Die konfluente hypergeometrische Funktion: mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen
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Vorwort V
Liste der in diesem Buche benutzten mathematischen Symbole .... XV
I. Abschnitt. Die Differentialgleichung der konfluenten hypergeometri¬
schen Funktion in ihren verschiedenen Formen und die Defini¬
tionen der sie lösenden Funktionen.
§ 1. Die Kummer sehe Differentialgleichung und ihre Lösungen . . 1
1. Die Entstehung der Kummerschen Differentialgleichung
durch Konfluenz 1
2. Die Nullpunktslösungen der Kummerschen D.G1 3
3. Der analytische Charakter der Kummerschen Funktion
und ihre wichtigsten Eigenschaften 5
4. Einfache Integraldarstellungen für die Kummersche Funk¬
tion 7
§ 2. Die Whittakersche Differentialgleichung und ihre Lösungen . 9
1. Die Whittakersche Differentialgleichung und die Definition
der Funktion Mx,n!i(z) als ihre Nullpunktslösung .... 9
2. Die Funktion Jtx,nii(z) in einfachen Sonderfällen .... 12
3. Einfache Integraldarstellungen für JCx,iii*(z) 13
a) Die reine Potenzreihe für Mx,iiii{z) und eine damit zu¬
sammenhängende Integraldarstellung 17
4. Die Whittakersche Funktion Wx,^i(z) 18
5. Die Funktion Wx,pi2{z) und das lösende Fundamentalsystem
der Wh.D.Gl. für ganzzahlige Werte p ¦ m 20
6. Die Funktionen Wx li)2(z) in einfachen Sonderfällen ... 23
7. Die Wronskische Determinante der verschiedenen Lösungs¬
paare der Wh.D.Gl 24
8. Die Umlaufsrelationen für die Lösungsfunktionen der Wh.
D.G1 26
9. Das Verhalten der Funktionen MK, P/2 (z) und Wx, ^/2 (z) und
ihrer ersten Ableitungen in unmittelbarer Nähe des Null¬
punktes 28
10. Die Wertigkeit der Funktionen Jtx,n i{z) und Wx^pLj i{z) bei
komplexen Werten von z und x, aber reellen Werten von / 28
§ 3. Verwandte Differentialgleichungen. Die Funktionen des para¬
bolischen Zylinders. Höhere Ableitungen 32
1. Differentialgleichungen, die auf die Whittakersche zurück¬
geführt werden können 32
2. Eine der Wh.sehen D.G1. zugeordnete inhomogene D.G1. . 37
3. Die Funktionen des parabolischen Zylinders 38
4. Die Wronskis für die verschiedenen Fundamentalsysteme
der Weberschen D.G1 42
5. Die einfachsten Integraldarstellungen für die Funktionen
Dv(z) und E™(z) 43
XII Inhaltsverzeichnis.
6. Formeln für die höheren Ableitungen der beiden Whittaker
Funktionen 45
§ 4. Die Funktionen des Drehparabols und des parabolischen Zylinders
als Partikularintegrale der Wellengleichung in den entsprechenden
Koordinaten 49
1. Die Koordinaten des Drehparabols und die Form der Wellen¬
gleichung in diesen Koordinaten 49
2. Die separierten Lösungen der Wellengleichung in den Funk¬
tionen des Drehparabols 52
3. Die Koordinaten des Zylinderparabols und die zugehörige
Form der Wellengleichung 55
4. Die Lösungen der separierten Wellengleichung in den Funk¬
tionen des Zylinderparabols 57
II. Abschnitt. Allgemeine Integraldarstellungen für die parabolischen
Funktionen selbst und ihre Produkte.
§ 5. Integraldarstellungen für die einfachen parabolischen Funktionen 58
1. Integrale mit doppelt verzweigtem binomischen Kern ... 58
2. Integrale mit dem wesentlich singulären Kern exp (—z/2 • 2g v) 66
3. Komplexe Integrale auf der Basis des Hankeischen Integrals 72
4. Integrale vom Mellintypus 74
5. Integrale mit willkürlichem Parameter für die Funktion
Wx^i*(z) 77
6. Anwendung der Integraldarstellungen zur Herleitung der
Rekursionsformeln 80
§ 8. Integraldarstellungen für die Produkte aus zwei parabolischen
Funktionen 83
1. Die einfachsten Formen solcher Integrale 83
III. Abschnitt. Die Asymptotik der parabolischen Funktionen.
§ 7. Die Asymptotik bei großen Werten von z oder /i oder x . . . 90
1. Das asymptotische Verhalten hinsichtlich z 90
2. Das asymptotische Verhalten hinsichtlich /i bei einem von /i
unabhängigen Wert von * 93
3. Das asymptotische Verhalten der Funktion Jl ß ^ (z) 95
X _ , fX i
2 2
4. Das asymptotische Verhalten hinsichtlich x 96
§ 8. Die Asymptotik bei großen Werten von z und y. 101
1. Die Sattelpunktsmethode 101
2. Das Verfahren von E. Langer 110
IV. Abschnitt. Unbestimmte und bestimmte Integrale mit parabolischen
Funktionen und einige unendliche Reihen.
