Holdings: Vorlesungen über Differentialgeometrie

Vorlesungen über Differentialgeometrie:

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Main Author:	Bianchi, Luigi 1856-1928 (Author)
Format:	Book
Language:	German
Published:	Leipzig Teubner 1899
Subjects:	Geometry, Differential Differentialgeometrie Aufsatzsammlung
Online Access:	Inhaltsverzeichnis
Physical Description:	XVI, 659 S. Ill., graph. Darst.

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adam_text	Inhaltsverzeichnis. Kapitel I. Curven doppelter Krümmung. Seite § 1. Tangente und Normalenebene........................................... 1 g 2. Die erste Krümmung oder Flexion...................................... 2 g 3. Die Schmiegungsebene................................................. 4 g 4. Hauptnormale und Binormale........................................... 6 § 5. Die zweite Krümmung oder Torsion.................................... 8 § 0. Formeln von Frenet................................................... 9 g 7. Das Vorzeichen der Torsion...........................................11 g 8. Die natürlichen Gleichungen einer Curve............................ 12 § 9. Integration der natürlichen Curvengleichungen........................13 g 10. g 11. Cylindrische Schraubenlinien..................................16 § 12. Enveloppe von oo1 Flüchen...........................................19 g 13. Abwickelbare Flächen................................................22 g 14. Polardeveloppable einer Curve.......................................23 §15. Ort der Mitten der Schmiegungskugeln...............................25 § 16. § 17. Evoluten und Evolventen.....................................27 § 18. Orthogonale Trajeotorien von oo1 Ebenen...........................30 g 19. § 20. Bertrand’sche Curven........................................31 Kapitel II. Quadratische Differentialformen. § 21. Algebraische quadratische Formen.................................. 35 g 22. Definition der Ditterentialinvariantcn und Difterentialparameter einer quadratischen Differential form.....................................38 § 23. Erster Diffcrentialparameter A, U und Zwischenparametcr V(U, V) . . 40 g 24. Äquivalenz zweier quadratischer Ditterentudformen...................41 § 25. Eigenschaften der Christofferschcn Drei-Indices-Symbole.............44 § 26. Die covarianten zweiten Differentialquotienten und der zweite Diffe- rentialparameter U...................................................45 § 27. Vier-Indices-Symbole................................................48 § 28. § 29. Krnmmungsmass einer binären Ditterentialform..................50 g 30. Die trilincare Covariante (ƒ, cp) zweier simultaner quadratischer Diffe- rentialformen ƒ und p...............................................54 § 31. Gleichzeitige Réduction zweier binärer quadratischer Differentialformen auf Orthogonalformen................................................56 VIII Inhaltsverzeichnis. Kapitel III. Krummlinige Coördinaten auf den Flächen. Conforme Abbildung. geite § 32. Krummlinige Coördinaten auf einer Fläche..............................59 § 33. Linienelcment der Fläche..............................................61 § 34. Winkel einer Flächencurve mit den Parameterlinien.....................64 § 35. Christoffel’sche Symbole, Ditfercntialparameter und Krümmungsmass . . 66 § 36. Einführung neuer krummliniger Coördinaten.............................68 § 37. § 38. Isothermensysteme................................................70 i g 30. Satz von Lie über Isothermensysteme...................................73 i g 40. Conforme Abbildung einer Fläche auf eine andere Fläche................75 I § 41. Allgemeine Lösung des Problems der conformen Abbildung..........76 § 42. Isothermensysteme auf den Rotationsflächen.......................78 § 43. Stereographische Polarprojection der Kugel.......................79 § 44. Doppelte Orthogonalsystemo von Kreisen auf der Kugel und in der Ebene 80 § 45, Darstellung der Bewegungen der complexen Kugelfläche in sich mittels linearer Substitutionen nach Cayley....................................81 Kapitel IY. Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie. § 46. Die beiden quadratischen Fundamentalformen der Fläche............85 § 47. Formeln für die zweiten Ableitungen von x, y, z und für die ersten Ab- leitungen von X, Y, Z...........................................87 § 48. Formeln von Gauss und Mainardi-Codazzi zwischen den Coefflcienten E, F, G, D, D , 7) der beiden Fundamentalformen.................90 § 49. § 50. Existenz und Eindeutigkeit der Fläche, die zwei solchen gegebenen Fundamentalformen entspricht, welche den Gleichungen von Gauss und Codazzi genügen.....................................................93 § 51. Krümmungslinien der Fläche.........................................97 g 62. Hauptkrümmungsradien der Fläche....................................99 § 53. Radien der ersten Krümmung der FTächcncurven und Meusnier’scher Satz 100 § 54. Euler’sche Formel und Dupin’sche Indicatrix.......................102 § 55. Totale und mittlere Krümmung......................................106 § 56. Conjugierte Systeme...............................................107 § 57. Haupttangentencurven............................................. 109 § 58. Die einem eonjugierten System adjungierte Laplace’sche Gleichung . . 109 § 59. Einige Anwendungen................................................112 § 60. Berechnung der Diflerentialparameter..............................115 Kapitel V. Die sphärische Abbildung nach Gauss. Ebenencoordinaten. § 61. Sphärische Abbildung nach Gauss...................................118 g 62. Enncpers Satz über die Torsion der Haupttangentencurven...........120 g 63. Allgemeine Formeln für die sphärische Abbildung...................122 § 64. Die Flächen bezogen auf ihre Haupttangentencurven.................124 § 65. Zweiter Beweis und Präcisierung des Satzes von Enneper............127 Inhaltsverzeichnis. IX Seite § 66. Haupttangentenourven auf den Minimalüäelien....................128 § 67. Haupttangentencurven auf den pseudophärischen Flächen..........129 § 68. Formeln von Lelieuvre..........................................131 § 69. Die Flächen bezogen auf ein conjugiertes System................134 § 70. § 71. Flächen mit positiver Krümmung bezogen auf ein isotherm- conjugicrtcs System.............................................135 § 72. Formeln von Weingarten für die Ebenencoordinaten der Fläche . . . 139 § 73. Flächen mit gegebenem Bilde eines eonjugierten Systems.........141 § 74. Flächen mit einer Schar Krümmungslinien in parallelen Ebenen . . . 143 Kapitel VI. Geodätische Krümmung. — Geodätische Linien. § 75. Tangentiale oder geodätische Krümmung orthogonaler Paraméterűmén 146 g 76. Bonnets Ausdruck für die geodätische Krümmung..................148 § 77. Liouvilles Ausdruck für die Krümmung einer Fläche..............150 g 78. § 79. Geodätische Linien.......................................152 § 80. Gaussisohe Form der Differentialgleichung der geodätischen Linien. . 155 g 81. Geodätisch parallele Linien....................................158 g 82. Geodätische Kreise.................................................. 160 g 83. Geodätische Ellipsen und Hyperbeln.............................163 § 84. Torsion einer geodätischen Linie...............................164 § 85. Geodätische Torsion einer Flächencurve.........................166 § 86. § 87. Allgemeine Sätze über die Integration der Differentialgleichung der geodätischen Linien...............................................168 g 88. Geodätische Linien auf den Liouville’schen Flächen.............171 g 89. Geodätische Linien auf den Rotationsflächen....................173 g 90. Gauss’ Satz über die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks . . 174 g 91. Doppelte Orthogonalsysteme von Curven constanter geodätischer Krümmung..............................................................176 Kapitel VIL Auf einander abwickelbare Flächen. § 92. Definition der Abwickelbarkeit von Flächen auf einander...............179 g 93. Gaussischer Satz von der Unveränderlichkeit des Krümmungsmasses bei Verbiegung.......................................................180 § 94. Kriterien dafür, ob zwei gegebene Flächen auf einander abwickel- bar sind . . .........................................183 § 95. Flächen, die auf Rotationsflächen abwickelbar sind....................184 § 96. Fall der Flächen von constantem Krümmungsmass....................... 