Remarks on the foundations of mathematics: = Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German English |
| Published: |
Oxford
Blackwell
1967
|
| Edition: | 2. ed. |
| Series: | Massachusetts Institute of Technology <Cambridge, Mass.>: MIT paperback series
74 |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XIXe,204 S. |
| ISBN: | 0631110305 |
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Teil I
1-5. Das Problem des Regelfolgens. (Vgl. Philosophische Unter¬
suchungen §§189, 190, etc.) — Übergänge durch eine Formel
bestimmt (1-2). Fortsetzung einer Reihe (3). Unerbittlichkeit der
Mathematik; Mathematik und Wahrheit (4-5). Bemerkung über
das Messen (5).
6-23. Das logische Schließen. — Das Wort alle ; der Schluß aus
x).fx auf Ja (10-16). Schließen und Wahrheit (17-23).
24-74. Der Beweis. — Der Beweis als Figur oder Muster, Paradigma.
Hand-und-Drudenfuß-Beispiel (25, etc.). Der Beweis als Bild
eines Experiments (36). Das 100-Kugeln-Beispiel (36, etc.).
Zusammenlegen von Figuren aus Teilen (42-72). Die mathema¬
tische Überraschung. Beweis und Überzeugung. Mathematik
und Wesen (32, 73, 74). Die Tiefe des Wesens: das tiefe Bedürfnis
nach der Übereinkunft (74).
75-105. Rechnung und Experiment. — Das Entfalten von mathema¬
tischen Eigenschaften. Das 100-Kugeln-Beispiel (75, 86, 88).
Entfalten von Eigenschaften eines Vielecks (76), einer Kette (79,
80, 91, 92). Messen (93, 94). Geometrische Beispiele (96-98).
Interne Eigenschaften und Relationen (102-105); farbenlogische
Beispiele.
106-112. Der mathematische Glaube.
113-141. Der logische Zwang. — Inwiefern ist das logische Argument
ein Zwang? (113-117). Die Unerbittlichkeit der Logik mit der
des Gesetzes verglichen (118). Die logische Maschine und die
Kinematik starrer Körper (119-125). Die Härte des logischen
Muß (121). Die Maschine als Symbol für ihre Wirkungsweise
(122). Die Verwendung eines Wortes mit einem Schlag erfassen
(123-130). Die Möglichkeit als Schatten der Wirklichkeit (125).
Die unverstandene Verwendung des Wortes als seltsamer Vorgang
gedeutet (127). (Zu 122-130 vgl. Philosophische Untersuch¬
ungen §§ 191-197.) Die Gesetze der Logik als Denkgesetze
(131-133). Sich in einer Rechnung irren (134-136). Bemerkung
über Messen (139). Logische Unmöglichkeit (140). Was wir
liefern, sind eigentlich Bemerkungen zur Naturgeschichte des
Menschen (141).
ix
TABLE OF CONTENTS
Part I
1-5. Following a rule (Cf. Philosophkal Investigations §§ 189-90 ff.).—
Steps determined by a formula (1-2). Continuation of a series (3).
Inexorability of mathematics; mathematics and truth (4-5).
Remark on measuring (5).
6-23. Logical inference.—The word all ; inference from x).fx to
fa (10-16). Inference and truth (17-23).
24-74. Proof.—Proof as pattern or model (paradigm). Example: hand
and pentacle (25 ff.). Proof as picture of an experiment (36).
Example: 100 marbles (36 ff.). Construction of figures out of their
parts (42-72). Mathematical surprise. Proof and conviction.
Mathematics and essence (32, 73, 74). The depth of the essence:
the deep need for the Convention (74).
75-105. Calculation and experiment.—The unfolding of mathe¬
matical properties. Example of 100 marbles (75, 86, 88). Un¬
folding the properties of a polygon (76), and of a chain (79, 80,
91, 92). Measuring (93, 94). Geometrical examples (96-98).
Internal properties and relations (102-105); examples from the
logic of colour.
106-112. Mathematical belief.
113-141. Logical compulsion.—In what sense does logical argument
compel? (113-117). The inexorability of logic compared with that
of the law (118). The logical machine and the kinematics of rigid
bodies (119-125). The hardness of the logical musf (121). The
machine as symbolizing its way of working (122). The employ-
ment of a word grasped in a flash (123-130). Possibility as a
shadow of reality (125). The employment of a word misunder-
stood and interpreted as a queer process (127). (For 122-130 see
also Philosophkal Investigations §§ 191-197.) The laws of logic as
laws of thought (131-13 3). Going wrong in a calculation (134-
136). Remark on measuring (139). Logical impossibility (140).
What we are supplying is really remarks on the natural history
of man (141).
ixe
x INHALT
142-155. Begründung eines Rechenvorgangs und eines logischen
Schlusses. — Rechnen ohne Sätze (142-144). Das Holzverkaufen-
Beispiel (142-151). Sind unsre Schlußgesetze ewig und un¬
veränderlich? (154). Die Logik ist vor der Wahrheit (155).
