den Ableitungen ux, uy, vx, vy,
fx,fv,fz,h.................... ........ .... ..... 59
1.4.3 Die; Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung -gL = 0 60
1.4.4 Kalkül der Differentialoperatoren
t
2. Holomorphie und Winkeltreue. Biholomorphe Abbildungen 65
2.1 Holomorphe Funktionen und Winkeltreue.................. 66
2.1.1 Winkeltreue, Holomorphie und Antiholomorphie...... 66
2.1.2 Winkel- und Orientierungstreue, Holomorphie........ 67
2.1.3 Geometrische Deutung der Winkeltreue............. 68
2.1.4 Zwei Beispiele.................................... 69
2.1.5 Historisches zur Winkeltreue....................... 71
2.2 Biholomorphe Abbildungen.............................. 72
2.2.1 Komplexe 2x2 Matrizen und biholomorphe Abbildungen 73
2.2.2 Die biholomorphe Cayleyabbildung
2.2.3 *
E
2.3 Automorphismen der oberen Halbebene und des Einheitskreises 76
2.3.1 Automorphismen von
2.3.2 Automorphismen von
2.3.3 Die Schreibweise i]¿~_1 für Automorphismen von
2.3.4 Homogenität von E und
Inhaltsverzeichnis XIII
3. Konvergenzbegriffe der Funktionentheorie................ 81
3.1 Gleichmäßige, lokal-gleichmäßige und kompakte Konvergenz . 83
3.1.1 Gleichmäßige Konvergenz ......................... 83
3.1.2 Lokal-gleichmäßige Konvergenz..................... 84
3.1.3 Kompakte Konvergenz............................ 85
3.1.4 Historisches zur gleichmäßigen Konvergenz .......... 86
3.1.5 * Kompakte und stetige Konvergenz................ 87
3.2 Konvergenzkriterien .................................... 90
3.2.1 Weierstraßsches Majorantenkriterium............... 91
3.3 Normal konvergente Reihen.............................. 92
3.3.1 Normale Konvergenz.............................. 92
3.3.2 Diskussion der normalen Konvergenz................ 93
3.3.3 Historisches zur normalen Konvergenz .............. 94
4. Potenzreihen ............................................. 97
4.1 Konvergenzkriterien .................................... 98
4.1 -1 Abelsches Konvergenzlcmma....................... 98
4.1.2 Konvergenzradius ................................ 99
4.1.3 Formel von Cauchy-Hadamard..................... 99
4.1.4 Quotientenkriterium.............................. 100
4.1.5 Historisches zu konvergenten Potenzreihen........... 101
4.2 Beispiele konvergenter Potenzreihen....................... 103
4.2.1 Exponentialreihe und trigonometrische Reihen. Euler-
sche Formel...................................... 103
4.2.2 Logarithmische Reihe und Arcustangcnsreihe........ 104
4.2.3 Binomische Reihe ................................ 105
4.2.4 * Koiivergenzverhalten auf dem Rand............... 106
4.2.5 * Abelscher Stetigkeitssatz ........................ 107
4.3 Holomorphie von Potenzreihen........................... 109
4.3.1 Formale gliedweise Differentiation und Integration .... 109
4.3.2 Holomorphie von Potenzreihen. Vertauschungssatz .... 110
4.3.3 Historisches zur gliedweisen Differentiation von Reihen 111
4.3.4 Beispiele holomorpher Funktionen.................. 111
4.4 Struktur der Algebra der konvergenten Potenzreihen........ 113
4.4.1 Ordnungsfunktion................................ 114
4.4.2 Einheitensatz.................................... 114
4.4.3
4.4.4 Bestimmung aller Ideale........................... 116
5. Elementar-transzendente Funktionen ..................... 119
5.1 Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen ...... 120
5.1.1 Charakterisierung von
chung ........................................... 120
5.1.2 Additionstheorem der Exponentialfunktion.......... 121
5.1.3 Bemerkungen zum Additionstheorem ............... 122
XIV Inhaltsverzeichnis
5.1.4
5.1.5 Historisches zu cos
5.1.6 Hyperbolische Funktionen.........................124
5.2 Epimorphiesatz für
5.2.1 Epimorphiesatz .................................. 126
5.2.2 Die Gleichung Kern(exp) = 2?riZ................... 127
5.2.3 Periodizität von
5.2.4 Wertevorrat, Nullstellen und Periodizität von cos
und sin
5.2.5
5.2.6 Die Gleichung e i =
5.3 Polarkoordinaten, Einheitswurzeln und natürliche Grenzen. . . 132
5.3.1 Polarkoordinaten................................. 133
5.3.2 Bogenmaß und Argument .........................134
5.3.3 Einheitswurzeln.................................. 135
5.3.4
5.3.5 Historisches zu natürlichen Grenzen ................137
5.4 Logarithmusfunktionen..................................138
5.4.1 Definition und elementare Eigenschaften ............138
5.4.2 Existenz
5.4.3 Die Eulersche Folge (1 + z/n) ..................... 140
5.4.4 Hauptzweig des Logarithmus.......................141
5.4.5 Historisches zur Logarithmusfunktion im Komplexen . . 142
5.5 Diskussion von Logarithmusfunktionen....................143
5.5.1 Zu den Identitäten log(wz) = log«; + log
und log(exp z) =
5.5.2 Logarithmus und Arcustangens ....................145
5.5.3 Potenzfunktionen. Formel von Newton-Abel .........145
5.5.4 Die Riemannsche ( -Funktion.......................147
6. Komplexe Integralrechnung............................... 149
6.1 Integration in reellen Intervallen..........................150
6.1.1 Integralbegriff. Rechenregeln und Standardabschät¬
zung ............................................150
