Moderne algebraische Geometrie: die idealtheoretischen Grundlagen
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Wien [u.a.]
Springer
1949
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis.
Einleitung: Gegenstand der algebraischen Geometrie — Abgrenzung gegenüber
der analytischen Geometrie und der Differentialgeometrie — beson¬
derer Zweck der vorliegenden Bearbeitung — Voraussetzungen.
§ 1. Der Polynomring.
111. Zahlkörper. Algebraische Abgeschlossenheit, Stetigkeit, Fundamentalsatz
der Algebra — der komplexe Zahlkörper (1—3).
112. Ringerweiterungen. Ring, Integritätsbereich (1) — P Ring, Adjunktion von
Unbestimmten oder Variablen (2—3) — Formen, Grad, Untergrad (4) —
reduzibel, irreduzibel, absolut irreduzibel (5) — euklidischer Algorithmus,
QOT, teüerfremd (6—9) — Teilbarkeit eines Produktes (10) — ZPE Satz
(11—12) — ZPE Sutz in R [x (13) — primitive Polynome (14—16) —
Elimination (17) — Taylorsehe Formel, Ableitungen, Differentiations¬
regeln (18—20) — Eulersche Identität (21).
113. Körpererweiterungen. Quotientenkörper, Ring und Körperadjunktion, der
rationale Funktionenkörper (1—2) — Grad (3).
114. Potenzreihenringe. Das Rechnen mit formalen Potenzreihen (1) — Unter¬
grad (2) — mehrere Variable (3—4) — Einheiten (5) — Reduzierung von
Nichteinheiten (6) — regulär (7) — der Weierstraßsche Vorbereitungssatz
(8—9) — ZPE Satz (10—11).
115. Moduln und Ideale in kommutativen Ringen. Modul, Operator, Ideal (1—2) —
Nullideal, Einheitsideal (3) — Unterideal usw. (4) — Basis, Hauptideal,
Teilerkette (5) — O Ringe (6) — C Ringe (7) — Basissatz (8—9) — Hilbert
scher Basissatz (10—11) — Klasseneinteilung mod Q, Restklasse (12) —
Rechnen mit Kongruenzen (13) — Restklassenring (14) — Homomorphie
(15) — Isomorphie (16) — Homomorphiesatz (17) —• 1. und 2. Isomorphie
satz (18—19) — Idealkörper, Operationen mit Idealen (20—26) — Ideale
des Restklassenringes (27—29).
116. Algebraische und transzendente Erweiterungen eines Körpers. Lineare Ab¬
hängigkeit, algebraische und transzendente Größen (1—2) — algebraische
Erweiterung (3—4) — Basis (5) — Isomorphie zwischen ß (a) und R [ ]/ *
(6) — primitive Elemente (7) — Konstruktion algebraischer Erweiterungs¬
körper, Berechnung von Wurzeln (8—9) — sukzessive algebraische Er¬
weiterungen (10) — endliche Erweiterung, Basis (11—12) — Satz von der
Existenz eines primitiven Elementes (13—15) — unendliche algebraische
und transzendente Erweiterungen (16) — Transzendenzgrad, dessen In¬
varianz (17—19) — gemischte transzendente und algebraische Erweite¬
rungen (20—22) — Konstruktion von isomorphen Restklassenkörpern
(23—24) — algebraische Unabhängigkeit von Polynomen (25—26).
Inhaltsverzeichnis. VII
§ 2. Nullstellentheorie der Polynomideale.
121. Nullstellen und Nullstellengebilde (NG) eines P Ideals. Definition von Null¬
stelle und NG (1—2) —• Nullstellen eines Hauptideals (3) — lineare homo¬
gene Transformationen der Variablen (4—6) — P Ideale mit demselben
NG (7) — Einheitsideal (8).
122. Eliminationstheorie, o = (/, g) in K [x], Ermittlung des GQT durch Ansatz
mit unbestimmten Koeffizienten (1—2) — Kriterium für die Existenz
eines GGT (3) — Sylvestersche Determinante, Eesultante (4) •— Eigenschaften
der Resultante (5) — Zusammenfassung (6) — et = (/t fs) in K [x]
(7—8) — Eliminationsideal (9—12) — Ideale in K [arlf ..., xn], Elimina¬
tionsideale (13—16) — der Hilbertsche Nullstellensatz (17).