156-169. Mathematik, Logik und Erfahrung. — Beweis und Experi¬
ment (156-161). Was an der Mathematik Logik ist: sie bewegt
sich in den Regeln unserer Sprache (164). Der Mathematiker ist
ein Erfinder, kein Entdecker (167).
Anhang I
1-4. Arten der Sätze. — Arithmetik ohne Sätze betrieben (4).
5-7. Wahrheit und Beweisbarkeit im System der Principia Mathe-
matica .
8-19. Diskussion eines Satzes *P , der seine eigene Unbeweisbarkeit
im System der Principia Mathematica behauptet. — Rolle des
Widerspruchs im Sprachspiel (11-14, 17).
20. Die Sätze der Logik. Satz und satzartiges Gebilde .
Anhang II
1-3. Das Diagonalverfahren. — Der Begriff unabzählbar (2). Ver¬
gleich der Begriffe der reellen Zahl und der Kardinalzahl (3).
4. Die Krankheit einer Zeit.
5. Diskussion des Satzes: Es gibt keine größte Kardinalzahl .
6-7. Irrationalzahlen.
8-9. Xo.
10-13. Diskussion des Satzes: Man kann die Brüche nicht ihrer
Größe nach ordnen .
14. Vergleich von verschiedenen Spielen.
15-16. Diskussion des Satzes, daß die Brüche (Zahlenpaare) in eine
unendliche Reihe geordnet werden können.
17. Das Wort unendlich .
18. Finitismus, Behaviourism. Allgemeine Bemerkungen.
CONTENTS xe
142-155. Foundation of a calculating procedure and of a logical
inference.—Calculating without propositions (142-144). Example:
sale of timber (142-151). Are our laws of inference eternal and
unalterable ? (154). Logic precedes truth (155).
156-169. Mathematics, logic, and experience.—Proof and experiment
(156-161). What in mathematics is logic: it moves in the rules of
our language (164). The mathematician is an inventor, not a
discoverer (167).
Appendix I
1-4. Kinds of proposition.—Arithmetic done without propositions
(4).
5-7. Truth and provability in the system of Principia Mathematica.
8-19. Discussion of a proposition P which asserts its own unprov-
ability in the System of Principia Mathematica.—The role of
contradiction in the language-game (11-14, 17).
20. The propositions of logic. Proposition and propositional
formation .
Appendix II
1-3. The diagonal procedure.—The concept cnon-denumerable (2).
Comparison of the concepts of real number and cardinal number
(3).
4. The sickness of a time.
5. Discussion of the proposition There is no greatest cardinal
number .
6-7. Irrational numbers.
8-9- »„•
10-13. Discussion of the proposition Fractions cannot be arranged in
order of magnitude .
14- Comparison of different games.
15-16. Discussion of the proposition that the fractions (number-pairs)
can be arranged in an infinite series.
17- The word infinite .
18. Finitism, Behaviourism. General remarks.
b
xi INHALT
Teil II
1-2. Der Beweis. — Der mathematische Beweis muß übersichtlich
sein. Rolle der Definitionen (2).
3-8. Russells Logik und die Idee von der Zurückführung der Arith¬
metik auf symbolische Logik. — Die Anwendung der Rechnung
muß für sich selber sorgen (4). Beweis im Russell-Kalkül, im
Dezimalkalkül, und im Einserkalkül.
9-11. Der Beweis. — Der Beweis als einprägsames Bild (9). Die
Reproduktion einer Beweisfigur (10-11).
12-20. Russells Logik und das Problem von der Verhältnis ver¬
schiedener Rechentechniken zu einander. — Was ist die Erfindung
des Dezimalsystems? (12). Beweis im Russell-Kalkül und im
Dezimalsystem (13). Übersehbare und unübersehbare Zahlzeichen
(16). Verhältnis von gekürzten und ungekürzten Rechentechniken
zu einander (17-20).
21-44. Der Beweis. — Identität und Reproduzierbarkeit eines Be¬
weises (21). Der Beweis als Vorbild; Beweis und Experiment
(22-24). Beweis und mathematische Überzeugung (25-26). Im
Beweis haben wir uns zu einer Entscheidung durchgerungen (27).
Der bewiesene Satz als Regel. Er soll uns zeigen was zu sagen
Sinn hat (28). Die Sätze der Mathematik als Instrumente der
Sprache (29). Das mathematische Muß: eine Gleise in der
Sprache gelegt (30). Der Beweis führt einen neuen Begriff ein
(31). Welchen Begriff schafft pop ? 7 d/ als Angelpunkt der
sprachlichen Darstellungsweise (3 2-33). Der Beweis als Teil einer
Institution (36). Bedeutung des Unterschieds von Sinnbestim¬
mung und Sinnverwendung (37). Anerkennung eines Beweises;
die geometrische Auffassung des Beweises f 3 8-40). Der Beweis
als Bekenntnis zu einer bestimmten Zeichenverwendung (41).
Der Beweis muß ein anschaulicher Vorgang sein (42). Die
Logik als Grundlage aller Mathematik tut s schon darum nicht,
well die Beweiskraft der logischen Beweise mit ihrer geome¬
trischen Beweiskraft steht und fällt (43). In der Mathematik
können wir den logischen Beweisen entlaufen (44).
