Mathematische Werke:
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Göttingen
Vandenhoeck & Ruprecht
1970
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Vorbemerkung 3
Zusammenstellung der Arbeiten Heckes nach Zeitschriften 14
Das wissenschaftliche Werk von E. Hecke. Von C. L. Siegel 16
Gedächtnisrede auf E. Hecke. Von J. Nielsen 18
1. Zur Theorie der Modulfunktionen von zwei Variabein und ihre An¬
wendung auf die Zahlentheorie. Dissertation. Göttingen 1910 =
Höhere Modulfunktionen und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie.
(Mathematische Annalen Bd. 71, 1912, S. 1—37) 21
1. Kapitel. Theorie der Hilbertschen ModulfFunktionen von zwei Variabeln 24
§ 1. Das hyperelliptische Gebilde vom Geschlechte zwei 24
§ 2. Übergang zu den. Hilbertschen Modulfixaktionen 28
§ 3. Der Körper der symmetrischen Modulfunktionen 32
§ 4. Die Substitutionen mit total positiver Einheitsdeterminante 35
§ 5. Die Transformationsgleichungen 36
§ 6. Die Multiplikatorgleichungen 39
2. Kapitel. Einige Sätze aus der Theorie der relativ quadratischen
Körper 40
§ 7. Zahlklassen und Idealklassen . 40
§ 8. Die Transformationen der Zahlen des Belativkörpers in sich 44
§ 9. Singuläre relativquadratische Zahlen 45
3. Kapitel. Die komplexe Multiplikation der Modulfunktionen 46
§ 10. Die Klasseninvarianten 46
§ 11. Die Klassengleichung 49
§ 12. Die Zerfällung der Klassengleichung 52
§ 13. Die algebraische Natur der Klassengleichung 55
2. Über nicht reguläre Primzahlen und den Eermatschen Satz. (Nach¬
richten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathe¬
matisch physikalische Klasse 1910, S. 420—424) 59
3. Über die Konstruktion der Klassenkörper reeller quadratischer
Körper mit Hilfe von automorphen Funktionen. (Nachrichten der
K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch
physikalische Klasse 1910, S. 619—623) 64
4. Über die Konstruktion relativ Abelscher Zahlkörper durch Modul¬
funktionen von zwei Variabein. (Mathematische Annalen Bd. 74,
1913, S. 465—510) [Habilitationsschrift] 69
Einleitung 69
§ 1. Konstruktion der Grundfunktionen der Gruppe £, welche sich im
Innern des Existenzbereiches überall regulär verhalten 71
§ 2. Ein Hilfssatz über Funktionenkongruenzen. Definition des Funk¬
tionenbereiches * und seiner kritischen Primzahlen 77
§ 3. Die Transformationsgleichungen 85
§ 4. Die fundamentalen Kongruenzeigenschaften der Transformations¬
gleichungen 91
§ 5. Die Multiplikatorgleichungen 94
§ 6. Die Klassengleichung. Der Galoissche Körper achten Grades. Der
Integritätsbereieh der relativ ganzen Zahlen 97
§ 7. Die Zerlegungsgesetze für die Primideale, welche in K8 nicht vom
ersten Grade sind , 102
§ 8. Die Zerlegungsgesetze für die übrigen Primideale 106
§ 9. Irreduzibilität der Klassengleichung und Beziehungen zum Hilbert
schen Klassenkörper , 111
5. Über die geradlinige Bewegung des Bornschen starren Elektrons.