123. Geometrische Veranschaulichung der Elimination. Nullstellen und NG, der
affine Raum R», Rolle der Anschauung (1) — NG von bt ist Projektion
des NO von et (2) — unendlich ferne Punkte (3) — Projektionszentrum (4) —
Bedeutung der Transformation in 121.4, allgemeine Projektionen (5—6) —
die NO von b„ b„ ... (7) — Dimension (8).
124. Homogene Variable. Projektive Räume. Fehlen der unendlichfernen Punkte
im affinen Raum (1—3) — Übergang zu homogenen Variablen (4) —
# Ring, Ä Ideale (5) — H Basis (6) — das äquivalente H Ideal (7—8) —
Beispiel einer J? Basis (9) — Nullstellen, triviale Nullstelle, ^ Ideale (10) —
der projektive Raum (11) — Abbildung von R^ auf Pn (12) — Vorteile
der homogenen Arbeitsmethode (13).
125. Resultanten von H Idealen. Anwendung der Eliminationstheorie auf H
Ideale (1—2) — Resultantenideale (3) — allgemeine Koeffizienten (4) —
Homogeneität (5) — Hurwitzsche Bedingung (6) — Unabhängigkeit von der
Reihenfolge der Variablen (7) — I ist Primideal (8) — t = (0) wenn s n
(9) — bs+l = (0) (10) — Fall s = n, Resultante (11) — Beispiele (12) —
Vertauschung der Variablen (13) — Macaulaysche Darstellung der Resul¬
tante, H (t; n) (14) — D (t; n); reduziert hinsichtlich x0, ..., xn (15) —
Definition von D (t; n), führendes Glied (16) — Spezialisierungen, Grad
der Resultante (17) — Koeffizient von aMn in t und D (t; n) (18—19) —
Außerwesentlicher Faktor (20)— Macaulaysche Darstellung (21) — Eigen¬
schaften der Resultante (22) —Invarianz (23) — Hilfssatz (24) — Beweis
(25) — isobare Eigenschaft (26) — weitere Eigenschaften (27) — Beispiel
(28).
126. Fortsetzung der Idealtheorie in hommutativen Ringen. Primideal, Primideal¬
ketten (I — 2) — nilpotent, primär, Primärideal (3) — primäre Ringe (4) —
zugehöriges Primideal, Kriterien (6—7) —¦ reduzible, irreduzible Ideale
(8) — irreduzible Ideale (9) — reduzible Primärideale (10) — Darstellungs¬
satz (11— 12) — verkürzbar, Primärkomponenten (13—14) — reduzierte
Darstellung (15) — Eindeutigkeitssatz (16) — Hilfssatz (17) — Beweis
zu 16 (18—19) — relativ prime Ideale (20) — isoliertes Komponenten¬
ideal (21).
127. Algebraische Mannigfaltigkeiten. Notwendigkeit des neuen Begriffes AM
(1) — allgemeine Sätze über NG und AM (2—5) — maximales Ideal (6) —
irreduzible A7Ö (7) — eindeutige Zuordnung von Primidealen und irredu
ziblen NG (8) — irreduzible AM (9) — NG eines Primärideals (10) —
Beispiele (11—14) — benachbarte Punkte (11—12) — vielfache Punkte
VIII Inhaltsverzeichnis.
(13) — Verallgemeinerung auf mehr Dimensionen (14) — AM von Primar
idealen (15) — Multiplizität eines Primärideals (16) — Beweis des Jordan
Hölderschen Satzes (17—20) — Multiplizität eines r fachen Punktes (21) —
Charakterisierung durch Multiplizität (22—23) — AM (a) (24) — Eindeutig¬
keit (25).
§ 3. Dimensionstheorie der Polynomideale.
