Méthodes de lagrangien augmenté: applications à la résolution numérique de problèmes aux limites
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| adam_text | Table des matières
CHAPITRE I METHODES DE LAPRANGIEN AUGMENTE EN PROGRAMMATION
QUADRATIQUE, M. FORTIN, R. GLOWINSKI
1 . Principe de la méthode 1
2. Un premier algorithme de point selle 3
2.1. Description de 1 algorithme 3
2.2. Résultats de convergence •• 4
2.3. Interprétation de l algorithme (2.l) (2.3). Taux de convergence 6
si p = p et choix de r
n
3. Algorithmes à pas variable. Méthode du gradient conjugué 16
3.1. Généralités 16
3.2. Application à la minimisation de J 19
4. Sur certaines variantes des méthodes du N° 2 : Introduction d un para 24
mètre de relaxation. Méthode d Arrow Hurwicz
4.1. Orientation 24
4.2. Etude de l algorithme (4.1) (4.4) 25
4.3. Etude de l algorithme (4.6) (4.8) 32
4.3.1. Généralités 32
4.3.2. Réduction de (4.6) (4.8) à la forme discrète d un système 32
différentiel du deuxième ordre
4.3.3. Convergence de l algorithme (4.6) (4.8) 33
5. Remarques diverses et commentaires 40
CHAPITRE II APPLICATION AUX EQUATIONS DE STOKES ET DE NAVIER
STOKES, M. FORTIN, F. THOMASSET
1 ¦ Introduction 45
1.1. Motivation 45
1.2. Position du problême 45
1.3. Problème de Stokes et programmation quadratique 47
2. Discrétisation du problème de Stokes 50
3. Algorithmes et discussion des résultats 54
3.1. Formulation explicite des algorithmes 54
3.2. Résultats et commentaires 59
3.2.1. Algorithmes d Uzawa à pas constant 59
3.2.2. Effet de la résolution incomplète de (3.3) 63
3.2.3. Méthodes à pas variable et gradient conjugué ¦. 67
3.2.4. Algorithmes avec paramètre de relaxation 67
3.2.5. Algorithmes du type Arrow Hurwicz 69
3.2.6. Conclusions 70
4. Equations de Navier Stokes. Cas non linéaire stationnaire 71
4.1. Position du problême 71
XII
4.2. Algorithme de base 73
5. Variantes et approximations de l algorithme de base du N 4 78
5.1. Variantes de type Uzawa 78
5.2. Variantes de type Arrow Hurwicz 81
5.3. Résultats numériques 81
6. Equations de Navier Stokes. Cas d évolution 82
6.1. Position du problème 82
6.2. Algorithmes de résolution 85
7. Commentaires généraux sur le Chapitre II 89
CHAPITRE III SUR DES METHODES DE DECOMPOSITION COORDINATION
PAR LAGRANGIENS AUGMENTES, «• FORTIN, R. GLOWINSKI
1 . Introduction 91
1.1. Motivation. Exemples 91
1.2. Principe de la méthode 93
2. Etude du problème (P) et des points selle de ^et^r 97
2.1. Propriétés d existence et d unicité pour le problème (P) 97
2.2. Propriétés des points selle de ad et at 97
2.3. Relations avec la théorie des perturbations en Analyse Convexe ..99
3. Description des algorithmes 101
3.1. Un premier algorithme 101
3.2. Un deuxième algorithme 103
3.3. Application aux exemples du H 1 104
4. Convergence de ALG1 106
4.1. Cas général 106
4.2. Cas de la dimension finie 109
4.3. Sur le choix de r et de {p } 112
n n
5. Convergence de ALG2 115
5.1. Cas général 115
5.2. Cas de la dimension finie 119
5.3. Commentaires. Choix de p et de r 119
6. Applications à quelques problèmes non linéaires 120
6.1. Orientation 120
6.2. Cas des exemples du N° 1.1 (Ecoulement d un fluide de Bingham et 120
torsion élasto plastique)
6.3. Un problème de Dirichlet non linéaire 120
6.4. Application à la résolution de systèmes faiblement non linéaires 123
et relations avec les méthodes de directions alternées
7. Application à des problèmes de programmation non linéaire 127
7.1. Un lagrangien augmenté dans le cas de contraintes d inégalité ... 127
7.2. Minimisation d une fonctionnelle sur une intersection de convexes 128
7.2.1. Position du problème 1 28
7.2.2. Résolution du problème par ALG1 et ALG2 130
7.3. Application à la résolution du problème de Weber 132
7.3.1. Formulation du problème 132
7.3.2. Introduction d un lagrangien augmenté pour la résolution 132 I
du problème de Weber !