Gemeinsam mit W. Behrens. (Nachrichten der K. Gesellschaft der
Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch physikalische Klasse
1912, S. 849—860) 115
6. Über die Perioden vierfach periodischer Funktionen. (Nachrichten
der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch
physikalische Klasse 1915, S. 81—112) 127
§ 1. Eigenschaften der allgemeinen Perioden 130
§ 2. Geometrische Deutung 134
§ 3. Periodentransformationen 135
§ 4. Singuläre (einfach spezialisierte) Perioden 137
§ 5. Transformationen einer linearen Kongruenz in sich 140
§ 6. Singuläre und ordinäre Transformationen 145
§ 7. Transformationen zweiter Art 148
§ 8. Invariante Funktionen 150
§ 9. Invariante Modulfunktionen zu einer beliebigen Bilinearform .. 153
§ 10. Übergang zu den Hilbertschen Modulfunktionen 155
7. Über die Zetafunktion beliebiger algebraischer Zahlkörper. (Nach¬
richten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathe¬
matisch physikalische Klasse 1917, S. 77—89) 159
8. Über eine neue Anwendung der Zetaf unktionen auf die Arithmetik der
Zahlkörper. (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu
Göttingen. Mathematisch physikalische Klasse 1917, S. 90—95)... 172
9. Über die i Funktionen und den Dirichletschen Primzahlsatz für
einen beliebigen Zahlkörper. (Nachrichten der K. Gesellschaft der
Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch physikalische Klasse
1917, S. 299—318) 178
§ 1. Hilfssätze über algebraische Körper 179
§ 2. Charaktere mod. f 182
§ 3. Eine Thetaformel 185
§ 4. Die .L Funktionen und ihre Funktionalgleichung 190
§ 5. Die Primideale in den Klassen mod. f 195
10. Über die Kroneckersche Grenzformel für reelle quadratische Körper
und die Klassenzahl relativ Abelscher Körper. (Verhandlungen der
Naturforschenden Gesellschaft in Basel Bd. 28, 1917, S. 363—372) 198
§ 1. Reelle quadratische Körper 200
§ 2. Allgemeine Zahlkörper 203
§ 3. Die Klassenzahl relativ Abelseher Zahlkörper 206
11. Über orthogonal invariante Integralgleichungen. (Mathematische
Annalen Bd. 78, 1918, S. 398—404) 208
§ 1. Orthogonal invariante Funktionensysteme 208
§ 2. Anwendung auf Integralgleichungen 211
§ 3. Benutzung von Kugelfunktionen 212
12. Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Ver¬
teilung der Primzahlen. Erste Mitteilung. (Mathematische Zeitschrift
Bd. 1, 1918, S. 357—376) 215
§ 1. Charaktere eines Ideals nach den Einheiten 217
§ 2. Die Zetafunktionen mit Charakteren 220
§ 3. Die Verteilung der Charaktere für Primideale 222
§ 4. Das analytische Verhalten der Zetafunktionen mit Charakteren und
ihre Funktionalgleiehung 226
§ 5. Reelle quadratische Zahlkörper 230
13. Reziprozitätsgesetz und Gaußsche Summen in quadratischen Zahl¬
körpern. (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu
Göttingen. Mathematisch physikalische Klasse 1919, S. 265—278) 235
§ 1. Elementare Eigenschaften der allgemeinen Gaußschen Summen.. 236
§ 2. Reziprozität zwischen Gaußschen Summen 242
§ 3. Das quadratische Reziprozitätsgesetz 244
14. Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Ver¬
teilung der Primzahlen. Zweite Mitteilung. (Mathematische Zeit¬
schrift Bd. 6, 1920, S. 11—51) 249
§ 1. Größencharaktere einer Zahl mod. f 251
§ 2. Einführung idealer Zahlen 255
§ 3. Gruppen und Größeneharaktere für Ideale 258
§ 4. Eigentliche und uneigentliche Charaktere 260
7
§ 5. Eine Thetaformel 264
§ 6. Zetafunktionen mit Größencharakteren und ihre Funktionalglei¬
chung 268
§ 7. Die asymptotische Verteilung der Charaktere für Primideale .... 273
§ 8. Lineare Formen in quadratischen Körpern 277
§ 9. Imaginäre quadratische Körper 281
§ 10. Reelle quadratische Körper 287
15. Bestimmung der Klassenzahl einer neuen Reihe von algebraischen
Zahlkörpern. (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften
zu Göttingen. Mathematisch physikalische Klasse 1921, S. 1—23) 290
§ 1. Bestimmung der Gaußschen Summe in h 293
§ 2. Zurückführung der Klassenzahl auf die i Funktion 297
§ 3. Überführung von L(l, Xo) in Potenzreihen 298
§ 4. Asymptotische Entwicklung einer Thetafunktion 303
§ 5. Bestimmung von (et) durch Grenzübergang 306
16. Über analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod.