185 .§ 97. Abwickelbarkeit eines Stückes einer Fläche von constantem Krüm- mungsmass auf ein beliebiges anderes Stück derselben Fläche . . . 187 § 98. Das Linienelement der pseudosphärischen Flächen.......................189 § 99. Rotationsflächen, constanter Krümmung.................................190 § 100. Abwickelbarkeit einer Fläche constanter Krümmung auf eine Rotationsfläche......................................................193 g 101. Flächen, die eine stetige Verbiegung in sich zulassen................195 § 102. Auf einander abwickelbare Rotationsflächen...........................196 § 103. Beispiel der Rotationsflächen constanter Krümmung....................198 g 104. Theorem von Bour über Schraubenflächen...............................199 X Inhaltsverzeichnis. Seite § 105. Beispiele zur Abwickelung von Schraubenflächen auf Rotationsflächen 201 § 106. § 107. Das allgemeine Problem der Verbiegung von Flächen .... 202 § 108. Verbiegung einer Fläche mit einer starren Curve...................205 § 109. § 110. Verbiegung, bei der eine gegebene Curve in eine andere gegebene Curve übergeht......................................................208 8 111. Verbiegung, bei der eine gegebene Curve Haupttangentencurve oder Krümmungslinie wird.................................................212 § 112. Theorem von Bonnet über die Unmöglichkeit, eine Fläche bei Erhaltung der Haupttangentencurven der einen Schar zu verbiegen............213 s Kapitel VIII. Verbiegung der Iiinienfl aclieii. § 113. Auf einander abwickelbare Linienflächen............................216 § 114. Linienelement einer Linienfläche...................................217 § 115. Strictionslinie und darauf bezügliche Sätze von Bonnet.............219 § 116. Haupttangentencurve der zweiten Schar. Formel von Chasles . . . 221 § 117. Verbiegung einer Linienfläehe nach der Methode von Minding . . . 223 § 118. Methode von Beltrami und die darauf bezüglichen Fundamental- gleichungen ............................................................. 225 § 119. Verbiegung einer Linienfläehe, bei der eine auf ihr gegebene Curve Haupttangentencurve wird............................................227 8 120. Verbiegungen, bei denen eine gegebene Curve eben oder eine Krümmungslinie wird.................................................228 §121. Linienflächen, welche auf Rotationsflächen abwickelbar sind .... 230 Kapitel IX. Evolutenfläclien und Weingarten’scher Satz. § 122. Die geodätischen Linien der Evolutenfläche, die den Krümmungslinien der Evolvcntenfläche entsprechen....................................232 § 123. § 124. Formeln für die Evolutenflächen.......................... 234 § 125. Beltramis Construetion des Radius der geodätischen Krümmung. . . 237 § 126. Evolventen- und Evolutenmittelfläche nach Rihaucour...............239 g 127. TU-Flächen, deren Hauptkrümmungsradien durch eine Bleichung ver- bunden sind................................................................241 g 128. Satz von Rihaucour über das Entsprechen der Krümmungslinien auf den beiden Mänteln der Evolutenfläehe.............................. 243 g 129. Lies Satz über die Bestimmung der Krümmnngslinien der W- Flächen mittels Quadraturen............................................... 245 § 130. Weingartens Satz über die Abwickclbarkeit der beiden Mäntel der Evolute einer W- Fläche auf Rotationsflächen........................246 g 131. Beltramis Satz über die Xormalensysteme von Flächen, die zugleich Flächen berühren....................................................247 g 132. Umkehrung des Weingartcn’schen Satzes.............................248 g 133. Besondere Formen des Linienelements auf der Kugel hei der Ab- bildung von IE-Flächen.....................................................249 g 134. Anwendung auf Minimalflächon und auf die Weingarten’schen Flächen k(r% — ՛ ·,) = sin fc(r2 + fj).................................... 251 g 135. Evolventen- und Ergänzungsflächen der pseudosphärischen Flächen . 