45-64. Russells Logik. — Verhältnis der gewöhnlichen Beweistechnik
zu der Russellschen (45). Kritik der Auffassung von der Logik
als Grundlage der Mathematik. Die Mathematik ist ein buntes
Gemisch von Rechentechniken. Die abgekürzte Technik als neuer
Aspekt der unabgekürzten (46-48). Bemerkung zur Trigono¬
metrie (50). Die Dezimalnotation ist unabhängig von dem
CONTENTS xie
Part II
1-2. Proof.—Mathematical proof must be perspicuous. Role of
definitions (2).
3-8. Russell s logic and the idea of the reduction of arithmetic to
symbolic logic.—The application of the calculation must take
care of itself (4). Proof in the Russellian calculus, in the decimal
calculus, and in the stroke calculus.
9-11. Proof.—Proof as a memorable picture (9). The reproduction
of the pattern of a proof (10-11).
12-20. Russell s logic and the problem of the mutual relation of
different calculating techniques.—What is the invention of the
decimal system? (12). Proof in the Russellian calculus and in the
decimal system (13). Signs for numbers that can, and that cannot,
be taken in (16). Relation of abbreviated and unabbreviated
calculating techniques to one another (17-20).
21-44. Proof.—Identityandreproducibilityofa proof (21). The proof
as model. Proof and experiment (22-24). Proof and mathema¬
tical conviction (25-26). In the proof we have won through to a
decision (27). The proved proposition as a rule. It serves to shew
us what it makes sense to say (28). The propositions of mathe-
matics as instruments of language (29). The proof introduces a
new concept (31). What concept does p3p produce? (32).
pDp as pivot of the linguistic method of representation (33).
The proof as part of an institution (36). Importance of the distinc-
tion between determining and using a sense (37). Acceptance of
a proof; the geometrical conception of proof (3 8-40). The proof
as adoption of a particular employment of signs (41). The proof
must be a procedure piain to view (42). Logic as foundation of
mathematics does not work if only because the cogency of the
logical proof Stands and falls with its geometrical cogency (43).
In mathematics we can get away from logical proofs (44).
45-64. Russell s logic.—Relation between the ordinary and the
Russellian technique of proof (45). Criticism of the conception
of logic as the foundation of mathematics. Mathematics is a
motley of calculating techniques. The abbreviated technique as a
new aspect of the unabbreviated (46-48). Remark on trigono-
metry (50). The decimal notation is independent of calculation
xii INHALT
Rechnen mit Einerstrichen (51). Warum Russells Logik uns
nicht dividieren lehrt (52). Warum die Mathematik nicht Logik ist
(53). Der rekursive Beweis (54). Beweis und Experiment (55).
Das Entsprechen verschiedener Kalküle; Strichnotation und
Dezimalnotation (56-57). Mehrere Beweise eines und desselben
Satzes; Beweis und Sinn eines mathematischen Satzes (58-62).
Die genaue Entsprechung eines überzeugenden Übergangs in der
Musik und in der Mathematik (63).
65-76. Rechnung und Experiment. — Sind die Sätze der Mathematik
anthropologische Sätze? (65). Mathematische Sätze als Prophe¬
zeiungen von übereinstimmenden Rechenresultaten aufgefaßt
(66). Zum Phänomen des Rechnens gehört Übereinstimmung
(67). Wenn eine Rechnung ein Experiment ist, was ist dann ein
Fehler in der Rechnung? (68). Die Rechnung als Experiment und
als Weg (69). Ein Beweis dient der Verständigung. Ein Experi¬
ment setzt sie voraus (71). Mathematik und die Wissenschaft von
den konditionierten Rechenreflexen (72). Der Begriff des Rech¬
nens schließt Verwirrung aus (75-76).
77-90. Der Widerspruch. — Ein Spiel, in dem, wer anfängt, immer
gewinnen muß (77). Rechnen mit (a—a). Die Abgründe in einem
Kalkül sind nicht da, wenn ich sie nicht sehe (78). Diskussion
des heterologischen Paradoxes (79). Der Widerspruch vom
Standpunkt des Sprachspiels betrachtet. Der Widerspruch als
heimliche Krankheit des Kalküls (80). Widerspruch und Brauch¬
barkeit eines Kalküls (81). Der Widerspruchsfreiheitsbeweis und
der Mißbrauch der Idee der mechanischen Sicherung gegen den
Widerspruch (82-89). Mein Ziel ist, die Einstellung zum Wider¬
spruch und zum Beweis der Widerspruchsfreiheit zu ändern
(82). Die Rolle des Satzes: Ich muß mich verrechnet haben —
der Schlüssel zum Verständnis der Grundlagen der Mathematik
(9°)-
Teil HI
1-7. Über Axiome. — Das Einleuchten der Axiome (1-3). Ein¬
leuchten und Verwendung (2-3). Axiom und Erfahrungssatz
(4-5). Die Negation eines Axioms (5). Der mathematische Satz
steht auf vier Füßen, nicht auf dreien (7).