131. Dimension und Bang eines (inhomogenen) P Ideals. Restklassenkörper
Oj, eines Primideals (1) — Transzendenzgrad von Op üher K = Dimension von
p; d t== n; algebraisch abhängige Größen in Oj, über K (2) — Nullideal,
Einheitsideal (3) —• nulldimensionale Primideale, Basis, Nullstelle (4) ¦—
Bang r = n—d (5) — „unabhängig in bezug auf ein P Ideal (6) •— Di¬
mension = Maximalzahl unabhängiger Variablen (7) — Dimension von
[o, B], eines Primärideals (8) — Dimension von a = größte Dimension der
zugehörigen Primideale; Rang (9) — gemischt, ungemischt (10) —
Oj, als endlicher algebraischer Erweiterungskörper von K (xt, ..., x^)
(11) — Erweiterungsideal p* =po* in o* = K (xlf ..., x^) [ay+i xn]
(12) — q* = q o* (13) — o*=[qt* qj*] (14) — Dimension eines Teilers,
Vielfachen (15).
132. Oeometrische Interpretation der Dimension. H Ideale. Dimension von et =
Dimension des NO (a) im topologischen Sinn (1) — die Mannigfaltigkeit
der Nullstellen von p hängt in der Umgebung einer festen Nullstelle von d
freien Parametern ab (2) — v. d. Waerdensche allgemeine Nullstelle;
eineindeutige und stetige Abbildung auf die Umgebung eines Punktes
im ^d (3) — allgemeine P Ideale; gemischte Ideale mit ungemischtem NO
(4) — // Ideale (5) — homogene Dimension (6) — Rang eines ff Ideals
(7) — nulldimensionale .ff Ideale, T Ideale, Einheitsideal, Nullideal (8) —
äquivalente // Ideale, deren Rang, Dimension, reduzierte Darstellung
(9) — Invarianz der Dimension gegenüber linearen und birationalen Trans¬
formationen (10).
133. Die Primbasis. Basis eines nulldimensionalen Primideals (1) — Charakte¬
risierung der Basispolynome p„ p2 (2) — sukzessive Ermittlung der Prim¬
basis (3—4) — Zusammenfassung für nulldimensionale Primideale (5) —•
Abhängigkeit der Primbasis von den Variablen und deren Anordnung (6) —
Primideale höherer Dimension (7—8) — Monoid, monoidale Primbasis
(9) —• .ff Ideale (10) — Dimension von (p, q) (11) ¦— Dimension der Teiler eines
Primideals, Primidealkette (12) •— Dimension von (a, p) (13) — Dimension
von (p, p) bei .ff Idealen (14) — Dimension von (a, 9p) bei H Idealen, zu¬
gehörige Primideale, 8 Sä r (15) — Schnitt einer AM der Dimension d mit
einem allgemeinen linearen Unterraum der Dimension r (16) — Rang der
Matrix (y jjfc) (17) — beliebige Polynome aus p (18) — r ^ s, keine obere
Schranke für s (19) — Differentialkongruenzen mod p (20) — Beweis (21).
134. Polaren, Tangenten und Tangentialräume. Primhauptideale (1) — Schnitt
mit einer Geraden (2) — Anzahl, Multiplizität der Schnittpunkte, Tangente
(3) — Polare (4) — Berührungspunkte der von {£} ausgehenden Tangenten
(5) — Tangentialhyperebene im Punkt {§} (6) — singuläre Punkte (7) —
D (qp) (8) — Tangenten im engeren Sinn, Tangentenkegel (9) — Ausdehnung
auf homogene Primideale des Ranges r, Tangentialraum (10) — Bedin¬
gung für nicht singuläre Punkte (11) — singuläre Punkte, D (p) (12).
Inhaltsverzeichnis. IX
135. Ideale der Hauptklasse. Hauptklassenideal, Hauptideal, vollständiger
Schnitt (1) — jedes nulldimensionale inhomogene Primideal gehört zur
Hauptklasse (2) — jedes ungemischte P Ideal des Ranges 1 ist Hauptideal
und umgekehrt (3) — Umformung der Basis (4—5) — jedes Hauptklassen¬
ideal ist ungemischt, Beweis für // Ideale (6—7) —• Hilfssatz (8) — Beweis
für inhomogene P Ideale, Beweis s ^ r (9—11) — jede Potenz eines Haupt¬
klassenideals ist ungemischt (12).