253 Inhaltsverzeichnis. XI Kapitel X. Strahlensysteme (Congruenzen). Selte § 130. § 137. Grundlegende Formeln für Strahlensystcme...................256 § 138. Grenzpunkte und Hauptebenen.......................................259 § 139. Isotrope Congruenzen топ Ribaucour. Hauptflächen..................261 § 140. Gleichung zur Bestimmung der Grenzpnnkte..........................263 § 141. Abwickelbare Flächen und Brennpunkte des Strahlensystems ,. . ..... 264 § 142. Brennfläehen des Strahlensystems..................................266 g 143. Normalensysteme...................................................268 § 144. Malus-Dupin’seher Satz............................................269 § 145. § 146. Strahlensysteme mit gegebenem sphärischen Bilde der Hanpt- flächen...........................................................271 § 147. Anwendung auf isotrope Congruenzen................................273 § 148, Strahlensysteme mit gegebenem sphärischen Bilde der abwickelbaren Flächen.......................................................... 274 g 149. § 150. Formeln für die beiden Brennflächen........................276 § 151. Pseudosphärische Strahlensystemc..................................282 § 152. Guichard’sche Strahlensysteme. Guickard’sehe und Voss’sche Flächen 284 Kapitel XI. Unendlich kleine Verbiegungen der Flächen und Entsprechen durch Orthogonalität der Elemente. § 153. Verschiedene Auffassungen des Problems der unendlich kleinen Verbiegungen........................................................286 § 154. Die charakteristische Funktion p und die charakteristische Gleichung 288 § 155. Umformung der charakteristischen Gleichung......................... 291 § 156. Die hei einer unendlich kleinen Verbiegung associierten Flächen . . 293 § 157. Zurückführung der charakteristischen Gleichung auf ihre beiden Normalformen........................................................295 § 158. Das erhaltene conjngierte System.....................................297 § 159. Eigenschaften von Flächen, die einander durch Orthogonalität der Elemente entsprechen................................................299 § 160. § 161. Die Ribaucour’schen Strahlensysteme...........................302 § 162. Besondere Classen von Rihaucour’sehen Strahlensystemen...............305 § 163. § 164. Zweite Methode, die Aufgabe der unendlich kleinen Verbiegungen zu behandeln........................................................307 Kapitel XII. W- Strahlensystemc. § 165. Moutards Satz über die Laplace’schen Gleichungen von der Form M .....................................................311 c uev § 166. Geometrische Deutung des Moutard’schen Satzes...................313 § 167. W- Strahlensysteme..............................................315 § 168. Ableitung aller W- Strahlensysteme aus unendlich kleinen Verbiegungen der Brennflächen................................................316 i XII Inhaltsverzeichnis. Seite § 109. Verallgemeinerung des Halphen’schen Satzes.............................320 § 170. Neuer Beweis des Weingarten’schen Satzes.........................321 § 171. W-Strahlensysteme, die der Gleichung = 0 entsprechen . . . 323 § 172. Der Darboux’schc Satz über die Weingarten’schen Flächen Jc(rä — ) ) = sin 325 8՜ § 173. W-Normalensysteme, die der Gleichung + g-p = 0 entsprechen 327 § 174. Daraus folgende Bestimmung aller auf das Rotationsparaboloid ab- wickelbaren Flächen.................................................329 § 175. § 176. W- Strahlensysteme, deren Brennflächen in entsprechenden ^ Funkten gleiche Krümmung haben...................................331 § 177. § 178. Sätze von Cosscrat und Beispiele................................336 Kapitel XIII. Die normalen Kreissysteme. § 179. Bedingung dafür, dass eine Schar von oo։ Curven eine Schar Ortho- gonalflächen hat...........................................................339 § 180. Normale Kreissysteme und Sätze von Bibaucour...........................341 § 181. Fonnein für normale .Kreissysteme......................................342 § 182. Laplace’schc Gleichung, von der die normalen Kreissysteme abhüngen 344 § 183, Dreifaches Orthogonalsystem von Flächen, das zu einem normalen Kreissystem gehört.............................................346 § 184. Cyklischc Strahlensysteme............................................ 347 § 185. Strahlensysteme, die auf unendlich viele Weisen cyklisch sind . . . 