6.1.2 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrech¬
nung ............................................151
6.2 Wegintegrale in
6.2.1 Stetig und stückweise stetig differenzierbare Wege .... 153
6.2.2 Integration längs Wegen...........................154
6.2.3 Die Integrale Jaß(C -
6.2.4 Historisches zur Integration im Komplexen..........157
6.2.5 Unabhängigkeit von der Parametrisierung...........157
6.2.6 Zusammenhang mit reellen Kurvenintegralen ........158
6.3 Eigenschaften komplexer Wegintegrale ....................159
6.3.1 Standardabschätzimg.............................161
Inhaltsverzeichnis
6.3.2 Vertauschungssätze...............................162
6.3.3 Das Integral
6.4 Wegunabhängigkeit von Integralen, Stammfunktionen.......165
6.4.1 Stammfunktionen ................................ 165
6.4.2 Bemerkungen über Stammfunktionen, Integrabilitäts-
kriterium........................................ 166
6.4.3 Integrabilitätskriterium für Sterngebiete............. 168
7. Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung. 171
7.1 Cauchyschcr Integralsatz für Sterngebiete..................171
7.1.1 Integrallemma von Goursat........................171
7.1.2 Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete ...........173
7.1.3 Historisches zum Integralsatz ......................174
7.1.4 Historisches zum Integrallemma....................176
7.1.5 * Reeller Beweis des Integrallemmas................177
7.1.6 * Die Fresrielschen Integrale .......................178
7.1.7 * Das Integral I(z) := ¡™ fr1
7.2 Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben...............180
7.2.1 Zentrierungslemma...............................180
7.2.2 Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.........182
7.2.3 Historisches zur Integralformel.....................184
7.2.4 * Die Cauchysche Integralformel für reell stetig diffe¬
renzierbare Funktionen............................184
7.2.5 * Schwarzsehe Integralformel.......................185
7.3 Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen.......187
7.3.1 Entwicklungslemma...............................187
7.3.2 Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor................189
7.3.3 Historisches zum Entwicklungssatz .................190
7.3.4 Lokal endliche Mengen. Riemannscher Fortsetzungssatz 191
7.3.5 Historisches zum Riemannschen Fortsetzungssatz.....191
7.4 Diskussion des Entwicklungssatzes........................193
7.4.1 Holomorphie und unendlich häufige: komplexe Diffe-
renzierbarkeit....................................193
7.4.2 Umbildungssatz..................................194
7.4.3 Analytische Fortsetzung...........................194
7.4.4 Produktsatz für Potenzreihen......................195
7.4.5 Bestimmung von Konvergenzradien.................196
7.5 * Spezielle Taylorreihen. Bernoullische Zahlen..............197
7.5.1 Taylorreihe von z(ez — 1)~1. Bernoullische Zahlen .... 198
7.5.2 Taylorreihen von
7.5.3 Potenzsummen und Bernoullische Zahlen............199
7.5.4 Bernoullische Polynome...........................201
XVI Inhaltsverzeichnis
8. Fundamentalsätze über holomorphe Funktionen ..........203
8.1 Identitätssatz..........................................203
8.1.1 Historisches zum Identitätssatz.....................206
8.1.2 Lokale Endlichkeit der
8.1.3 Nullstellenordimng und Vielfachheit ................207
8.1.4 Existenz
8.2 Der Holomorphiebegriff.................................211
8.2.1 Holomorphio, lokale Integrabilität und konvergente; Po-
tenzreihen.......................................211
8.2.2 Holomorphie von Integralen .......................212
8.2.3 Holomorphie, Winkel- und Orientierungstreue (endgülti¬
ge Fassung)......................................213
8.2.4 Cauebysoher, Riemannscher und Weierstraßseher Stand¬
punkt. Das Glaubensbekenntnis von Weierstraß......213
8.3 Cauchysche Abschätzungen und Ungleichungen für Taylorko¬
effizienten .............................................215
8.3.1 Cauchysche Abschätzung.......................... 215
8.3.2 Gut zmcrsche Formel. Maximumprinzip.............. 216
8.3.3 Ganze Funktionen. Satz von
8.3.4 Historisches zu den Cauchyschcn Ungleichungen und
zum Satz von Liouville............................ 220
8.3.5 * Beweis der Cauchyschen Ungleichungen nach Weier¬
straß ............................................ 220
8.4 Konvergenzsätze von Weierstraß.......................... 222
8.4.1 Weierstraßseher Konvergenzsatz....................222
8.4.2 Differentiationssätze für kompakt konvergente Reihen . 222
8.4.3 Historisches zu den Konvergenzsätzen...............224
8.4.4 * Weitere Konvergenzsätze ........................225
8.4.5 * Eine Bemerkung Weierstraß zur Holomorphie......226
8.4.6 * Eine Konstruktion von Weierstraß................227
8.5 Offenheitssatz und Maximumprinzip......................228
8.5.1 Offenheitssatz....................................229
8.5.2 Maximumprinzip.................................230
8.5.3 Historisches zum Maximumprinzip..................231
8.5.4 Verschärfung des Weierstraßschen Konvergenzsatzes . . 232
8.5.5 Satz von Hurwitz.................................232
9.
