Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen:
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Leipzig [u.a.]
Teubner
1908
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Torwort............................................................
Erste Vorlesung....................................................
Einleitendes. Systeme linearer Differentialgleichungen. Komplette
und homogene Systeme. Integralexistcnz. Interpolationsverfahren
für den Fall einer realen unabhängigen Variabein.
Zweite Vorlesung...................................................
Neue Form des Interpolationsverfahrens. Rechnen mit Matrizen.
Integralmatrizen. Deriviertc Matrizen. Derivations- und Integra-
tionsregeln für Matrizen. Adjungierte Differentialsysteme und Inte-
gralmatrizen.
Dritte Vorlesung...................................................
Multiplikatoren. Weiteres über adjungierte Systeme. Integration
der kompletten Systeme. Methode der sukzessiven Approximationen.
Neuer Existenzbeweis und Darstellung für eine Integralmatrix. Kurze
Bemerkung über den Fall einer komplexen Variabein.
Vierte Vorlesung...................................................
Einleitendes über Differentialgleichungen, deren Lösungen gewöhn-
liche Quadraturen bezw. sogenannte Kurvenintegrale sind. Übergang
von dem linearen Dirterentialsvstem mit einer komplexen unab-
hängigen Variabein zu einem Systeme totaler Differentialgleichungen
mit zwei realen unabhängigen Variabeln. Integrabilitätsbedingungen,
Rechtecksatz. Unabhängigkeit der Integralmatrix vom Wege. Ana-
logon dos Riemannschen Satzes für einen geschlossenen Inte-
grationsweg.
Fünfte Vorlesung...................................................
Integralmatrizen totaler Ditferentialsysteme in mehrfach zusammen-
hängenden Bereichen. Lineare Substitution. Fundamentalsubsti-
tutionen. Geschlossene Wege. Ähnliche Matrizen. Anwendung
auf gewöhnliche lineare Differentialsysteme mit komplexen Variabein.
Existenz monogener Integralmatrizen im Holomorphiebereich der
Koeffizienten. Gespaltene Matrizen. Allgemeine Integralmatrix des
komplexen Systèmes. Verhalten in mehrfach zusammenhängenden
Bereichen. Änderungen des Querschnittsystems.
Sechste Vorlesung..................................................
Taylorsche Reihenentwicklung der Integrale. Historisches. Kon-
vergenzbeweis. Außerwesentlich singuläre Punkte der Integralmatrix.
Isolierte singuläre Punkte, in deren Umgebung die Koeffizienten
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V-VH
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Inhaltsverzeichnis.
IX
eindeutig sind. Cauchy sehe Systeme. Systeme mit konstanten
Koeffizienten. Erledigung des Falles ungleicher Wurzeln der charak-
teristischen Gleichung. Anwendung. Fundamentalgleichung. Kano-
nische Integralmatrix.
Siebente Vorlesung..................................................
Rationalitätsbereich. Der Artbegriff. Reduzibilität linearer Diffe-
rentialsysteme. Zurückführung auf evident reduzible Systeme. Form
der Integralmatrix. Sätze über reduzible Systeme und Systeme, die
zu derselben Art gehören.
Achte Yorlesung................................................
Differential Systeme mit konstanten Koeffizienten im Falle mehr-
facher Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Elementarteiler.
Integration der Teilsysteme. Kanonische Form einer Matrix. Not-
wendige und hinreichende Bedingungen für die Ähnlichkeit der
Matrizen. Cauchysche Systeme. Aufstellung einer speziellen
Integralmatrix. Kanonische Form der Umlaufsubstitution. Lösung
der Aufgabe der fünften Yorlesung.
Nennte Yorlesung....................................................
Singularitäten monogener Funktionen. Punkte der Unbestimmtheit.
Differentialsystcme, deren Lösungen in einem Punkte nicht unbe-
stimmt sind. Die zu dem singulären Punkte gehörige Cauchysche
Matrix. Determinierende Fundamentalgleichung und Matrix. Unter-
scheidung zweier Fälle. Diskussion des ersten Falles. Residuen-
matrix. Rekursionsformel. Reduktion des zweiten Falles auf den
ersten. Differentialgleichungen »-ter Ordnung. Fundamentalsystem.