349 § 186. Die Ribaucour’scben Kreissysteme gleich grosser Kreise........351 § 187. Ausdruck für das Linienelement des Baumes, bezogen auf ein normales } Kreissystem....................................................353 § 188. Bestimmung der sphärischen Bilder der Abwickelbaren eines cyklischen StraMensysteni8................................................354 Kapitel XIV. Die Minimalflächen. § 189. § 190. Geschichtlicher Überblick..............................356 § 191. Formeln von Weierstrass.......................................358 § 192. Algebraische Minimalflächen...................................361 § 193. Minimal-Doppelflächcn.........................................362 8 194. Verbiegung der Minimalflächen, wobei sie beständig Minimalflächen bleiben................................................................ 365 § 195. Sätze über associierte Minimalflächen.........................367 § 196 —199. Minimalflächen mit ebenen Krümmungslinien........................369 § 200. Die auf Botationsflächen abwickelbaren Minimalflächen.........372 § 201. Die Minimal-Schraubenflächen................................. 373 § 202. Andere Gestalt der Formeln von Weierstrass . . . :............375 § 203. Formeln von Schwarz...........................................377 § 204. § 205. Lösung der Aufgabe, durch einen gegebenen Streifen eine Minimalfläche hindurchzulegen. Beispiele.......................378 § 206. Kriterium dafür, dass eine Fläche in eine Minimalfläche verbiegbar ist 381 ■ Inhaltsverzeichnis. XIII Kapitel XY. Das Plateau’sche Problem und die Schwarz’sche Minimalfläehe. Seite § 207. Das Plateau’sche Problem.........................................383 § 208. Conforme Abbildung der Minimalfläehe auf die Gaussischc Kugel und j auf die Ebene..........................................................384 j § 209. Fall einer aus geradlinigen Strecken und aus Ebenen bestehenden Begrenzung.............................................................385 ^ § 210. Fall des von zwei Paar Gegenseiten eines regulären Tetraeders ge- bildeten Vierecks.....................................................................387 § 211. Oktaedernetz auf der Kugel............................................389 § 212. Conforme Abbildung des Oktaedernetzes.................................391 § 213. Analytische Darstellungen der 24 Drehungen des Oktaedernctzes . . 392 § 214. Nachweis für die conforme Abbildung des Oktaedernetzes...........394 § 215. Bestimmung von F(t) für die Schwarz’sche Minimalfläche...........395 § 216. § 217. Analytische Darstellung der Schwarz’schen Minimalfläehe . . 397 g 218. § 219. Einfachere Form der Gleichungen der Schwarz’schen Minimal- fläche ...................................................................400 § 220 — 222. Die Gruppe von Bewegungen, welche die Schwarz’sche Fläche ungeändert lassen .....................................................404 § 223. Analytische Fortsetzung der Schwarz’schen Minimalfläche..............409 g 224. g 225. Die zur Schwarz’schen Fläche conjugierte Minimalfläche und die entsprechende Gruppe von Bewegungen................................411 ! § 226. § 227. Die zweite Variation des Flächeninhaltes einer Minimalfläehe 414 ! 8 228. Satz von Schwarz über die zweite Variation........................417 I Kapitel XVI. Pseudosphärische Geometrie. § 229. Zweidimensionale Mannigfaltigkeit von constanter Krümmung . . . 418 g 230. Conforme Abbildung der pseudosphärisehen Fläche auf die Haibebene 419 § 231. Darstellung der Bewegungen der Fläche in sich durch lineare Sub- stitutionen der complexen Veränderlichen......................................421 § 232. Bewegungen erster Art.................................................422 § 233. Bewegungen zweiter Art...............................................423 § 234. Abänderung der conformen Abbildung....................................425 g 236. Abbildung der Curven von constanter geodätischer Krümmung . . . 