8-9. Regelfolgen. — Beschreibung mit Hilfe einer Regel (8).
10. Die arithmetische Annahme ist nicht an der Erfahrung gebunden.
CONTENTS xiie
with unit strokes (51). Why Russell s logic does not tcach us
to divide (52). Why mathematics is not logic (53). Recursive
proof (54). Proof and experiment (55). The correspondence of
different calculi; stroke notation and decimal notation (56-57).
Several proofs of one and the same proposition; proof and the
sense of a mathematical proposition (58-62). The exact corre¬
spondence of a convincing transition in music and in mathematics
(63).
65-76. Calculation and experiment.—Are the propositions of mathe¬
matics anthropological propositions? (65). Mathematical pro¬
positions conceived as prophecies of concordant results of
calculating (66). Agreement is part of the phenomenon of
calculating (67). If a calculation is an experiment, what in that
case is a mistake in calculation? (68). The calculation as an
experiment and as a path (69). A proof subserves mutual under-
standing. An experiment presupposes it (71). Mathematics and
the science of conditional calculating reflexes (72). The concept
of calculation excludes confusion (75-76).
77-90. Contradiction.—A game in which the one who moves first
must always win (77). Calculating with (a — a). The chasms in a
calculus are not there if I do not see them (78). Discussion of the
heterological paradox (79). Contradiction regarded from the
point of view of the language-game. Contradiction as a hidden
sickness of the calculus (80). Contradiction and the usability of a
calculus (81). The consistency proof and the misuse of the idea of
mechanical insurance against contradiction (82-89). My aim is to
change the attitude towards contradiction and the consistency
proof. (82) The role of the proposition: I must have miscalcu-
lated —the key to understanding the foundations of mathematics
(90).
Part III
1-7. On axioms.—The self-evidence of axioms (1-3). Self-evidence
and use (2-3). Axiom and empirical proposition (4-5). The
negation of an axiom (5). The mathematical proposition Stands
on four legs, not on three (7).
8-9. Following a rule.—Description by means of a rule (8).
10. The arithmetical assumption is not tied to experience.
xüi INHALT
11-13. Die Auffassung der Arithmetik als Naturgeschichte der
Zahlen. — Die Beurteilung der Erfahrung mittels des Bildes (12).
14. Beziehung des logischen (mathematischen) Satzes nach außen.
15-19. Die Möglichkeit angewandte Mathematik ohne reine Mathe¬
matik zu treiben. — Mathematik muß nicht in Sätzen getrieben
werden; der Schwerpunkt kann ganz im Tun liegen (15). Das
kommutative Gesetz als Beispiel (16-17).
20. Das Rechnen als maschinelle Tätigkeit.
21. Das Bild als Beweis.
22. 27. Intuition.
26. Was ist der Unterschied zwischen nicht Rechnen und falsch Rech¬
nen?
29-33. Beweis und mathematische Begriffsbildung. — Der Beweis
ändert die Begriffsbildung. Die Begriffsbildung als Grenze der
Empirie (29). Der Beweis zwingt nicht, sondern führt (30). Der
Beweis leitet unsere Erfahrungen in bestimmte Kanäle (31, 33).
Beweis und Vorhersage (33).
34. Das philosophische Problem ist: Wie können wir die Wahrheit
sagen, und dabei diese starken Vorurteile beruhigen?
35-36. Der mathematische Satz. — Wir erkennen ihn an, indem wir
ihm den Rücken drehen (35). Die Wirkung des Beweises: man
stürzt sich in die neue Regel hinein (36).
39. 42. Synthetischer Charakter der mathematischen Sätze. — Die
Verteilung der Primzahlen als Beispiel (42).
40. Das Resultat als Äquivalent der Operation gesetzt.
41. Daß der Beweis übersichtlich sein muß, heißt, daß Kausalität im
Beweise keine Rolle spielt.
43-44. Intuition in der Mathematik.
47. Der mathematische Satz als Begriffsbestimmung, die auf die
Entdeckung einer neuen Form folgt.
48. Das Arbeiten der mathematischen Maschine ist nur das Bild des
Arbeitens einer Maschine.
49. Das Bild als Beweis.
50-51. Das Umkehren eines Wortes.
CONTENTS xiiie
i i-i 3. The conception of arithmetic as the natural history of numbers.
—Judging experience by means of the picture (12).
14. External relation of the logical (mathematical) proposition.
15-19. The possibility of doing applied mathematics without pure
mathematics.—Mathematics need not be done in propositions; the
centre of gravity may lie in action (15). The commutative law as
an example (16-17).
20. Calculation as a mechanical activity.
21. The picture as a proof.
22. 27. Intuition.
26. What is the difference between not calculating and calculating
wrong?
29-33. Proof and mathematical concept formation.—Proof alters
concept formation. Concept formation as the limit of the empirical
(29). Proof does not compel, but guides (30). Proof conducts our
experience into dennite Channels (31, 33). Proof and prediction
(33)-
34. The philosophical problem is: how can we teil the truth and at
the same time pacify these strong prejudices?
