Analytische Geometrie:
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Inhaltsverzeichnis
Seit«
Literaturverzeichnis 6
I. Einleitung 7
II. Die Vektoralgebra
1. Definition der gebundenen und freien Vektoren 7
2. Die Addition von Vektoren 9
3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 9
4. Die Subtraktion von Vektoren 10
5. Beispiele 12
6. Der Begriff der linearen Abhängigkeit 16
7. Das innere Produkt (skalares Produkt) 17
8. Das äußere Produkt (vektorielles Produkt) 20
9. Das Spatprodukt 22
10. Das dreifache Vektorprodukt 24
11. Mehrfache Produkte 26
III. Das Koordinatensystem
1. Darstellung der Vektoren durch Zahlentripel 26
2. Das Rechnen mit Spaltendarstellungen 28
3. Anwendungen und einfache Beispiele 30
IV. Geraden und Ebenen
1. Die Hessesche Normalform : 32
2. Ebene durch zwei sich schneidende Geraden 35
3. Ebene durch Punkt und Gerade 85
4. Schnitt von Ebene und Gerade 36
5. Schnitt zweier Ebenen 87
6. Das Ebenenbüschel, das Ebenenbündel 38
7. Winkel zweier Ebenen 40
8. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden 41
9. Windschiefe Geraden 42
10. Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden 44
11. Das hyperbolische Parabolold 46
12. Projektion auf eine Ebene 50
13. Spiegelung am Punkt, an der Geraden, an der Ebene 51
V. Kugeln
1. Die Kugelglelchung 52
2. Schnitt von Gerade und Kugel. KugelUngenten 53
3. Die Potenz eines Punktes für die Kugel 64
4. Der Schnitt zweier Kugeln 55
5. Die Potenzebene zweier Kugeln, die Potenzgerade 58
4 Inhaltsverzeichnis
VI. Der Matrizenkalkül Seite
1. Definition und Multiplikation von Matrizen 60
2. Die Addition von Matrizen, Multiplikation einer Matrii mit einer
Zahl 64
3. Die Nullmatrix, die Einheitsmatrix, das Transponieren 65
4. Determinante einer Matrix, adjungierte Matrix, inveree Matrix 66
5. Einige Folgerungen 67
6. Zeilen und Spaltendarstellungen von Matrizen 68
7. Abriß über lineare Gleichungen 71
VII. Affine Abbildungen
1. Die Farallelverschiebung 74
2. Definition der affinen Abbildung 75
3. Einfache Eigenschaften der Affinität 78
4. Weitere Eigenschaften der Affinität, Determinante der Abbil¬
dung, ausgeartete Affinitäten. Scherungsaffinitaten 89
6. Bestimmung einer Affinität durch Original und Bildpunkte 81
6. Die Parallelprojektion 82
7. Die affine Gruppe 83
VIII. Bewegungen
1. Definition und Eigenschaften 85
2. Der Orthogonalislerungsprozeß, Konstruktion orthogonaler
Matrizen 87
3. Einführung eines neuen Koordinatensystems 87
4. Fixelemente von Bewegungen 89
5. Eigentliche Bewegungen 92
6. Uneigentliche Bewegungen (TTmlegungen) 91
7. Tabellarische Übersicht 96
8. Die Gruppe der Bewegungen 97
IX. Ahnliche (äquiforme) Abbildungen
1. Definition der ähnlichen Abbildung 98
2. Einfache Eigenschaften der ähnlichen Abbildung 99
X. Die Flächen 2. Ordnung
1. Definition der F, 100
2. Klassifikation und Aufzählung der F, 101
8. Kurze Beschreibung der J, 105
4. Schnitt von Gerade und Quadrik, Tangentialebene, Doppelpunkt HO
5. Diametralebenen (Durchmeaserebenen) einer Quadrik H2
6. Mittelpunkte und Mittelpunktaquadriken 113
7. Die Hauptachaentransformation 115
8. Das charakteristische Polynom 116
9. Eigenwerte und Eigenvektoren 118
10. Durchführung der Hauptachaentransformation l20
11. Beispiele 122
12. Der Bang orthogonal äquivalenter Matriien 124
13. Die Dlskrimlnante 126
14. Kennzeichnung der Quadriken durch Invarianten 126
Inhaltsverzeichnis 5
Seite
15. Spezielle Quadrikenklassen: Diametralebenengesamtheit einer
Quadrik 134
16. Die Richtkegel und der Asymptotenkegel einer Quadrik 136
17. Ebene Schnitte einer Quadrik 138
18. Die Kleisschnittebenen einer Quadrik 143
19. Daa System konzyklischer Quadriken 151
20. Geschichtliches über die Quadriken 152
XI. Einführung in die Projektive Geometrie des Raumes
1. Homogene Punkt und Ebenenkoordinaten, der projektive Raum 155
2. Das Dualitätsprinzip 158
3. Kollineationen, Korrelationen 162
4. Die Projektive Geometrie, einfache Invarianten 163
5. Der Hauptsatz der Projektiven Geometrie 165
6. Die linearen Gebilde des P, und projektive Koordinaten derselben 167
7. Einstufige Gebilde, das Doppelverhaltnis 168
8. Weitere Eigenschaften des Doppelverh ltnisses; harmonische
Punktepaare 173
9. Involutionen 175
XII. Behandlung der Quadriken im Rahmen der
Projektiven Geometrie
1. Flächen zweiter Ordnung und Flachen zweiter Klasse 177
2. Das slngul re Gebilde einer F, bzw. F1: der Rang 177
3. Tangente, Berührungsebene, Berührungspunkt 179
4. Konjugierte Elemente in bezug auf ein quadratisches Gebilde . 182
5. Pol und Polarebene 184
6. Äeziproke Polaren 186
7. Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STAUDT 187
8. Die projektive Erzeugung von Quadriken nach STEINER 189
9. Die projektive Erzeugung von Quadriken nach MAGNUS. 192
10. Die projektive Erzeugung von Quadriken nach SEYDEWITZ . 193
11. Der Tragheitssatz für quadratische Formen 195
12. Die projektive Einteilung der Ft bzw. F' 196
XIII. Ergänzungen 200
1. Vektorr ume 200
2. Lineare Abbildungen und Matrizen 204
3. Dualer Raum, Inneres Produkt 207
4. Tensorprodukt, äußere Produkte 208
5. Normierte Vektorr ume 211
6. KLEINsche Räume. Erlanger Programm 212
Namen und Sachverzeichnis 216 |
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