426 g 236. Die drei Arten von geodätischen Kreisen..............................427 § 237. Der Parallelitätswinkel...............................................428 § 238. Geodätische Dreiecke..................................................430 § 239. Pseudosphärische Trigonometrie.......................................431 § 240. Überblick über die nicht-euklidische Geometrie........................434 § 241. Beltrami’sche Abbildung...............................................434 § 242. Flächen, die auf die Ebene geodätisch abbildbar sind..................436 § 243. Die Kiccati’sche Differentialgleichung für die geodätischen Linien. . 437 XIV Inhaltsverzeichnis. Kapitel XYIL Transformationen der Flächen mit constantem Krnmmungsmass. Seite § 244. Die zu gegebenen Streifen gehörigen Flächen constanter Krümmung. 440 § 245. Die pseudosphärischen Flächen bezogen auf ihre Haupttangcntencurven 442 § 246. Abwiekelbarkeit der Evolutenflä-che einer pseudophärisehen Fläche auf das Catenoid...................................................... 444 § 247 — 250. Pseudosphärische Flächen mit zwei gegebenen Haupttangenten- curven ...................... ........................... ... 446 § 261. Die pseudosphärischen Strahlensysteme..............................451 § 252. Ableitung der neuen pseudosphärischen Flächen durch Quadraturen . 463 § 253. Die Bäcklund’sche Transformation..................................455 6$ 254. Unendlich kleine Verbiegungen der pseudosphärischen Flächen . . . 456 § 255. Die Complementärtransformation.....................................457 § 256. Die Lie’sche Transformation.......................................459 § 257. § 258. Der Vertauschbarkeitssatz...................................461 § 259. § 260. Folgerungen aus dem Vertauschbarkeitssatz..................464 § 261. § 262. Dinis pseudosphärisehe Schranbenfläche......................466 § 263. Complementärhäche der Pseudosphäre.................................469 § 264. Flächen mit positivem constanten Krümmungsmass.....................471 § 265. Zusammenhang mit Flächen constanter mittlerer Krümmung .... 473 § 266. Verbiegungen von Flächen constanter mittlerer Krümmung.............474 Kapitel XVIII. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. § 267. Krummlinige Coördinaten im Raume...................................476 § 268. Darboux - Dupin scher Satz.......................................478 § 269. Folgerungen aus dem Darboux -Dupin’schcn Satze.....................481 § 270. Ijinienelement des Raumes.........................................482 § 271. Die hame’schen Gleichungen........................................484 § 272. Die Lamé’schen Gleichungen als hinreichende Bedingungen für die Existenz des Orthogonalsystems......................................486 § 273. Conforme Abbildungen des Raumes...................................487 § 274. Hauptkrünmumgsradien der Parameterflächen.........................489 § 275. Äquidifitanzcurven und Cayley’sche Gleichung.......................491 § 276. Combescure’sche Transformation.....................................493 Kapitel XIX. Untersuchung einiger specieller dreifacher Orthogonalsysteme. § 277. Dreifache Orthogonalsysteme, die eine Schar von Rotationsflächen enthalten...........................................................497 § 278. Oscnlierende Cykelsysteme nach Ribaucour...........................499 § 279 — 281. Dreifache Orthogonalsysteme mit einer Schar von ebenen Krümmungslinien.....................................................600 § 282. Confocale Flächen zweiten Grades...................................506 § 283. Elliptische Coördinaten............................................SOI Inhaltsverzeichnis. XV Seite § 284. Satz von Chasles................................................509 § 285. Gemeinsame Evoluten flächen.....................................510 § 280. Geodätische Linien auf Mittelpimktsiiächen zweiten Grades.........512 § 287. Geodätische Linien auf dem Ellipsoid..............................513 § 288. Satz von Joachimsthal...........................................515 § 289. Geodätische Linien durch die Nabelpunkte........................518 § 290. Einführung elliptischer Functionen................................519 § 291. Linienelement auf dem Ellipsoid...................................521 § 292. Verlauf der geodätischen Linien . ..............................524 Kapitel XX. Dreifache pseudosphärische Orthogonalsysteme. § 293. § 294. Linien element des Raumes unter Zugrundelegung eines drei- fachen