136. Ganze algebraische Größen. Definition einer algebraisch ganzen Größe (1) •—
ist a algebraisch ganz über B, ß über B [o], so auch ß über B (2—3) —
mit * und ß sind auch a + ß und a ß algebraisch ganz über B (4) — ganze
Abschließung, ganz abgeschlossen (5) — Existenz einer endlichen Modul¬
basis von 8 über R (6—8) — Normierungssatz (9—10) — Anwendung
auf die Restklassenringe von P Idealen; jeder ZP/J Integritätsbereich ist
ganz abgeschlossen (11) — Führerideal und dessen Darstellungen (12—13) —
das adjungierte Ideal (14) — Beziehungen zwischen Erweiterung« und
Verengungsidealen (15) — Hilfssätze (16—19) — symbolische Potenzen
(20) — Primärideale von minimalen Primidealen in ganz abgeschlossenen
Integritätsbereichen (21) — Beweis der Formel p(.0: p(. ) = p(e 0 (22) —
erster Hauptidealsatz (23) — Quotientendarstellung von Idealen mit mini¬
malen Primärkomponenten (24).
137. Waerdensche Nullstellen. Primidealketten. Restklassenring und Restklassen¬
körper von p (1) — eindeutige Zuordnung p * *¦ Bf * *¦ ov (2) — Homo
morphie Bp j^. Bp , wenn p Cp (3) — Waerdensche Nullstelle, allgemeine
Nullstelle (4) — relationstreue Spezialisierung (5) — Primidealkettensatz
(6—8) — Beweis (9) — pseudogemischte Ideale (10) — 2. Hauptidealsatz
(11) — Verschiedenheit der Eliminationsideale p , und pt, wenn pt dp pt
(12 13) — supernormale Primideale (14) — verschärfter 2. Hauptideal¬
satz, perfekte Ideale (15—16) — Schnittsatz für pseudogemischte Ideale
(17 18).
138. Potenzreihenideale. Übergang vom P Ring zum Potenzreihenring (1—3) —
a = (Q (4) — a o n o = lim ( »,u?) = ct0 (5—6) — Satz von Krull über das
KGV aller symbolischen Potenzen eines Primideals (7—8) — Satz von
M. Noether: a iTn » = oo (9) — Zweige eines Primideals (10—11) — Potenz¬
reihenringe sind O Ringe (12) — Dimension eines Potenzreihenideals
(13—14) — Dimension einer AM (p) „im Kleinen und „im Großen (15).
§ 4. Die Hilbertfunktlon.
141. Definition und allgemeine Eigenschaften der Hilbertfunktion. .ÄT Modul der
Formen des Grades t in K [x0, ..., xn] (1) — Volumen (2—3) — Formeln
für das Volumen V (t; a) (4) — Hilbertfunktion H (t; a) (5) — Hilbertsche
Gleichungen (6) — Postulation (7) — Hilbertfunktion eines inhomogenen
.ff Ideals; sie ist monoton (8) — Formeln für die Hilbertfunktion (9) —
triviale Komponenten (10) — Hilbertfunktion eines nulldimensionalen
Ideals (11) — Ordnung = Anzahl der Nullstellen (12) — Hilbertfunktion
eines nulldimensionalen Primärideals (13) — Beweis für beliebige null¬
dimensionale // Ideale (14) — Hilbertscher Satz, Hilbertsche Koeffizienten,
Ordnung (15—16) — Invarianz gegenüber homogenen linearen Transfor¬
mationen (17).
X Inhaltsverzeichnis.
142. Formeln für Hilbertfunktionen von Idealen der Hauptklasse. Hauptideale
(1) — 2., 3., ..., r te Hauptklasse (2—4) — Ordnung eines Hauptklassen
ideals (5) — Gültigkeit der Formeln für niedere Grade t (6).