eins. (Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Ham¬
burgischen Universität Bd. 1, 1921, S. 54—76) 313
§ 1. Die Potenzreihen 2 R(ma) xm 316
§ 2. Die Reihen S —^^ 318
§ 3. Fortsetzbarkeit der Dirichletschen Reihen 320
§ 4. Das Verhalten der Funktionen in einem vertikalen Streifen ... 323
§ 5. Die Abschätzung der Koeffizientensumme 325
§ 6. Die Verteilung der R(mcx.) für allgemeinere Irrationalitäten 331
17. Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. Erster Teil. (Ab¬
handlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen
Universität Bd. 1, 1921, S. 102—126) 336
§ 1. Allgemeines über Gruppe und notwendige Singularitäten 339
§2. Darstellung von invarianten Funktionen durch Poincare sche Reihen 341
§ 3. Die Fourierreihe der Funktionen F 343
§ 4. Entwicklung von E*(t, t ) in der Nähe der Mannigfaltigkeit t = 0 348
§ 5. Entwicklung der geometrischen Reihe bei t — 0 351
§ 6. Potenzreihen im Körper k, deren Koeffizienten Klassen oder
Größencharaktere sind 355
§ 7. Die logarithmischen Reihen im Körper Je 359
18. Über die Integralgleichung der kinetischen Gastheorie (Mathematische
Zeitschrift Bd. 12, 1922, S. 274—286) 361
§ 1. Die iterierten Kerne 362
§ 2. Die Eigenwerte der Integralgleichung 366
§ 3. Reduktion auf Integralgleichungen in einer Variablen und gewöhn¬
liche Differentialgleichungen 368
§ 4. Eine neue Methode zur Auflösung von Integralgleichungen 371
8
19. Über die Lösungen der Riemannschen Funktionalgleiehung.
(Mathematische Zeitschrift Bd. 16, 1923, S. 301—307) 374
20. Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. Zweiter Teil.
(Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hambur¬
gischen Universität Bd. 3, 1924, S. 213—236) 381
§ 1. Die Eisensteinschen Reihen von. der Dimension —k (k ^ 3) im
reellen quadratischen Körper 383
§ 2. Aufstellung von zwei unabhängigen Modulfunktionen 387
§ 3. Ganze Modulformen von den Dimensionen —2 und —1 391
§ 4. Der Körper der Modulfunktionen 395
§ 5. Die zu log r)(r) analogen Funktionen 398
21. Darstellung von Klassenzahlen als Perioden von Integralen 3. Gat¬
tung aus dem Gebiet der elliptischen Modulfunktionen. (Abhandlun¬
gen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Univer¬
sität Bd. 4, 1925, S. 211—223) 405
§ 1. Das arithmetische Problem 405
§ 2. Das funktionentheoretische Problem aus der Theorie der elliptischen
Modulfunktionen 406
§ 3. Berechnung der Perioden gewisser Integrale 3. Gattung 411
22. Über einen neuen Zusammenhang zwischen elh ptischen Modul¬
funktionen und indefiniten quadratischen Formen. (Nachrichten der
K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch¬
physikalische Klasse 1925, S. 35—44) 418
23. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen. (Mathematische
Annalen Bd. 97, 1926, S. 210—242) 428
§ 1. Die Definition der Reihen aus den reellen quadratischen Körpern
und die Frage nach dem identischen Verschwinden derselben .. 433
§ 2. Das Verhalten der Reihen aus den reellquadratischen Körpern bei
den Substitutionen r + 1 und 437
§ 3. Die Reihen aus den imaginär quadratischen Zahlkörpern und ihr
Verhalten bei den Substitutionen r + 1 und 440
§ 4. Das Verhalten der beiden Funktionsklassen bei beliebigen Modul¬
substitutionen 442
§ 5. Numerische Beispiele 448
§ 6. Die Teilwerte der Weierstraßschen Funktion £ (u) 450
§ 7. Lineare Relationen zwischen den drei Funktionsklassen 453
24. Theorie der Eisensteinschen Reihen höherer Stufe und ihre An¬
wendung auf Funktionentheorie und Arithmetik. (Abhandlungen
aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität
Bd. 5, 1927, S. 199—224) 461
9
§ 1. Die Eisensteinschen Reihen für den Fall absoluter Konvergenz
(ife ^ 3) 463
§ 2. Die Eisensteinschen Reihen im Falle bedingter Konvergenz (k = 2
oder 1) 468
§ 3. Anwendungen 477
§ 4. Verwendung der Eisensteinschen Reihen in der additiven Zahlen¬
theorie in Verbindung mit den Methoden von Hardy Littlewood 481
|m2 2»*|
25. Über das Verhalten von 2 e 8 und ähnlichen Funktionen
m,n
bei Modulsubstitutionen. (Journal für die reine und angewandte
Mathematik Bd. 157, 1927, S. 159—170) 487
§ 1. Umformung der Funktionalgleichung der Zetafunktionen 488
§ 2. Das Verhalten der Potenzreihen bei der Substitution .... 490
§ 3. Verhalten bei beliebigen Modulsubstitutionen 495
26. Neue Herleitung der Klassenzahlrelationen von Hurwitz und Kron¬
ecker. (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu
Göttingen. Mathematisch physikalische Klasse 1926, S. 244—249) 499
27. Bestimmung der Perioden gewisser Integrale durch die Theorie
der Klassenkörper. (Mathematische Zeitschrift Bd. 28, 1928,
S. 708—727) 505
§ 1. Definition und Haupteigenschaften der Integrale für beliebige zu¬
sammengesetzte Stufenzahlen 508
§ 2. Die Normierung der Integrale erster Gattung für die Primzahlstufe
q = 4n + 3 514
§ 3. Die algebraische Natur der normierten Periodensysteme für eine
Primzahlstufe q = 4w + 3 519
28. Über ein Fundamentalproblem aus der Theorie der elliptischen
Modulfunktionen. (Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar
der Hamburgischen Universität Bd. 6, 1928, S. 235—257) 525
§ 1. Die Zerlegung einer invarianten Schar 527
§ 2. Bestimmung des Geschlechtes der Untergruppen 11* 533
§ 3. Ein allgemeiner Satz über die Koeffizienten der Gruppe der
Integrale 538
§ 4. Die Bestimmung der Gruppe der Integrale erster Gattung 542
29. Über das Verhalten der Integrale 1. Gattung bei Abbildungen, ins¬
besondere in der Theorie der elliptischen ModuKunktionen. (Abhand¬
lungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen
Universität Bd. 8, 1930, S. 271—281) 548
30. Die Biemannschen Periodenrelationen für die elliptischen Modul¬
funktionen. (Journal für die reine und angewandte Mathematik Bd.