3 5-36. The mathematical proposition.—We acknowledge it by turning
our back on it (35). The effect of the proof: one plunges into the
new rule (36).
39. 42. Synthetic character of mathematical propositions.—The dis-
tribution of primes as an example (42).
40. The result set up as equivalent to the Operation.
41. That proof must be perspicuous means that causality plays no
part in proof.
43-44. Intuition in mathematics.
47. The mathematical proposition as determination of a concept,
following upon the discovery of a new form.
48. The working of the mathematical machine is only the picture of
the working of a machine.
49. The picture as a proof.
50-51. Reversal of a word.
xiv INHALT
52-53. Mathematischer Satz und Erfahrungssatz. — Die Annahme
eines mathematischen Begriffes drückt die sichere Erwartung
gewisser Erfahrungen aus; aber die Festsetzung dieses Maßes ist
dem Aussprechen der Erwartungen nicht äquivalent (53).
55-60. Der Widerspruch. — Der Lügner (5 8). Der Widerspruch als
etwas Über-propositionales aufgefaßt, als Denkmal mit einem
Januskopf über den Sätzen der Logik thronend (59).
Teil IV
1-4. Die Mathematik als Spiel und als maschinenhafte Tätigkeit. —¦
Rechnet die Rechenmaschine? (2). Wieweit muß man einen
Begriff vom Satz haben, um die Russellsche mathematische
Logik zu veistehen? (4).
5-8. Tut ein Mißverständnis, die mögliche Anwendung der Mathe¬
matik betreffend, der Rechnung als einem Teil der Mathematik
Eintrag? — Mengenlehre (7).
9-13. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik. —
Wo kein Entscheidungsgrund vorliegt, muß er erst erfunden
werden, um der Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen
Dritten einen Sinn zu geben.
14-16 und 21-23. Alchemie des Unendlichkeitsbegriffes und anderer
mathematischen Begriffen mit unverstandenen Anwendungen. —
Unendliche Vorhersagungen (23).
17-20. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Der mathematische
Satz als Gebot. Mathematische Existenz.
24-27. Existenzbeweis in der Mathematik. — Der unheilvolle Ein¬
bruch der Logik in die Mathematik (24; siehe auch 46 u. 48).
Das mathematisch Allgemeine steht zum mathematisch Beson¬
deren nicht in dem Verhältnis wie sonst das Allgemeine zum
Besonderen (25). Existenzbeweise die keine Konstruktion des
Existierenden zulassen (26-27).
28. Der Beweis durch reductio ad absurdum.
29-40. Vom Extensionalen und Intensionalen in der Mathematik; der
Dedekind-Schnitt. — Die geometrische Illustration der Analysis
(29). Dedekinds Satz ohne Irrationalzahlen (30). Wie kommt
dieser Satz zu einem tiefen Inhalt? (31). Das Bild der Zahlen¬
geraden (32, 37). Diskussion des Begriffs des Schnittes (33-34).
Die Allgemeinheit der Funktionen eine ungeordnete Allgemein-
CONTENTS xivc
5 2-5 3. Mathematical and empirical propositions.—The assumption of
a mathematical concept expresses the confident expectation of
certain experiences; but the establishment of this measure is not
equivalent to the expression of the expectations (53).
55-60. Contradiction.—The liar (58). Contradiction conceived as
something supra-propositional, as a monument with a Janus head
enthroned above the propositions of logic (59).
Part IV
1-4. Mathematics as a game and as a machine-like activity.—Does the
calculating machine calculate? (2). How far is it necessary to have
a concept of proposition in order to understand Russell s mathe¬
matical logic? (4).
5-8. Is a misunderstanding about the possible application of mathe¬
matics any objection to a calculation as part of mathematics?—
Set theory (7).
9-13. The law of excluded middle in mathematics.—Where there is
nothing to base a decision on, we must invent something in order
to give the application of the law of excluded middle a sense.
14-16 and 21-23. Alchemy of the concept of infinity and of other
mathematical concepts whose application is not understood.—
Infinite predictions (23).
17-20. The law of excluded middle. The mathematical proposition as
a commandment. Mathematical existence.
24-27. Existence proofs in mathematics.— The harmful invasion of
mathematics by logic (24; see also 46 and 48). The mathema-
tically general does not stand to the mathematically particular in
the same relation as does the general to the particular elsewhere
(25). Existence proofs which do not admit of the construction of
what exists (26-27).
28. Proof by reductio ad absurdum.
29-40. On the extensional and intensional in mathematics; Dedekind s
theorem without irrational numbers (30). How does this theorem
come by its deep content? (31). The picture of the number line
(32 37)- Discussion of the concept of a cut (33-34). Generality
in the realm of functions is an unordered generality (38). Dis-
b*
xv INHALT
heit (38). Diskussion des mathematischen Funktionsbegriffs;
Extension und Intension in der Analysis (39-40).
41. Begriffe die in notwendigen Sätzen vorkommen, müssen auch in
nicht notwendigen eine Bedeutung haben.
