Méthodes explicites de l'optimisation:
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| Published: |
Paris
Dunod
1982
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| Series: | Méthodes mathématiques de l'informatique
10. |
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I|re__eart1e PROGRAMMATION QUADRATIQUE
1. Rappels d algèbre linéaire 3
1.1 L espace IR 3
1.2 L espace dual « * 4
1.3 L espace vectoriel £ (tR ,R ) 5
1.4 Transposition 8
1.5 Formes bilinéaires 10
1.6 Normes sur Rn 11
1.7 Gradient d une fonction 14
1.8 Différentiabilité d une application
2. Minjmisation de la distance S un objectif sous contraintes d égalité lg
2.1 Produits scalaires jo
2.2 Inégalité de Cauchy Schwarz jq
2.3 Exemples de produits scalaires 20
2.4 Théorème d existence et d unicité de la solution optimale 26
2.5 Un problème de minimlsation plus général 30
2.6 Différentiabilité par rapport à 1 opérateur des contraintes 32
2.7 Ponctions de demande et classification des biens 3g
2.8 Economies d échange ; construction du prix d équilibre walrasien 47
3. Inverses à droite et â gauche orthogonaux 54
3.1 Inverse à droite orthogonal 55
3.2 Premier principe de décomposition, production optimale de biens 59
intermédiaires
3.3 Inverse à gauche orthogonal SI
3.4 Second principe de décomposition 65
3.5 Troisième principe de décomposition 66
3.6 Quatrième principe de décomposition 67
4. Introduction au contrôle optimal des systèmes discrets 71
4.1 Le problème de contrôle optimal des systèmes linéaires discrets 72
4.2 Le principe de Pontryagine 73
4.3 Calcul du contrôle optimal et de la trajectoire optimale 75
4.4 Interprétation marginale des solutions du système adjoint 78
4.5 Programmation dynamique. Principe d optimalité 78
5. Algorithmes de simplification de la fonction de perte et de relâchement 82
des contraintes
5.1 L algorithme de simplification 83
5.2 algorithmes de résolution d équations linéaires (I) 87
5.3 Majoration a posteriori de l erreur 87
on
5.4 Décroissance de la distance à l objectif
5.5 Remarques sur le choix du produit scalaire
5.6 L algorithme de prédiction
5.7 Algorithmes de décentralisation
5.8 L algorithme de tâtonnement
5.9 L algorithme de synthèse
5.10 Une méthode de pénalisation
2ême partie PROGRAMMATION CONVEXE
6. Problèmes de minimisation généraux 107
6.1 Définitions : fonctions indicatrices, épigraphes et sections 107
6.2 Fonctions semi continues intérieurement m
6.3 Théorème général d existence 13
6.4 Fonctions convexes 11 ^
6.5 Le théorème de proximation et le théorème des projections 11°
6.6 Théorèmes de séparation 121
7. Fonctions conjuguées et dualité 125
7.1 Caractérisation des fonctions convexes semi continues intérieurement l26
7.2 Le théorème de Fenchel 129
7.3 Exemples : fonctions conjuguées de fonctions quadratiques 133
7.4 Propriétés des fonctions conjuguées 134
7.5 Fonctions d appui d ensembles convexes 137
8 Calcul sous différentiel 140
8.1 Dérivées à droite de fonctions convexes 142
8.2 Sous différentiels de fonctions convexes 144
8.3 Sous différentiels de fonctions convexes continues 145
8.4 Sous différentiels de fonctions convexes semi continues 146
intérieurement
8.5 Calcul sous différentiel 148
8.6 Cônes normaux à des ensembles convexes 150
9. Résolution des problèmes deminiinisation convexes 153
9.1 La règle de Fermât 153
9.2 Problèmes quadratiques généraux 159
9.3 Problèmes de minimisation sous contraintes d égalité 160
9.4 Problèmes de minimisation sous contraintes d inégalité 161
9.5 Principe de décentralisation par les prix 162
3ême partie MODELES QUADRATIQUES DE L ECONOMIE
10. Sur l allocation optimale des ressources 167
10.1 Le problème de l allocation optimale d un bien entra n consommateurs 168
10.2 Calcul de l allocation optimale d un bien 169
10.3 Le principe de décentralisation par les prix 171
10.4 Interprétation marginale du prix 172
10.5 Optimalité au sens de Pareto 172
10.6 Allocations optimales et allocations d équilibre walraslen 175
10.7 Algorithme de tâtonnement de Walras 176
10.8 Principe de décentralisation par les ressources 178
10.9 Principe de décentralisation par les ressources et les prix 180
10.10 Calcul des productions et consommations optimales 182
10.11 L algorithme de synthèse 186
11. Economies d échange temporelles 188
11.1 Facteurs d escompte et taux d intérêt 188
11.2 Consommation et épargne pendant la période initiale 190
11.3 Calcul de la consommation et de l épargne 193
11.4 Modèle stationnaire de formation de l épargne I94
11.5 Evolution de l épargne i9S
11.6 Equilibre temporel : formation des taux d intérêt 198
11.7 Influence de la variation des prévisions de prix sur les facteurs 202
d actualisation
12. Equilibres non coopératifs 204
12.1 Définition des équilibres collectifs non coopératifs 205
12.2 Existence d équilibres collectifs non coopératifs 207
12.3 Définition des équilibres non coopératifs (de Nash) 21°
12.4 Propriétés supplémentaires des équilibres non coopératifs 213
12.5 L algorithme de simplification dans le cas des jeux non coopératifs 215
12.6 Démonstration de la convergence 217
12.7 Algorithme de résolution d équations linéaires (II) 220
12.8 Algorithme de tâtonnement dans le cas de jeux non coopératifs 221
13. Modèles de production par maximisation du profit 224
13.1 Le comportement des consommateurs face à la production 225
13.2 Cas de la production par un monopole 226
13.3 Production optimale de biens publics 227
13.4 Cas de la production par un oligopole : équilibre de Walras Cournot 230
Annexe Présentation du programme MODULECO 237
Exercices 255
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