143. Die Hilbertschen Koeffizienten, insbesondere die Ordnung der H Ideale.
Projektionen. Ordnung von a = Summe der Ordnungen der Primärkom
ponenten höchster Dimension (1) — Beweis (2) — Verallgemeinerung auf
die übrigen Hilbertkoeffizienten (3) — Grad = Ordnung bei Hauptidealen
(4) — Ordnung eines Primärideals der Multiplizität /* (5) — Invarianz der
Hilbertkoeffizienten gegenüber linearen homogenen Transformationen (6) —
*o (a V) — T *o (a) wenn a: tp = a (7) — Schnitt einer AM mit einer Hyper¬
ebene (8) — Ordnung = Anzahl der Schnittpunkte mit einem linearen
Unterraum (9) — Invarianz der Ordnung gegenüber einer allgemeinen
Projektion (10) — Projektion eines allgemeinen .ff Ideals (11) — Hilbert
funktion des durch ein Ideal a in K [xtt xn] erzeugten Projektions¬
kegels x* in K [i„ Xfi (12) — Analytische Charakterisierung der
„allgemeinen Lage des Projektionszentrums (13) — Formel für die Hilbert
funktion des projektierten Ideals (14) — Beweis für Ao (a) = h„ (ä) (15) ¦—
Dimension von aT, falls das Projektionszentrum auf der AM (et) liegt
(16—18) — Erniedrigung der Ordnung um 1, falls das Projektionszentrum
in einem gewöhnlichen Punkt der AM (p) liegt (19) — Beweis (20) —
Beispiele, Baumkurven 3. und 4. Ordnung (21).
144. Sätze über Schnittpunkte und Einbettungsräume. Der spezielle Bezoutsche
Satz (1—2) — perfekte Ideale, vorläufige Definition (3—4) — der allgemeine
Bezoutsche Satz (5—6) — allgemeine Gültigkeit im P, und P, (7) —
Ablehnung eines komplizierten Multiplizitätsbegriffes, der die uneinge¬
schränkte Gültigkeit des Bezoutschen Satzes erwirkt (8) — Beispiel eines
im perfekten Primideals, wo die Aussage des Bezoutschen Satzes nicht
stets erfüllt wird (9—11) — allgemeine Form des Bezoutschen Satzes bei
pseudogemischten AM und Anwendungen (12—15) — Einbettungsraum
(16) — normale AM (17) — jedes eigentlich eingebettete supernormale
Primideal ist normal (18) — Beispiel: Kurve 4. Ordnung mit einem Doppel¬
punkt (19) — Einbettungssatz (20—21) — rationale allgemeine Nullstelle
einer irreduziblen quadratischen Form (22) — Reduzibilitätskriterium (23)
§ 5. Syzygientheorie der H Ideale.
151. Matrizen im H Ming. Homogene Matrizen (1—2) — Vektoren, Skalare (3) —
Operationen mit Matrizen (4—7) — Vektormodul (8) — Basissatz für
Vektormoduln (9—10) — Syzygien (11) — rechter und linker Syzygien
modul einer Matrix (12—13) — Minimalbasis (14).
152. Syzygienketten. Kette von Syzygienmoduln (1—2) — Syzygienketten von
Hauptklassenidealen (3—5) — Syzygienkette von (a, p) (6—7) — Länge
der Syzygienkette in Abhängigkeit vom Bang (8—9) — Aufspaltung einer
Syzygie nach einem Hauptklassenideal (10—11) — Länge jeder Syzygien¬
kette 5S n + 1 (12) — Triviale Komponenten (13) — Abhängigkeit von der
ff Basis (14) — Zusammenhang mit der Hilbertfunktion (15).
153. Perfekte Ideale. Definition (1) — .ff Ideale der Hauptklasse (2) — Bang n,
» + 1 (3) — Ungemischtheit (4) — Beispiele imperfekter Ideale (5) —
Kriterien für perfekte Ideale (6).
Inhaltsverzeichnis. XI
154. Durch Matrizen dargestellte H ldeale. Definition eines Matrizenideals (1) —
Satz über Rang und Ungemischtheit (2) — Hilfssatz über Spezialisierungen
(3—4) — Beweis des 1. Teiles von 2 (5) — Satz über die Syzygien eines
Matrizenideals (6—8) — Beweis des 2. Teiles von 2 (9—10).
155. Perfekte Raumkurven. Darstellung der perfekten Raumkurven durch
Matrizenideale (1—4) — «=1, Hauptklassenideale (5) — s = 2, Ordnung
*« (a) (6) — perfekte Raumkurven 3. Ordnung (7) — imperfekte Raum¬
kurven 3. Ordnung (8) — geometrische Bedeutung des Begriffes „perfekt
(9). — Noethersche Bedingungen (10—II). — Noetherscher Fundamental¬
satz (12—13).
Erklärungen einiger Zeichen und Begriffe.