167, 1932, S. 337—345) 559
10
§ 1. Konstruktion der Erzeugenden für die Untergruppen der Modul¬
gruppe 559
§ 2. Das Riemannsche Kurvenintegral für zwei Integrale der Stufe N
und seine Berechnung durch die Residuen 562
§ 3. Darstellung von B(j, p) durch die Integralperioden 563
§ 4. Gruppentheoretische Auswertung von B(j,q ) 566
31. Die eindeutige Bestimmung der Modulfunktionen g ter Stufe durch
algebraische Eigenschaften. (Mathematische Annalen Bd. 111, 1935,
S. 293—301) 568
32. Die Primzahlen in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen.
(Kgl. Danske Videnskabernes Selskab. Mathematisk fysiske Med
delelser XIII, 10, 1935, 16. S.) 577
33. Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktional¬
gleichung. (Mathematische Annalen 112, 1936, S. 664—699) 591
§ 1. Problemstellung und Übersicht über die Resultate 591
§ 2. Übergang zur Theorie der automorphen Funktionen 596
§ 3. Der Fall 7. 2 599
§ 4. Der Fall l = 2 601
§ 5. Der Fall 0 X 2 609
§ 6. Systeme von Funktionalgleichungen für N Dirichlet Reihen .... 616
§ 7. Die Modulfunktionen der Stufe q und die Bestimmung der Zeta
funktionen imaginär quadratischer Körper durch Funktionalglei¬
chungen 621
34. Neuere Fortschritte in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen.
(Comptes rendus du Congres international des Mathematiciens Oslo
1936, S. 140—156) 627
35. Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Euler
scher Produktentwicklung. I. (Mathematische Annalen Bd. 114,1937,
S. 1—28) 644
§ 1. Allgemeines über Modulformen der Stufe Q und zugehörige
Dirichlet Reihen 646
Teil 1: Die Theorie der Funktionen der 1. Stufe
§ 2. Der Operatoren Ring der Tn 654
§ 3. Der Matrizenring der X(n) und das Euler Produkt 658
§ 4. Die Eigenfunktionen des Ringes der Tn und das Euler Produkt für
die einzelne Funktion. Spezielle Fälle 666
36. Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Euler
scherProduktentwieklung. II. (Mathematische Annalen Bd. 114,1937,
S. 316—351) 672
Teil 2: Die Theorie der Funktionen der Stufe Q
§ 5. Die Operatoren T„ für die Stufe Q mit (n, Q) — 1 673
§ 6. Normierung der Formen der Stufe Q. Formen vom Teiler t und
Charakter e{n) 677
11
§ 7. Die Operatoren T*m mit (m, Q) 1 679
§ 8. Der Matrizenring der i.(m) und das Euler Produkt für die Formon
von festem Teiler und Charakter 682
§ 9. Die charakteristischen Wurzeln der Matrizen B(r). Unmöglichkeit
anderer Euler Produkte für Dirichlet Reihen der Schar 685
§ 10. Das System der Eisenstein Reihen und der Spitzenformen. Beispiel
für nicht voll reduzible Systeme , 689
§ 11. Weitere Reduktion der Matrizen mit Hilfe der irreduziblen Dar¬
stellungen von Wt(Q) 693
§ 12. Durchführung der Theorie für Primzahlstufe q 698
§ 13. Zusammenhänge mit der Theorie der binären Thetareihen und
der imaginär quadratischen Körper K (f — q). Charakteristische
Eigenschaften der Zetafunktionen dieser Körper 703
37. Über Dirichlet Reihen mit Funktionalgleichung und ihre Nullstellen
auf der Mittelgeraden. (Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie
der Wissenschaften. Mathematisch naturwissenschaftliche Abteilung.