7.3.3. Application de ALG2 à la résolution du problème de Weber .133
XIII
7.3.4. Applications numériques 134
8. Commentaires généraux sur le Chapitre III 136
CHAPITRE IV RESOLUTION NUMERIQUE DE PROBLEMES FAIBLEMENT NON
LINEAIRES PAR DES METHODES DE LAGRANGIEN AUGMENTE
M. FORTIN, R. GLOWINSKI, T. F. CHAN
1. Introduction 137
2. Une classe de problèmes elliptiques faiblement non linéaires 138
2.1. Formulation du problème 1 38
2.2. Approximation du problème (2.5),(2.6) par des méthodes d éléments 140
finis
3. Lagrangien augmenté et décomposition du problème (2.5),(2.6) 142
3.1. Construction du lagrangien augmenté. (I) Cas continu 142
3.2. Construction du lagrangien augmenté. (II) Cas discret 143
4. Algorithmes de résolution du problème approché. Commentaires 146
5. Expériences numériques 150
5.1. Formulation d un problème modèle. Généralités 150
5.2. Commentaires sur la mise en oeuvre et la convergence de ALG1 et 151
ALG2
5.3. Commentaires sur le choix des paramètres p et r 154
6. Quelques remarques sur les méthodes hybrides 155
7. Commentaires généraux sur le Chapitre IV 158
CHAPITRE V APPLICATION A LA RESOLUTION DE PROBLEMES AUX
LIMITES D ORDRE DEUX FORTEMENT NON LINEAIRES
M. FORTIN, R. GLOWINSKI, A. MARR0CC0
1 . Introduction 159
2. Cadre général des problèmes du Chapitre V 159
3. Une classe de problèmes de Dirichlet non linéaires 151
3.1. Formulation des problèmes. Lagrangiens augmentés 161
3.1.1. Le cas continu 161
3.1.2. Les problèmes approchés 162
3.2. L algorithme de base et ses propriétés de convergence 164
3.3. Expériences numériques 169
3.4. Contraintes de continuité portant sur le gradient : Méthodes de 172
pénalité à 1 intérieur
4. Un problème de Magnéto Statique 173
4.1. Formulation du problème 173
4.2. Formulation du problème approché 176
4.3. Expériences numériques 177
5. Calcul d écoulements potentiels subsoniques et transsoniques de fluides
parfaits compressibles 180
5.1. Formulation du problème 180
5.2. Formulation par lagrangien augmenté. Algorithme de résolution ... 182
6. Autres applications 185
6.1. Ecoulement d un fluide visco plastique de Bingham dans une con 185
duite cylindrique
XIV
6.1.1. Formulation du problème 185
6.1.2. Résolution par des méthodes de lagrangien augmenté 186
6.1.3. Résultats numériques 187
6.2. Torsion élasto plastique d une barre cylindrique 188
6.2.1. Formulation du problème 188
6.2.2. Résolution de (6.13),(6.14) par des méthodes de lagrangien 190
augmenté
6.2.3. Résultats numériques 191
6.3. Application à la résolution du problème des surfaces minima 192
6.3.1. Formulation du problème 192
6.3.2. Résolution du problème (6.21) par des algorithmes de lagran¬
gien augmenté 193
6.3.3. Résultats numériques 194
7. Commentaires sur le Chapitre V 195
chapitre vi application de l algorithme alg2 a un probleme
d elasto plasticite bidimensionnel, b. mercier
Introduction 203
1 . Le problème continu 204
2. Le problème (P) 205
3. Approximation par éléments finis 206
4. Application de l algorithme ALG2 208
5. Convergence de l algorithme ALG2 210
6. Application numérique 211
6.1. Description du problème mécanique 211
6.2. Choix des constantes 212
6.3. Méthode du gradient 213
6.4. Méthode du gradient conjugué 214
6.5. Choix des paramètres pour l algorithme ALG2 215
7. Commentaires 216
CHAPITRE VU APPLICATION A LA SIMULATION NUMERIQUE d eCOULE
MENTS BiniMENSIONNELS DE FLUIDES VISCO PLASTIQUES
INCOMPRESSIBLES, D. BEGIS, R. GLOWINSKI
1. Généralités. Orientation 219
2. Formulation des écoulements de Bingham en utilisant la vitesse et la 219
pression
3. Formulation des écoulements de Bingham utilisant une fonction de courant221
4. Approximation du problème stationnaire 222
4.1. Orientation. Formulation du problème stationnaire 222
4.2. Approximation de (4.1),(4.2) par une méthode d éléments finis mixtes 223
4.3. Résolubilité du problème (4.11) 225
4.4. Convergence des solutions approchées 225
4.5. Approximation utilisant l intégration numérique 226
5. Approximation du problème d évolution (3.7) 226 1
5.1. Semi discrétisation par rapport au temps 226 )
5.2. Discrétisation totale de (3.7) 227
XV
6. Résolution de (4.1),(5.2) par des méthodes de lagrangien augmenté 228
6.1. Orientation 228
6.2. Le problème modèle. Introduction d un lagrangien augmenté 228
6.3. Application de ALG1 à la recherche d un point selle de J. 230
6.4. Sur des variantes de l algorithme (6.6) (6.8) 231
7. Expériences numériques 233
7.1. Formulation du problème test 233
7.2. Résultats numériques 234
CHAPITRE VIII APPLICATION A LA RESOLUTION DE PROBLEMES
D ELASTICITE NON LINEAIRE FINIE
J.F. BOVRGAT, R. GLOWINSKI, P. LE TALLEC
1. Généralités. Orientation 241
2. Décomposition des problèmes variationnels. Algorithmes associés 242
2.1. Une famille de problèmes variationnels 242
2.2. Un principe de décomposition 243
2.3. Un lagrangien augmenté associé à (tt) 244
2.4. Un premier algorithme de résolution de (P) 245
2.5. Un deuxième algorithme de résolution de (P) 246
2.6. Remarques sur le choix de p et r 247
2.7. Relations avec les méthodes de directions alternées. Autres commen 247
taires
2.7.1. Relations entre les algorithmes (2.17) (2.20), (2.21) (2.25) 247
et certaines méthodes de directions alternées
2.7.2. Interprétation des algorithmes (2.17) (2.20) et (2.21 ) (2.25)248
en termes d intégration numérique d équationsd évolution ..