001. Abkürzungen.
GGT = größter gemeinsamer Teiler,
KOV = kleinstes gemeinsames Vielfaches,
Rn = affiner n dimensionaler Raum (123),
P» = projektiver ra dimensionaler Raum (124),
O Ring = Ring mit Teilerkettensatz (115),
J7 Ring = Ring mit Vielfachenkettensatz (115),
P Ring = Polynomring,
ff Ring = homogener Polynomring (124),
P Ideal = Polynomideal,
.ff Ideal = homogenes Polynomideal (124),
NG = Nullstellengebilde (121),
AM = algebraische Mannigfaltigkeit (127),
ZPE = eindeutige Zerlegbarkeit in Primelemente.
002. Mengentheoretische Bezeichnungen.
a e SW bedeutet: a ist Element der Menge SW;
SW C 91, 9i 3 SW bedeutet: die Menge SW ist (eigentliche) Untermenge von 31;
SW £ % 91 3 SDl bedeutet: STO ist Untermenge von 91 oder mit 91 identisch;
Sfö n SB bedeutet: Durchschnitt der Mengen SW und SR (Menge aller
Elemente, die sowohl in SW wie auch in SB enthalten
sind);
1W + 91 bedeutet: Summe der Mengen SW und Sß (Menge aller Elemente,
die in wenigstens einer der Mengen SW, 9t enthalten
sind);
el cl — bedeutet: Negationen der Zeichen e, c, C;
SW _^_ 91 bedeutet: homomorphe Abbildung (operationstreu 115.15);
SW ^ 91 bedeutet: isomorphe Abbildung (operationstreu 115.15).
003. Einige algebraische Begriffe.
1. Gruppe: eine nichtleere Menge von Elementen a, 6, c für die eine Ver¬
knüpfungsoperation erklärt ist, welche jedem geordneten Elementen¬
paar ein Element derselben Menge zuordnet: a b = c. Es gelten die Axiome:
a) das assoziative Gesetz: a (6c) = (ab) c;
XII Inhaltsverzeichnis.
b) eindeutige Lösbarkeit der Gleichungen: xa = b,a y = 6.
Gilt auch das kommutative Gesetz a b = b a, so heißt die Gruppe kommu¬
tativ oder abelsch.
2. Ring (kommutativ)1 eine nichtleere Menge von Elementen, für die zwei
Verknüpfungsoperationen, Addition und Multiplikation, definiert sind
und folgenden Gesetzen genügen:
a) den assoziativen Gesetzen: a + (6 + c) = (a + 6) + c, a (6c) = (ab) c;
b) den kommutativen Gesetzen: a+6 = 6 f a, ab = ba;
c) dem Distributivgesetz: a {b + c) = ab + ac;
d) der eindeutigen Lösbarkeit der Gleichung: a + x = b.
Jeder Ring enthält ein Nullelement, aber nicht notwendig ein Eins¬
element. Ist ab = 0, ohne daß ein Faktor null ist, so heißen a, b Null¬
teiler. Ein Ring ohne Nullteiler heißt Integritätsbereich. Ist ab = 1, ohne
daß a = b— 1 ist, so heißen a, b Einheiten; b=a~1 heißt das inverse oder
reziproke Element zu a.
3. Körper (kommutativ)1: ein Ring, der noch der Forderung genügt:
e) der eindeutigen Lösbarkeit der Gleichung a x = b falls a =j= 0.
Jeder Körper enthält ein Einselement und keine Nullteiler.
4. Quotientenring, Quotientenkörper: Ist R ein Ring, iS eine Untermenge von
Elementen aus R, welche weder die Null noch Nullteiler enthält und
gegenüber der Multiplikation abgeschlossen ist, so bildet die Menge
aller Brüche j^ (a e B, b e S) den Quotientenring von R in bezug auf 8,
symbolisch ^. Ist S die Menge aller Nichtnullteiler von B, so hat man
den Quotientenring schlechthin, symbolisch ^. Ist R ein Integritäts
ß
bereich, so ist ^ ein Körper, der Quotientenkörper. Für das Rechnen
mit Brüchen gelten die gewöhnlichen Regeln.
1 Wir haben es hier ausschließlich mit kommutativen Ringen und Körpern
zu tun.
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