1937, S. 73—95) 708
38. Grundlagen einer Theorie der Integralgruppen und der Integral¬
perioden bei den Normalteilern der Modulgruppe. (Mathematische
Annalen Bd. 116, 1939, S. 469—510) 731
§ 1. Problemstellung. Übersicht über die Methoden und Resultate.
Bezeichnungen 731
§ 2. Grundlagen für die Theorie ausgezeichneter Untergruppen der
Modulgruppe 738
§ 3. Konstruktion aller zulässigen Darstellungen der unendlichen
Modulgruppe durch affine Substitutionen 741
§ 4. Der Vollständigkeitssatz für die affine Gruppe der Potentiale und
ihre Zerfällung 745
§ 5. Die Riemannschen Periodenrelationen, ausgedrückt in den Vektoren
VT 748
§ 6. Die Normalintegrale 1. Gattung von 3? zu einer irreduziblen reellen
Darstellung der Abbildungsgruppe 755
§ 7. Die irreduziblen Darstellungen der Modulargruppe mod q im Körper
ihres Charakters 761
§ 8. Die Hormalperioden für die Integrale der Kongruenzgruppe F(q).
Numerische Beispiele 767
39. Die Klassenzahl imaginär quadratischer Körper in der Theorie der
elliptischen Modulfunktionen. (Monatshefte für Mathematik und
Physik Bd. 43, 1939, S. 75—83) 773
40. Über die Darstellung der Determinante einer positiven quadratischen
Form durch die Form. (Vierteljahrsschrift der Naturforschenden
Gesellschaft in Zürich Bd. 85, 1940, S. 64—70) 782
41. Analytische Arithmetik der positiven quadratischen Formen. (Kgl.
„Danske Videnskabemes Selskab. Mathematisk fysiske Meddelelser,
XVII, 12, 1940, 134 S.) 789
12
§ 1. Methoden und Resultate der Theorie. Arithmetische Bedeutung
der Operatoren Tn. Bezeichnungen 789
§ 2. Das Verhalten der Modulfunktionen höherer Stufe bei den Substi¬
tutionen der Modulgruppe. Typus, invariante und irreduzible
Seharen. Anzahlbestimmungen. Koeffizienten der Eisenstein Reihen.
Satz 1—Iß 806
§ 3. Die Modulfunktionen bei Transformationen höherer Ordnung. Die
Operatoren Tn. Abgeschlossene Seharen. Reduzierte Reihen. Kano¬
nische Euler Produkte. Eingliedrige kanonische Produkte. Satz
17—27 828
§ 4. Ganzzahlige quadratische Formen. Stufe, Charakter und Typus.
Aufstellung von Formen gegebener Diskriminante. Satz 28—31 .. 843
§ 5. Kugelfunktionen von / Variabein. Satz 32—33 849
§ 6. Die allgemeinen Thetareihen mit Größencharakteren als Modul¬
funktionen von reellem Typus. Satz 34—43 854
§ 7. Quadratische Formen mit Diskriminante 1. Satz 44—47 867
§ 8. Formen von Primzahlstufe mit quadratischer Diskriminante.
Satz 48—52 873
§ 9. Formen mit 4 Variabein vom Haupttypus (Quaternionen). Satz 53 882
§ 10. Formen von Primzahlstufe und Nebentypus. Charakteristische
Eigenschaften der binären Thetareihen. Satz 54—61 889
§11. Numerische Beispiele. Beispiel 1—14. Ein Vollständigkeitssatz... 898
42. Herleitung des Euler Produktes der Zetafunktion und einiger L
Reihen aus ihrer Funktionalgleichung. (Mathematische Annalen Bd.
119, 1944, S. 266—287) 919
§ 1. Problemstellung und Resultate 919
§2. Das Verhalten von ?j(t), #(t) bei beliebigen Modulsubstitutionen
und die Existenz der Operatoren T9 923
§ 3. Nachweis des Ausnahmefalles für r , , rf, jj* ~l 929
§ 4. Beweis der Transformationsformel für t}(pr), #(pt) 936
Liste der von Hecke angeregten und begutachteten Dissertationen ... 941
Bemerkungen und Berichtigungen ¦. 942
13
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