2.7.3. Autres commentaires 249
3. Applications en Elasticité Non Linéaire Finie. (I) Calculs, en grands
déplacements, des positions d équilibre de pipe lines inextensibles
et flexibles 249
3.1. Formulation du problème 249
3.1.1. Généralités 250
3.1.2. Hypothèses simplificatrices 250
3.1.3. Modélisation des problèmes statiques 251
3.2. Résultats d existence de solution pour le problème statique 252
3.3. Résolution numérique du problème statique. (I) Généralités 252
3.4. Résolution numérique du problème statique. (II) Approximation .... 253
2
3.4.1. Approximation de l espace H (0,L) et de la fonctionnelle J 253
3.4.2. Approximation de S 254
3.4.3. Approximation du problème (3.2) 255
3.4.4. Convergence des solutions approchées 255
3.5. Résolution numérique du problème statique. (III) Méthodes itêrati
ves de résolution °
3.5.1. Généralités et orientation 256
3.5.2. Résolution du problème (3.2) par une méthode de lagrangien
9 c Q
augmente ZJ°
3.5.3. Une première méthode itérative utilisant^r 259
3.5.4. Une seconde méthode itérative utilisant^ 260
3.6. Expériences numériques 262
3.6.1. Description des problèmes tests 262
3.6.2. Renseignements complémentaires concernant la résolution
numérique 262
XVI
3.6.3. Présentation des résultats numériques 263
3.6.4. Autres commentaires 266
4. Application en Elasticité Non Linéaire Finie. (II) Calcul en dimension
deux des grands déplacements et des grandes déformations pour des maté¬
riaux incompressibles de type Mooney Rivlin 267
4.1. Orientation 267
4.2. Formulation du problème 267
4.2.1 . Notations. Hypothèses mécaniques 267
4.2.2. Formulationsmathématiques 268
4.2.2.1. Formulation par minimisation de la fonctionnelle
d énergie 268
4.2.2.2. Formulation par équations d équilibre 269
4.2.2.3. Formulation par lagrangien augmenté 269
4.2.2.4. Sur quelques relations entre les formulations
(4.6),(4.8) et (4.12) 269
4.3. Résolution du problème (4.12) 270
4.3.1. Un premier algorithme pour résoudre (4.12) 270
4.3.2. Un second algorithme pour résoudre (4.12) 271
4.4. Essais numériques 273
5. Quelques remarques sur l application des algorithmes du N° 2 à la réso¬
lution de problèmes de valeurs et vecteurs propres 274
CHAPITRE IX APPLICATION DE LA METHODE DES MULTIPLICATEURS
AUX INEQUATIONS VARIATIONNELLES, D. GABAY
1 . Introduction 279
1.1. Opérateurs monotones 279
1.2. La méthode des multiplicateurs 281
2. L algorithme de proximité 284
3. Inéquations variationnelles en dualité 289
4. La méthode des multiplicateurs pour les inéquations variationnelles .. 291
5. Décomposition par les multiplicateurs : (I) Méthodes de directions
alternées 296
5.1. Variante Douglas Rachford de la méthodes des multiplicateurs :
1 algorithme ALG2 297
5.2. Variante Peaceman Rachford de la méthode des multiplicateurs :
l algorithme ALG3 301
6. Décomposition par les multiplicateurs : (II) Méthodes de projection .. 303
7. Commentaires généraux 307
Bibliographie 309
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