Vorlesungen über Orthogonalreihen:
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
1970
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Seite
Einleitung 1
I. Orthogonale Funktionensysteme.
§ 1. Voraussetzungen 6
§ 2. Orthogonalisierung eines Funktionensystems 8
§ 3. Orthogonale Polynome 10
§ 4. Approximation im Mittel 12
§ 5. Abzählbarkeit eines orthogonalen Funktionensystems 14
§ 6. Vollständige Funktionensysteme, PARSEVALSche Gleichung 15
§ 7. Konvergenz im Mittel 17
§ 8. Der Satz von Weyl über die Konvergenz im Mittel 20
§ 9. Der Satz von Fischer-Riesz 23
§ 10- Abgeschlossene Funktionensysteme, Äquivalenz von Abgeschlossenheit
und Vollständigkeit 25
§ 11. Die Bedingungen von Lauricella, Vitali und Dalzell für die Voll¬
ständigkeit eines Funktionensystems 26
§ 12. Vollständigkeit des Systems der trigonometrischen Funktionen .... 31
§13. Vollständigkeit des Systems der Potenzen von x 34
§ 14- Folgerungen aus der PARSEVALSchen Gleichung 36
§ 15. Verallgemeinerung der PARSEVALschen Gleichung 39
§16. Weitere Verallgemeinerungen und Hinweise .• 41
II. Allgemeine Theorie der trigonometrischen Reihen.
§ 1. Einleitung 44
§ 2. Entwicklung der total stetigen Funktionen 48
§ 3. sin- und cos-Reihen 50
§4. Beispiele für FouRiER-Entwicklungen 57
§ 5. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung. Funktionen mit be¬
schränkter Schwankung 60
§ 6. Das Verhalten der FoURiER-Koeffizienten für n -* 00 65
§ 7. Der RiEMANNSche Satz über das lokale Verhalten einer FouRiER-Reihe 68
§ 8. Einfache Folgerungen aus dem RiEMANNSchen Satz 70
§ 9. Konvergenzbedingungen von Dirichlet, Dini und Lipschitz 72
§ 10. Über eine Eigenschaft der Partialsummen einer FouRiER-Reihe ... 75
III. Konvergenzeigenschaften der trigonometrischen Reihen.
§1. Über die absolute Konvergenz trigonometrischer Reihen 77
§ 2. Über die gleichmäßige Konvergenz, die Integration und Differentiation
der trigonometrischen Reihen 79
§ 3. Über das CESÄRosche Summationsverfahren 84
§ 4. Der FEjERSche Satz über die C^Summierbarkeit der FouRiER-Reihen . 90
§ 5. Der Satz von Frobenius und die AßELsche Summation von Fourier-
Reihen 95
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 6. Die RiEMANNsche Summationsmethode 100
§ 7. Der Eindeutigkeitssatz für trigonometrische Reihen 106
§8. Das FouRiERsche Integral 112
§9. Eigenschaften der FouRiERschen Transformation 117
IV. Allgemeine Eigenschaften von orthogonalen Polynomen.
§ 1. Einleitung 122
§ 2. Die Rekursionsformel und die Summationsformel von Christoffel-
Darboux 126
§ 3. Die Formel von Rodriguez 129
§ 4. Die Differentialgleichung der klassischen orthogonalen Polynome . . .133
§ 5- Änderung der Belegungsfunktion 137
§ 6. Über die Lage der Nullstellen eines orthogonalen Polynoms 139
V. Orthogonale Polynome mit endlichem Grundintervall.
§ 1. Eigenschaften der EuLERschen Funktionen 143
§ 2. Haupteigenschaften der hypergeometrischen Funktion 147
§3. Haupteigenschaften der konfluenten hypergeometrischen Funktion . .157
§ 4. jACOBische Polynome 160
§ 5. Weitere Eigenschaften der jACOBischen Polynome 166
§6. Die Nullstellen der JACOBischen Polynome 174
§7. Ultrasphärische Polynome (GEGENBAUERsche Polynome) 177
§ 8. Die Nullstellen der ultrasphärischen Polynome 183
§ 9. TschebYSCHEFFsche Polynome 186
§ 10. LEGENDRESche Polynome 190
§11. Die zweite Lösung der LEGENDREschen Differentialgleichung 196
§ 12. Kugelfunktionen mit ganzen Indizes 201
§ 13- Kugelfunktionen mit beliebigen Indizes 207
VI. Orthogonale Polynome mit unendlichem Grundintervall.
§1. LAGUERRESche Polynome 212
§ 2. Asymptotisches Verhalten und Nullstellen der LAGUERREschen Polynome 219
§ 3. HERMiTEsche Polynome 224
§ 4. Über das Konvergenzverhalten der Reihen von JACOBischen Polynomen 230
§ 5. Vollständigkeit der LAGUERREschen und HERMiTEschen Polynome . . . 235
§ 6. Entwicklung in eine Reihe LAGUERREScher Polynome 242
§ 7 Beispiele für Reihenentwicklungen nach orthogonalen Polynomsystemen
mit endlichem Grundintervall 245
§ 8. Beispiele für Reihenentwicklungen nach LAGUERREschen und HERMiTE¬
schen Polynomen 250
Tabelle der Konstanten der orthogonalen Polynome 255
Literaturverzeichnis 257
Namenverzeichnis 259
Sachverzeichnis 261
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