42-46. Vom Beweis und Verstehen des mathematischen Satzes. —
Der Beweis als Bewegung von einem Begriff zum andern aufgefaßt
(42). Einen mathematischen Satz verstehen (45-46). Der Beweis
führt einen neuen Begriff ein. Der Beweis soll mich von etwas
überzeugen (45). Existenzbeweis und Konstruktion (46).
47. Ein Begriff ist nicht wesentlich ein Prädikat.
48. Die mathematische Logik hat das Denken von Mathematikern
und Philosophen gänzlich verblendet.
49. Das Zahlzeichen gehört zu einem Begriffszeichen und ist nur mit
diesem ein Maß.
50. Vom Begriff der Allgemeinheit.
51. Der Beweis zeigt, wie das Resultat sich ergibt.
52-53. Allgemeine Bemerkungen. — Der Philosoph ist der, der in
sich viele Krankheiten des Verstandes heilen muß, ehe er zu den
Notionen des gesunden Menschenverstandes kommen kann (53).
Teil V
1. Die Rolle der Sätze, die von Maßen handeln und nicht Erfah¬
rungssätze sind. Ein solcher Satz (z.B., 12 Zoll = 1 Fuß) ruht in
einer Technik, und also in den Bedingungen dieser Technik; hat
aber nicht den Sinn, diese Bedingungen auszusprechen.
2. Die Rolle der Regel. Mittels ihrer kann man auch Voraussagungen
machen. Dies beruht auf Eigenschaften der Maßstäbe und der
Menschen, die sie gebrauchen.
3. Ein mathematischer Satz —eine Umformung des Ausdrucks.
Die Regel in ihrer Nützlichkeit und in ihrer Würde betrachtet.
Wie sollen zwei arithmetische Ausdrücke dasselbe sagen? Die
Arithmetik setzt sie einander gleich.
4. Einer, der Arithmetik lernt, indem er nur meinen Beispielen folgt.
Sage ich, Wenn du mit diesen Zahlen machst, was ich dir auf den
andern vorgemacht habe, wirst du das und das erhalten — so
scheint das sowohl eine Vorhersage wie auch ein mathematischer
Satz zu sein.
CONTENTS xve
cussion of the mathematical concept of a function; extension and
intension in analysis (39-40).
41. Concepts occurring in necessary propositions must also have a
meaning in non-necessary ones.
42-46. On proof and understanding of a mathematical proposition.—
The proof conceived as a movement from one concept to another
(42). Understanding a mathematical proposition (45-46). The
proof introduces a new concept. The proof serves to convince
one of something (45). Existence proof and construction (46).
47. A concept is not essentially a predicate.
48. Mathematical logic has completely blinded the thinking of
mathematicians and philosophers.
49. The numerical sign goes along with the sign for a concept and
only together with this is it a measure.
50. On the concept of generality.
51. The proof shews bow the result is yielded.
5 2-53. General remarks.—The philosopher is the man who has to eure
himself of many sicknesses of the understanding before he can
reach the notions of the healthy human understanding.
Part V
1. The role of propositions that treat of measures and are not
empirical propositions. Such a proposition (e.g. 12 inches = 1
foot) is embedded in a technique, and so in the conditions of this
technique; but it is not a Statement of those conditions.
2. The role of a rule. It can also be used to make predictions. This
depends on properties of the measuring rods and of the people
who use them.
3. A mathematical proposition—a transformation of the expression.
The rule considered from the point of view of usefulness and from
that of dignity. How are two arithmetical expressions supposed
to say the same thing? They are made equivalent in arithmetic.
4. Someone who learns arithmetic simply by following my examples.
If I say, If you do with these numbers what I did for you with
the others, you will get such-and-such a result —this seems to
be both a prediction and a mathematical proposition.
xvi INHALT
5. Ist nicht der Gegensatz zwischen Regeln der Darstellung und
Sätzen, welche beschreiben, einer, der nach allen Richtungen hin
abfällt?
6. Was ist einem mathematischen Satz und einem mathematischen
Beweis gemein, daß sie beide mathematisch heißen?
Der Beweis als Bild. Nicht die Approbation allein macht dies
Bild zur Rechnung, sondern die Übereinstimmung der Approba¬
tionen.
7. Ändert sich der Sinn des Satzes, wenn ein Beweis gefunden wird?
Der neue Beweis reiht den Satz in eine neue Ordnung ein.
8. Der Russellsche c~/(/) .
Sagen wir, wir erhielten manche unserer Rechenresultate durch
einen versteckten Widerspruch. Sind sie dadurch illegitim?
Könnte man nicht einen Widerspruch gelten lassen?
9. Eine Methode, die einen Widerspruch mechanisch vermeidet.
Nicht schlechte Mathematik wird hier verbessert, sondern ein
neues Stück Mathematik erfunden.
10. Müssen die logischen Axiome immer überzeugend sein?
11. Die Leute, die gelegentlich durch Ausdrücke vom Werte o kürzen.
12. Wenn die Rechnung für mich ihren Witz verloren hat, sobald ich
weiß, wie ich nun alles Beliebige errechnen kann — hat sie keinen
gehabt, so lang ich das nicht wußte?