pseudosphärischen Orthogonalsystoms................................526 § 295. Beispiele.......................:...............................530 § 290 — 298. Anwendung der Bäcklund’sehen Transformation...............532 § 299. Anwendung des Vertauschbarkeitssatzes.............................536 § 300. § 301. Weingarten’sche Systeme....................................538 § 302. Weingarten’sche Systeme mit der Flexion Eins......................542 § 303. Ableitung der Ribaucour’schen Cykelsysteme........................543 § 304. Dreifaches System von Schraubenflächen............................544 § 305. Anwendung der Bäcklund’schen Transformation auf Weingarten’sehe Systeme........................................................546 § 306. Die Gomplementärtransformation................................548 § 307. Einleitung zum Beweise des Existenztheorems...................550 308. Die partielle Differentialgleichung vierter Ordnung für die Neben- flächen S„ eines Weingarten’sehen Systems...............................551 § 309. Flächen mit einer Schar Krümmungslinien constanter Flexion. . . . 552 § 310. Construction eines Wcingarten’schen Systems...................554 § 311. § 312. Abschluss des Beweises des Existenztheorems............555 § 313. Weingarten’sche Systeme, die eine Kugel enthalten...........* . 558 § 314. Weingarten’sche Systeme mit positivem constanten Krümmungsmass. 560 Kapitel XXI. n-dimensionale Räume constanten Krümmungsmasses. § 315. n-dimensionale Räume..........................................563 § 316. Messung von Strecken und Winkeln..............................565 § 317. Geodätische Linien................................................ 568 § 318. Geodätisch parallele Hyperflächen.............................5G9 § 319. Geodätische Flächen. Riemann’sches Krümmungsmass..............571 § 320. Räume mit constantem Krümmungsmass............................574 § 321. § 322. Abwiekelbarkeit von Räumen mit demselben constanten Krüm- mungsmass auf einander...........................................576 § 323. Conforme Abbildung des hyperbolischen Raumes auf den euklidischen 581 § 324. Geometrie im hyperbolischen Raume.............................583 § 325. § 326. Bewegungen des dreidimensionalen hyperbolischen Raumes. . 686 f XVI Inhaltsverzeichnis. Seite § 327. Geodätische Abbildung des hyperbolischen Raumes...................690 § 328. Cayley’schc Metrik................................................692 § 329. Elliptischer Raum.................................................594 § 330. Die Schiebungen im elliptischen Räume.............................698 Kapitel XXII. Die Hyperflächen in den Räumen constanten Krünmmngsmasses. § 331. Hyperflächen in den allgemeinen »-dimensionalen gekrümmten Räumen 600 § 332. Krümmung einer Curve im Raume....................................603 § 333. Krümmung der Curven, die auf eine Hyperfläche von einem Punkte nach verschiedenen Richtungen ausgehen.............................606 § 334. Verallgemeinerung des Euler’schen Satzes..........................607 § 336. Krümmungslinien. Verallgemeinerung des Dupin’schen Satzes.... 610 § 336 — 338. Hyperflächen im euklidischen Raume.........................612 § 339. Formeln von Gauss und Codazzi im elliptischen Raume..............616 § 340. Hyperflächen im elliptischen Raume.................... ..........619 § 341. Hyperflächen im hyperbolischen Raume.............................621 § 342. §343. Specialfall des dreidimensionalen elliptischen oder hyperbolischen Raumes. Haupttangentencurven und Enneper’scher Satz...............624 § 344. Flächen mit dem Krümmungsmass Null im elliptischen Raume als Schiebungsflächen..................................................629 § 345. Die beiden Mäntel der Evolutenflächc............................631 § 346. Weingarten’scher Satz. Complementärtransformation der pseudo- sphärischen Flächen. . . . ;........................՛.........634 § 347. §348. Flächen mit dem Krümmungsmass Null im hyperbolischen Raume 636 Anhang zu Kapitel XVII. Zur Transformationstheorie der Flächen mit constantem positiven Krümmungs- mass .....................................................................641
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