Kreis und Kugel:
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Berlin
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1956
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Inhalt
Erster Teil
Die Minimumeigenschaft des Kreises
Seite
§ 1. Das Viergelenkverfahren von Steiner 1
§ 2. Die Existenzfrage 3
§ 3. Flächeninhalt von Vielecken 5
§ 4. Anwendung des Viergelenkverfahrens auf Vielecke 7
§ 5. Existenzbeweis für Vielecke 9
§ 6. Gleichseitige Vielecke und trigonometrische Ausdrücke 13
§ 1. Bogenlänge einer Kurve 20
§ 8. Annäherung einer Kurve durch Vielecke 23
§ 9. Funktionen beschränkter Schwankung 26
§ 10. Flächeninhalt einer geschlossenen Kurve • . . 28
§ 11. Lösung der isoperimetrischen Aufgabe in der Ebene 30
§ 12. Anwendungen 32
§ 13. Über den Integralbegriff 34
§ 14. Geschichtliches, Literatur 38
Zweiter Teil
Die Minimumeigenschaft der Kugel
§ 15. Ein Beweisansatz Steiners.
I. Problemstellung 43
II. Steiners Symmetrisierung 44
III. Kritik an Steiners Beweis 46
§ 16. Konvexe Körper und konveie Funktionen
I. Konvexe Funktionen zweier Veränderlicher 47
II. Festlegung eines konvexen Körpers durch Ungleichheiten . 49
III. Konvexe Funktionen einer Veränderlichen 51
IV. Stützgeraden, Stützebenen 53
V. Konvexe Hülle einer Punktmenge. Konvexe Vielflache . 54
VI. Die Stützfunktion 55
§ 17. Rauminhalt und Oberfläche
I. ^Rauminhalt und Oberfläche bei Vielflachen 56
II. Annäherung durch Vielflache 56
VI Inhalt
Seite
III. Erklärung von Rauminhalt und Oberfläche bei beliebigen
konvexen Körpern 58
IV. Konvergente Folgen konvexer Körper 59
V. Stetigkeitseigenschaft von Inhalt und Oberfläche . 61
§ 18. Eine Erweiterung des Satzes von Bolzano und Weierstrass über
die Existenz eines Häufungspunktes
I. Der Auswahlsatz für konvexe Körper 62
II. Das Diagonalverfahren von Cantok 63
III. Konvergenz der ausgewählten Folge 64
IV. Übereinstimmung mit der früheren Erklärung der Kon¬
vergenz 65
V. Eine zweite Fassung des Konvergenzbegriffs 66
§ 19. Die Symmetrisierung von Steiner
I. Symmetrisierung konvergenter Körperfolgen 68
II. Wirkung auf Inhalt und Oberfläche 70
III. Symmetrisierung der Näherungsvielflache 71
IV. Anwendung eines Mittelwertsatzes von Holder . • . . 73
V. Einführung der gefundenen Abschätzung 74
VI. Die Ungleichheit von H. A. Schwarz 75
VII. Verkleinerung der Oberfläche 76
VIII. Die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel 78
§ 20. Ergänzende Bemerkungen
I. Über die Beschränkung auf konvexe Vergleichskörper . . 79
II. Über die Existenz eines Doppelintegrals 82
III. Die Begriffe „konvexer Körper" und „konvexe Funktion" 83
Dritter Teil
Ergebnisse über konvexe Körper von Schwarz,
Brunn und Minkowski
§ 21. Eine Konstruktion von Schwarz und ein Satz von Beunn
I. Konstruktion von H. A. Schwabz 86
II. Konvergenzbeweis 87
III. Über den Schwerpunkt 89
IV. Ein Satz von H. Bbunn 90
V. Ein Satz von H. A. Schwarz 92
§ 22. Sätze von Brunn und Minkowskc
I. Lineare Scharen und konvexe Scharen konvexer Körper . 92
II. Symmetrisierung konvexer Scharen 95
III. Beweis des Satzes von Brdnk über die Bauminhalte der
Körper einer linearen Schar 96
Inhalt VII
Seite
IV. Symmetrisierung linearer Scharen 98
V. Mikkowskis Ergänzung zum Satze von Bbdnn . 100
VI. Ungleichheiten von Minkowssi 101
VII. Über einen zweiten Beweis für Jf' 4jiOao • • • 103
§ 23. Ergänzungen
I. Literatur 104
II. Ein Lemma von Wirtinoek 105
III. Anwendung 106
IV. Übertragung von Wirtinoers Lemma auf die Kugel . . 108
V. Formel von Minkowski für die Oberfläche 109
VI. Konvexe Funktionale 111
Vierter Teil
Neue Aufgaben über Extreme bei konvexen Körpern
§ 24. Bestimmung der größten Kugel, die in einer konvexen Fläche un¬
behindert rollen kann.
I. Über Differentialgeometrie im großen 113
II. Kleinster und größter Krümmungskreis einer konvexen
Kurve 114
III. Ein duales Analogon der Formel von Edler über die
Flächenkrümmung 111
IV. Lösung der räumlichen Frage 118
§ 25. Krümmungsbeschränkungen bei konvexen Flächen.
I. Problemstellung und Zurückführung auf DrehflSchen . . 119
II. Anwendung der Konstruktion von Schwarz 120
III. Invarianz des Durchmessers 121
IV. Ein Satz von Bikbebbach 122
V. Verhalten des Krümmungsmaßes bei der Symmetrisierung 123
VI. Verhalten des Krümmungsmaßes beim Grenzübergang . 126
VII. Vorbereitungen zum Beweise für Drehflächen 129
VIII. Spindelförmige Drehflächen konstanten Krümmungsmaßes 130
IX. Ergebnisse 133
X. Ein Satz von 0. Bonnet 134
§ 26. Andere Krümmungsbeschränkungen
I. Problemstellung und Znrückführung auf Drehflächen . . 136
II. Die Versteifung 137
III. Differentialgeometrie der Stützfunktion 138
IV. Verhalten des Krümmungsmaßes bei der Versteifung . . 141
V. Käscförmige Drehflächen konstanten Krümmungsmaßes . 142
VI. Verhalten der mittleren Krümmung beim Versteifen . . 144
Vlir Inhalt
Anhang
Ausblick auf weitere Untersuchungen über konvexe Körper Seite
I. Flächeninhalte der Normalrisse 147
II. Umfange der Normalrisse 148
III. Minkowskis Körper konstanter Breite 150
IV. Körper konstanter Helligkeit 151
V. Integraldarstellung konvexer Körper mit Mittelpunkt . . 154
VI. Formeln für Mittelpunkteiflächen 155
VII. Kennzeichnung des Ellipsoids 157
VIII. Mindestzahl der Scheitel einer Eilinie 160
IX. Weitere Literatur zur Differentialgeometrie der Eiflächen 162
Sachverzeichnis Namenverzeichnis 165 |
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