§ 9. Unbestimmte Integrale mit parabolischen Funktionen .... 112
1. Unbestimmte Integrale mit dem Produkt zweier parabolischer
Funktionen 112
2. Beispiele 114
Inhaltsverzeichnis. XIII
§ 10. Die Laplace Transformierte der parabolischen Funktionen . . . 118
1. Die Laplace und M e 11 i n Transformierten der Funktion
Jlx,nl2(z) 118
2. Die Laplace und Mellin Transformierten der Funktion
WK„i2(z) 120
§ 11. Verschiedene weitere Integrale mit parabolischen Funktionen
und einige unendliche Reihen 124
1. Integrale vom Stieltjesschen und Hankeischen Typus . 124
2. Das Additionstheorem der Parameter für die Funktion
J(x,„l*(z) 128
3. Ein allgemeines Prinzip zur Herleitung einer unendlichen
Reihe mit den Funktionen /»iP/s+,(^) 129
4. Eine unendliche Reihe mit halbzahligen Besselschen Funk¬
tionen für J(x,iiiv(z) 132
V. Abschnitt. Die den parabolischen Funktionen zugehörenden Poly¬
nome und unendliche Reihen mit diesen Polynomen.
§ 12. Reihen und Integrale mit Laguerre Polynomen 135
1. Zusammenstellung und Ergänzung des Formelmaterials . . 135
2. Reihen und Integrale mit Laguerre Polynomen 138
§ 13. Reihen und Integrale mit Hermite Polynomen 145
1. Zusammenstellung und Ergänzung des Formelmaterials . . 145
2. Reihen und Integrale mit Hermite Polynomen 146
§ 14. Weitere besondere Polynome und Funktionen 151
1. Die Polynome von Charlier 151
2. Die ^ Funktion von H. Bateman 152
3. Das verallgemeinerte Neumannsche Polynom 153
4. Die Polynome von Sonine 155
VI. Abschnitt. Die Parameterintegrale in den Beziehungen für die
v rschiedenen Wellentypen der mathematischen Physik in den
parabolischen Koordinaten.
§ 15. Integrale über den vorderen Parameter von zwei und vier para¬
bolischen Funktionen 155
1. Die Ausgangsreihe und die Integrale über ^ Funktionen . 155
2. Eine zweite Ausgangsreihe und Integrale über Produkte von
JC und ^ Funktionen und W Funktionen allein 161
§ 16. Die Integraldarstellungen für die verschiedenen Wellentypen der
mathematischen Physik 166
1. Einleitende Bemerkungen lß(i
2. Die verschiedenen Wellentypen in den Koordinaten des Dreh
parabols ^
a) Die Zylinderwelle 168
b) Die ebene Welle 168
c) Die stehende und fortschreitende tesserale Kugelwelle . 169
d) Die gewöhnliche, fortschreitende Kugelwelle mit behebig
gelegenem Erregungszentrum l7l
3. Die verschiedenen Wellentypen in den Koordinaten des Zyhn
derparabols 172 _
a) Die ebene Welle l72
XIV Inhaltsverzeichnis.
b) Die nach außen fortschreitende und die stehende sekto
rielle Zylinderwelle mit der Brennlinie als leuchtender Linie 174
c) Die nach außen fortschreitende, axialsymmetrische Zy¬
linderwelle bei beliebiger Lage der zur Brennlinie parallelen
leuchtenden Linie 175
d) Die gewöhnliche fortschreitende Kugelwelle bei beliebiger
Lage des Erregungszentrums 178
VII. Abschnitt. Nullstellen und Eigenwerte.
§ 17. Die Nullstellen der Funktion Mx, W2 (z) 179
1. Über die Nullstellen von Mx,nji(z) in bezug auf z . . . . 179
2. Über die Nullstellen von Mx,nii{z) in bezug auf x . . . . 185
3. Die Nullstellen von WK^!2(z) hinsichtlich z 189
§ 18. Eigenwertprobleme mit parabolischen Funktionen 190
1. Die Eigenschwingungen einer gespannten Saite mit para¬
bolischer Massenbelegung 190
a) Die expliziten Näherungsformeln für die Eigenfrequenzen 193
2. Die Greensche Funktion der ersten homogenen Randwert¬
aufgabe der Wellengleicbung in einem von konfokalen Dreh
parabolen begrenzten Raum 194
a) Die Forderungen an die Greenschen Funktionen 1. und
2. Art 194
b) Die dreidimensionale Greensche Funktion der ersten
homogenen Randwertaufgabe 198
c) Die Entwicklungen für die Greenschen Funktionen Gx
und G2 im Falle % = 0 nach Eigenfunktionen .... 200
d) Die nach Laguerre Polynomen fortschreitende Reihen¬
entwicklung für Gj 203
3. Entwicklung einer willkürlichen Funktion nach Eigenfunk¬
tionen 204
Anhang I. Zusammenstellung der Sonderfälle der parabolischen Funk¬
tionen Mx,i*i2(z) und Wx,iiji(z) 208
Anhang II. Schrifttumsverzeichnis 216
Sachverzeichnis.
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