Man denkt, der Widerspruch muß sinnlos sein.
13. Wozu braucht die Mathematik eine Grundlegung?
Ein guter Engel wird immer nötig sein.
14. Der praktische Wert des Rechnens. Rechnung und Experiment.
Eine Rechnung als ein Teil der Technik eines Experiments.
Die Rechnungshandlung kann auch ein Experiment sein.
15. Soll die Mathematik Tatsachen zu Tage bringen? Bestimmt sie
nicht erst den Charakter dessen, was wir Tatsache nennen?
Lehrt sie uns nicht nach Tatsachen zu fragen?
In der Mathematik gibt es keine kausalen Zusammenhänge, nur
die Zusammenhänge des Bildes.
16. Bemerkungen.
17. Das Netz von Fugen einer Mauer. Warum nennen wir dies ein
mathematisches Problem?
Macht die Mathematik Experimente mit Einheiten?
CONTENTS xvie
5. Does not the contrast between rules of description and descriptive
propositions shade off on every side?
6. What is common to a mathematical proposition and a mathe-
matical proof, that they should both be called mathematical ?
The proof as a picture. It is not assent alone which makes
this picture into a calculation, but the consensus of assents.
7. Does the sense of the proposition change when a proof has been
found? The new proof gives the proposition a place in a new
System.
8. Russell s ~f(J)
Let us say we have got some of our results because of a hidden
contradiction. Does that make them illegitimate?
Might we not let a contradiction stand?
9. A method for avoiding a contradiction mechanically. It is
not bad mathematics that is amended here, but a new bit of
mathematics is invented.
10. Must logical axioms always be convincing?
11. The people who sometimes reduce by expressions of value o.
12. If the calculation has lost its point for me, as soon as I know that
I can get any arbitrary result from it—did it have no point as long
as I did not know this?
One thinks that contradiction has to be senseless.
13. What does mathematics need a foundation for?
A good angel will always be necessary.
14. The practical value of calculating. Calculation and experiment.
A calculation as part of the technique of an experiment.
The activity of calculating can also be an experiment.
15. Is mathematics supposed to bring facts to light? Does it not take
mathematics to determine the character of what we call a fact ?
Does it not teach us to ask about certain facts?
In mathematics there are no causal connexions, only the
connexions of the pattern.
16. Remarks.
17. The network of joins in a wall. Why do we call this a mathematical
problem?
Does mathematics make experiments with units?
xvü INHALT
18. Der Satz, der von sich selbst aussagt, er sei unbeweisbar — wie
ist das zu verstehen?
19. Die Konstruktion eines Satzzeichens aus Axiomen, nach Regeln;
und es scheint, wir haben den wirklichen Sinn des Satzes als falsch
demonstriert, und ihn zu gleicher Zeit bewiesen.
20. Rechnung und Erfahrung.
21. Zeigt der Widerspruch von heterologisch eine logische Eigen¬
schaft dieses Begriffs?
22. Ein Spiel; und nach einem gewissen Zug, erweist sich jeder
Versuch, weiterzuspielen, als den Regeln entgegen.
23. Das logische Schließen ist ein Teil eines Sprachspiels.
Logischer Schluß, und nicht-logischer Schluß.
Die logischen Schlußregeln können weder falsch noch richtig sein.
Sie bestimmen die Bedeutung der Zeichen.
24. Ein zweckmäßiger Vorgang mit Zahlzeichen muß nicht sein, was
wir Rechnen nennen.
25. Ist Mathematik mit rein phantastischer Anwendung nicht auch
Mathematik?
26. Daß sie Begriffe bilde, kann einem großen Teil der Mathematik
wesentlich sein; und in anderen Teilen keine Rolle spielen.
27. Die Leute sehen einen Widerspruch nicht, und ziehen Schlüsse
aus ihm.
Kann es eine mathematische Aufgabe sein, die Mathematik zur
Mathematik zu machen?
28. Wenn wirklich in der Arithmetik ein Widerspruch gefunden
würde, so bewiese das, eine Arithmetik mit einem solchen Wider¬
spruch könnte sehr gute Dienste leisten.
29. Die Klasse der Löwen ist nicht ein Löwe, die Klasse der Klassen
aber eine Klasse.
30. Ich lüge immer. Welche Rolle könnte dieser Satz im mensch¬
lichen Leben spielen?
31. Logischer Schluß. Ist nicht eine Regel etwas willkürliches?
Es ist den Menschen unmöglich, einen Gegenstand als von sich
selbst verschieden anzuerkennen.
CONTENTS xviie
18. The proposition that says of itself that it is unprovable —how
is this to be understood?
19. The construction of a propositional sign from axioms according
to rules; it appeats that we have demonstrated the actual sense of
the proposition to be false, and at the same time proved it.
20. Calculation and experience.
21. Does the heterological contradiction shew a logical character of
this concept?
22. A game. And after a certain move any attempt to go on playing
proves to be against the rules.