9.1 Fundamentalsatz
9.1.1 Fundamentalsatz der Algebra...................... 235
9.1.2 Vier Beweise des Fundamentalsatzes................ 237
9.1.3 Satz von Gauß über die Lage der Nullstellen von Ab¬
leitungen ........................................ 237
9.2 Schwarzsehes Lemma und die Gruppen AutE,
9.2.1 Schwarzsches Lemma............................. 239
Inhaltsverzeichnis
9.2.2 Mittelpunktstreue Automorphismen von E. Die Grup¬
pen
9.2.3 Fixpunkte von Automorphismen ................... 241
9.2.4
9.2.5 Lemma von Schwarz-Pick ......................... 242
9.2.6 Satz von
9.2.7 Schwarzsches Lemma und Abschätzung der ersten Ab¬
leitung .......................................... 244
9.3 Holomorphe Logarithmen und holomorphe Wurzeln......... 245
9.3.1 Logarithmische Ableitung. Existenzlemma........... 246
9.3.2 Homologisch einfach zusammenhängende Bereiche. Exi¬
stenz holomorpher Logarithmusfunktionen........... 247
9.3.3 Holomorphe Wurzelfunktionen..................... 247
9.3.4 Die Gleichung f(z) =
9.3.5 Die Kraft der Quadratwurzel...................... 249
9.4 Biholomorphe Abbildungen. Lokale Normalform............ 250
9.4.1 Biholomorphiekriteriuin........................... 250
9.4.2 Lokale Injektivität und lokal-biholomorphe Abbil¬
dungen .......................................... 251
9.4.3 Lokale Normalform............................... 253
9.4.4 Geometrische Interpretation der lokalen
9.4.5 Faktorisienmg holomorpher Funktionen............. 254
9.5 Allgemeine Cauchy-Theorie.............................. 255
9.5.1 Die
9.5.2 Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie....... 257
9.5.3 Beweis von ni)=>ii) nach Dixon..................... 258
9.5.4 Nullhomologie. Charakterisierung homologisch einfach
zusammenhängender Bereiche...................... 260
9.6 * Asymptotische Potenzreihenentwicklungen............... 261
9.6.1 Definition und elementare Eigenschaften ............ 262
9.6.2 Eine hinreichende Bedingung für die Existenz asym¬
ptotischer Entwicklungen.......................... 263
9.Ö.3 Asymptotische Entwicklungen und Differentiation .... 264
9.6.4 Satz von Ritt.................................... 265
9.6.5 Satz von
10. Isolierte Singularitäten. Meromorphe Funktionen......... 271
10.1 Isolierte Singularitäten.................................. 271
10.1.1 Hebbare Singularitäten. Pole....................... 272
10.1.2 Entwicklung von Funktionen um Polstellen.......... 273
10.1.3 Wesentliche Singularitäten. Satz von Casorati-Weier-
straß............................................ 274
10.1.4 Historisches zur Charakterisierung isolierter Singula¬
ritäten .......................................... 276
XVIII Inhaltsverzeichnis
10.2 * Automorphismen punktierter Bereiche...................277
10.2.1 Isolierte Singularitäten holomorpher Injektionen...... 277
10.2.2 Die Gruppen
10.2.3 Automorphismen punktierter beschränkter Bereiche . . 279
10.2.4 Starre Gebiete................................... 280
10.3 Meromorphe Funktionen ................................ 281
10.3.1 Definition der Meromorphie........................282
10.3.2 Die
tionen ..........................................283
10.3.3 Division von meromorphen Funktionen..............284
10.3.4 Die Ordnungsfunktion o(,..........................286
11. Konvergente Reihen meromorpher Funktionen............287
11.1 Allgemeine Konvergenztheorie............................287
11.1.1 Kompakte und normale Konvergenz ................288
11.1.2 Rechenregcln ....................................289
11.1.3 Beispiele........................................290
11.2 Die Partialbruchentwicklung von ncotnz..................291
11.2.1
π
11.2.2 Historisches zur Cotangensreihe und zu ihrem Beweis . 293
11.2.3 Partialbruchreihen für
11.2.4 * Charakterisierung des
onstheorem bzw. seine Differentialgleichung..........295
11.3 Die Eulerschen Formeln für