Wronskische Matrix und Determinante. Notwendige Form der
Koeffizienten.
Zehnte Vorlesung..................................................
Differentialsysteme, die in der Umgebung eines Punktes kanonisch
sind, haben Lösungen, die daselbst nicht unbestimmt werden. Der
Satz von Fuchs. Rekursionsformel für die kanonischen Systeme.
Untersuchung des Differentialsystems in der Umgebung des unend-
lich fernen Punktes. Rang. Normalreiben.
Elfte Yorlesung.....................................................
Diffcrentialsysteme vom Hange Eins. Charakteristische Gleichung.
Divergenz iler Normalreihen. Allgemeines über asymptotische Dar-
stellungen. Das Poincarésche Lemma. Riccatische Differential-
systeme. Aufstellung eines Integralsystems. Reduktion eines Diffe-
rentialsystems bei Kenntnis eines partikularen Lösungssystems.
Zwölfte Vorlesung...................................................
Fortsetzung der Untersuchung der Diffcrentialsysteme vom Range
Eins. Nachweis der asymptotischen Darstellung für reale positive
Annäherung der unabhängigen Variabeln an die Unbestimmtheits-
stelle und für Annäherung mit beliebigem festen Argument.
Dreizehnte Yorlesung................................................
Differentialsysteme mit rationalen Koeffizienten. Der Fuchssche
Typus. Differentialgleichungen rø-ter Ordnung und schlechthin kanoni-
sche Differentialsysteme. Bedeutung der Fundamentalsubstitntionen
für das Integrationsproblem. Kogredienz. Arthegriff. Klassen-
Seite
104—121
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141-162
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215—238
X Inhaltsverzeichnis.
begriff. Das Riemannsche Problem. Das Fundamentallemma. Histo-
risches.
Vierzehnte Vorlesung..............................................
Abhängigkeit der Lösungen linearer Differentialsysteme von einem
Parameter. Ein Satz von Poincaré und seine Verallgemeinerung.
Anwendung auf schlechthin kanonische Systeme. Diskussion ge-
wisser Systeme von ganzen transzendenten Funktionen. Formelle
Aufstellung der parametrischen Normalreihen. Charakteristische
Gleichung. Beweis eines Lemmas. Asymptotische Darstellung der
Integrale für große Werte des Parameters durch die parametrischen
Normalreihen.
Fünfzehnte Vorlesung..............................................
Allgemeine Sätze über schlechthin kanonische Differentialsysteme.
Darstellung der Residuenmatrizen und der Fundamentalsubstitu-
tionen. Abhängigkeit der Koeffizienten von einem Parameter, von
dem die singulären Punkte und die Wurzeln der determinierenden
Fundamentalgleichungen nicht abhängen. Asymptotische Darstellung
der Lösungen und der Elemente der Fundamentalsubstitutionen für
große Werte des Parameters.
Sechzehnte Vorlesung..............................................
Kontinuitätsmethode. Beweis der Lösbarkeit des Riemannschon
Problems. Folgerungen. Die Inversen der ganzen transzendenten
Funktionen . Ein allgemeines Theorem über die Kogredienz.
Lösung des Riemannschen Problems durch die Fuchsscheu Zeta-
reihen, wenn die Konvergenzbedingungen erfüllt sind. Zwei Be-
merkungen.
Siebzehnte Vorlesung............................................
Monodromie der Verzweigungspunkte, Die Probleme konstanter
Residuen und konstanter Fundamentalsubstitutionen bei variabeln
Verzweigungspunkten. Das Fnchssche Problem. Integralmatrix
und Residuen als Funktionen der Verzweigungspunkte. Simultane
lineare Differentialsysteme und der Fuchssche Satz. Differential-
system zweiten Grades für die Residuen.
Register . . . .
Berichtigungen .
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239—26T
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286—304
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