23. Logical inference is part of a language game.
Logical inference and non-logical inference.
The rules of logical inference can be neither wrong nor right.
They determine the meaning of the signs.
24. A reasonable procedure with numerals need not be what we call
calculating .
25. Is not a mathematics with an application that is sheer fantasy, still
mathematics?
26. The formation of concepts may be essential to a great part of
mathematics; and have no role in other parts.
27. A people who do not notice a contradiction, and draw con-
clusions from it.
Can it be a mathematical task to make mathematics into mathe¬
matics?
28. If a contradiction were actually found in arithmetic, this would
show that an arithmetic with such a contradiction can serve us
very well.
29- The class of lions is not a lion, but the class of classes is a class.
30- I always He. What part might this sentence play in human
life?
31- Logical inference. Is not a rule something arbitrary?
It is impossible for human beings to recognize an object as
different from itself.
xviii INHALT
32. Richtig — d.h., das stimmt mit der Regel überein.
33. Das Gleiche bringen — wie kann ich das Einem erklären?
34. Wann soll man von einem Beweis der Existenz von 777 in einer
Entwicklung reden?
35. Begriffsbildung kann verschiedenes heißen.
Der Begriff der Regel zur Bildung eines unendlichen Dezimal¬
bruchs.
36. Gehört es zum Begriff des Rechnens, daß die Menschen im
allgemeinen zu diesem Resultat gelangen?
37. Wenn ich etwa frage, ob ein gewisser Körper sich einer Parabel¬
gleichung gemäß bewegt — was tut die Mathematik in diesem
Fall?
38. Fragen über die Weise, wie die Mathematik Begriffe bildet.
39. Kann man aber nicht doch mathematisch experimentieren?
40. Eine Addition von Formen. Möglichkeiten im Falten eines
Stücks Papier. Wie, wenn man keine Spaltung zwischen der
geometrischen Möglichkeit und der physikalischen Möglichkeit
machte?
Könnten nicht Leute u. U. mit Ziffern rechnen, ohne daß ein
bestimmtes Resultat herauskommen müßte}
Wem die Rechnung einen kausalen Zusammenhang entdeckt, der
rechnet nicht.
Die Mathematik ist normativ.
41. Die Einführung einer neuen Schlußregel als Übergang zu einem
neuen Sprachspiel.
42. Beobachtung, daß eine Fläche rot und blau gefärbt ist, aber nicht,
daß sie rot ist. Schlüsse davon.
Kann die Logik uns sagen, was wir beobachten müssen?
43. Eine Fläche mit Streifen von wechselnden Farben.
Könnte man Implikationen beobachten?
44. Einer sagt, er sieht einen rot und gelben Stern, aber nichts Gelbes.
45. Ich halte mich an eine Regel.
CONTENTS xviüe
32. Correct—i.e. it conforms to the rule.
33. Bringing the same —how can I explain this to someone?
34. When should we speak of a proof of the existence of 777 in an
expansion?
3 5. Concept formation may mean various things.
The concept of a rule for forming an infinite decimal.
36. Is it essential to the concept of calculating, that people generally
reach this result?
37- If I ask, e.g., whether a certain body moves according to the
equation of a parabola—what does mathematics do in this case?
38. Questions about the way in which mathematics forms concepts.
39- Can one not make mathematical experiments after all?
4°- Adding shapes. Possibilities in folding a piece of paper. Suppose
we did not separate geometrical and physical possibility?
Might not people in certain circumstances calculate with figures,
without a particular result s having to come out?
If the calculation shews you a causal connexion, you are not
calculating.
Mathematics is normative.
4L The introduction of a new rule of inference as a transition to a
new language game.
42. Observation that a surface is red and blue, but not that it is red.
Inferences from this.
Can logic teil us what we must observe?
43- A surface with stripes of changing colours.
Could implications be observed?
44- Someone says he sees a red and yellow star, but not anything
yellow.
45- I hold to a rule.
xix INHALT
46. Das mathematische Muß — der Ausdruck einer Einstellung zur
Technik der Rechnens.
Der Ausdruck dafür, daß die Mathematik Begriffe bildet.
47. Der Fall, man sehe den Komplex von A und B, aber weder A
noch B.
Kann ich A und B sehen, aber nur A v B beobachten?
Und umgekehrt.
48. Erfahrungen und zeitlose Sätze.
49. Inwiefern kann man sagen, ein Satz der Arithmetik gebe uns einen
Begriff?
50. Nicht in jedem Sprachspiel gibt es etwas, was man Begriff
nennen will.
51. Beweis und Bild.
CONTENTS xixe
46. The mathematical must—the expression of an attitude towards the
technique of calculating.
The expression of the fact that mathematics forms concepts.
47. The case of seeing the complex formed from A and B, but seeing
neither A nor B.
Can I see A and B, but only observe A v B?
And vice versa.
48. Experiences and timeless propositions.
49. In what sense can a proposition of arithmetic be said to give us a
concept?
50. Not every language-game contains something that we want to call
a concept .
51. Proof and picture.
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