11.3.1 Entwicklung von E {z) um 0 und Eulersche Formeln
für C(2n) .·......................................296
11.3.2 Historisches zu den Eulerschen
11.3.3 Differentialgleichung für
noullische Zahlen.................................298
11.3.4 Die Eisensteinreihen ek{z) :=
11.4 * Eisenstein-Theorie trigonometrischer Funktionen..........300
11.4.1 Additionstheorem................................301
11.4.2 Eisensteins Grundformeln .........................301
11.4.3 Weitere Eisensteinsche Formeln und die Identität
ει (ζ) = π
11.4.4 Skizze der Theorie der Kreisfunktionen nach Eisenstein 304
12. Laurentreihen und Fourierreihen .........................307
12.1 Holomorphe Funktionen in Kreisringen und Laurentreihen . . . 307
12.1.1 Cauchy
12.1.2 Laurentdarstellung in Kreisringen..................310
12.1.3 Laurentent-wicklungen.............................311
12.1.4 Beispiele ........................................313
12.1.5 Historisches zum Satz von Laurent .................314
Inhaltsverzeichnis XIX
12.1.6 * Herleitung das Satzes
Cauchy-Taylor...................................315
12.2 Eigenschaften von Laurentreihen .........................319
12.2.1 Konvergenzsatz und Identitätssatz..................319
12.2.2 Gutzinersche Formel und Cauchysche Ungleichungen . . 321
12.2.3 Charakterisierung isolierter Singularitäten...........321
12.3 Periodische holomorphe Funktionen und Fourierreihen ......323
12.3.1 Streifengebiete und Kreisringe .....................323
12.3.2 Periodische holomorphe Funktionen in Streifengebieten 324
12.3.3 Fourierentwickhmg in Streifengebieten ..............325
12.3.4 Beispiele........................................326
12.3.5 Historisches zu Fourierreihen.......................327
12.4 Die Thetafunktion......................................327
12.4.1 Konvergenzsatz ..................................328
12.4.2 Konstruktion doppelt-periodischer Funktionen.......329
12.4.3 Die Fourierrcihe von
12.4.4 Transformationsfonnel der Thetafunktion ...........332
12.4.5 Historisches zur Thetafunktion.....................333
12.4.6 Über das Fehlerintegral ...........................334
13. Residuenkalkül ...........................................339
13.1 Residuensatz...........................................339
13.1.1 Einfach geschlossene Wege.........................339
13.1.2 Das Residuum...................................342
13.1.3 Beispiele ........................................344
13.1.4 Residuensatz.....................................346
13.1.5 Historisches zum
13.2 Folgerungen aus dein Residuensatz .......................348
13.2.1 Das Integral
13.2.2 Anzahlformel für Null- und Polstellen................349
13.2.3 Satz von
14. Bestimmte Integrale und Residuenkalkül .................355
14.1 Berechnung von Integralen...............................355
14.1.1 Ulieigentliche Integrale............................355
14.1.2 Trigonometrische Integrale /()
14.1.3 Uneigentliche Integrale ¡^ f(x)dx.................358
14.1.4 Das Integra] f™ f^rdx für nun
14.2 Weitere Integralauswertungen............................3(51
14.2.1 Uneigentliche Integrale ¡^ g(x)&axdx..............361
14.2.2 Uneigentliche Integrale ¡¿° q(x)x -1dx..............363
14.2.3 Die Integrale
14.3 Ganßsche Summen .....................................368
14.3.1 Abschätzung von
XX
14.3.2 Berechnung
η
14.3.3 Direkter residuentheoretischer Beweis der Formel
J^e-ŕ2dí=4A
14.3.4 Fourierreihen der Bernoullischen Polynome.......... 373
Kurzbiographien von Abel, Cauchy, Eisenstein, Euler, Riemann
und Weierstraß...........................................375
Literatur .....................................................381
Namensverzeichnis ...........................................391
Symbolverzeichnis............................................395
Sachverzeichnis...............................................397
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