Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen:
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Birkhäuser
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INHALTSVERZEICHNIS
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Einleitung 1. Der Gegenstand 15
2. Zur Methode 16
Zusammenstellung einiger Abkürzungen und Formelzeichen 17
Kapitel I Lineare Algebra
§ 1 Moduln in Hauptidealringen
1. Endliche Moduln 19
2. Der Elementarteilersatz 21
3. Duale Räume und komplementäre Moduln 24
4*. Noethersche Ringe 25
5*. Ein weiterer Basissatz 26
§ 2 Systeme linearer Ungleichungen
1. Der Gitterpunktsatz von Minkowski 28
2*. Ein zweiter Beweis 30
; 3. Übertragung auf Funktionenkörper 32
§ 3 Lineare Divisoren
1. Grundbegriffe 34
2. Norm und Grad eines linearen Divisors 37
3. Die Dimension eines linearen Divisors 38
4*. Der Riemann-Rochsche Satz und der Minkowskische Linear¬
formensatz 40
§ 4 Spuren, Normen, Diskriminanten
1. Darstellung durch Matrizen 41
l 2. Die Schachtelungsformeln 42
; 3. Die Diskriminante 44
i 4. Separable und inseparable Erweiterungen 45
i
; Anhang Die Thetafunktion
v § 1 * Die symplektische Gruppe
1. Die Grundeigenschaften 47
2. Symplektische Geometrie 48
; 3. Die hyperbolische Ebene und der hyperbolische Raum 49
; 4. Die symplektische Modulgruppe 51
¦ 5. Der Fundamentalbereich 54
10 Inhaltsverzeichnis
6. Die Thetafunktion 55
7. Beweis der Reziprozitätsformel 58
§ 2* Thetafunktionen zu quadratischen Formen
1. Einfache Gaußsche Summen 59
2. Das quadratische Reziprozitätsgesetz und das Vorzeichen der
Gaußschen Summen 61
3. Die Thetafunktion zu einer quadratischen Form 63
Kapitel II Ideale und Divisoren
§ 1 Ideale
1. Ganze Abhängigkeit 67
2. Die Endlichkeit der Hauptordnung 68
3. Kroneckersche Divisoren 70
4. Ideale 72
5. Beweis des Hauptsatzes 74
6*. Erweiterung der Teilbarkeitslehre 75
§ 2 Stellenringe
1. Grundbegriffe 77
2. Stellenringe in algebraischen Erweiterungen 78
3. Stellenringe in algebraischen Zahl- oder Funktionenkörpern . . 80
4. Die Komponentenzerlegung der Ideale 81
§ 3 Ideale in verschiedenen Körpern, die Norm
1. Die Erweiterung eines Ideals 84
2. Die Norm 84
3. Die Primideale 86
§ 4 Komplement, Differente und Diskriminante
1. Das Komplement 87
2. Differente und Diskriminante : 89
3. Der Dedekindsche Diskriminantensatz 91
§ 5 Divisoren
1. Der rationale Funktionenkörper 93
2*. Projektive Invarianz 95
3. Divisoren in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern .... 96
4. Das Verhalten der Divisoren bei Körpererweiterung 98
5. Die Primdivisoren 100
6. Divisoren und lineare Divisoren 102
7. Der lineare Grad 104
§ 6* Die Zerlegung der Primideale in Galoisschen Erweiterungen
1. Die Zerlegungsgruppe und die Trägheitsgruppe 105
2. Die Verzweigungsgruppen 108
3. Die Diskriminante 110
Anhang Aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper
§ 1 Die Endlichkeitssätze
1. Die Endlichkeit der Idealklassenzahl 113
2. Die Diskriminante 114
Inhaltsverzeichnis 11
3. Der Dirichletsche Einheitensatz 115
4. Der Regulator 119
§ 2 Quadratische Zahlkörper und Kreisteilungskörper
1. Die quadratischen Zahlkörper 119
2. Der spezielle Kreisteilungskörper 120
Kapitel III Algebraische Funktionen und Differentiale
§ 1 Potenzreihenentwicklung algebraischer Funktionen
1. Der Potenzreihenkörper 124
2. Teilbarkeitsfragen 125
3. Die Umkehrung einer Potenzreihe 127
4. Algebraische Funktionen, reguläre Stellen 130
5. Fortsetzung, die kritischen Stellen 131
6. Der Satz von Puiseux 134
§ 2 Algebraische Funktionenkörper
1. Divisoren im rationalen Funktionenkörper 135
2. Divisoren in algebraischen Funktionenkörpern 137
3. Die Zerlegung der rationalen Divisoren 139
4. Die Hauptordnungen 140
5. Divisoren und lineare Divisoren 144
6. Die Invarianz des Divisorbegriffs 147
7*. Übertragung auf allgemeinere Konstantenkörper 147
§ 3 Der Riemann-Rochsche Satz
1. Die Dimension einer Divisorenklasse 148
2. Der Riemann-Rochsche Satz 149
3. Invarianzfragen 151
4. Erweiterung des Konstantenkörpers 151
5. Körper vom Geschlecht 0 154
6. Der Satz von Lüroth 156
7*. Andere Beweise und Verallgemeinerung des Riemann-Roch-
schen Satzes 157
§ 4 Differentiale
1. Differentialquotienten 158
2. Differentialrechnung bei Primzahlcharakteristik 160
3. Der Begriff des Differentials 163
4*. Fortsetzung, separable und inseparable Primdivisoren 165
5. Der Operator von Cartier 166
j. 6. Die Residuen der Differentiale 167
7. Der Residuensatz 169
8*. Die Differentialklasse 172
§ 5 Differentiale und Hauptteilsysteme
1. Differentiale höheren Grades 174
¦ 2. Hauptteilsysteme 175
3. Das Skalarprodukt 176
4. Der Zusammenhang mit der Integralrechnung 179
5*. Die Diagonale 181
6*. Das Analogon der Greenschen Funktion 183
7. Literatur 186
12 Inhaltsverzeichnis
§ 6* Reduktion eines Funktionenkörpers nach einem Primideal des Kon¬
stantenkörpers
1. Der Irreduzibilitätssatz 187
2. Reguläre Primideale 189
3. Das Verhalten der Ideale bei Restbildung 192
4. Das Verhalten der Divisoren bei Restbildung 194
5. Fortsetzung, das Verhalten der Differentiale bei Restbildung . 196
6. Das Verhalten des Körpers bei Restbildung und Konstanten¬
erweiterung 199
7. Literatur 200
Kapitel IV Algebraische Funktionen über dem komplexen Zahlkörper
§ 1 Riemannsche Flächen
1. Die Riemannsche Fläche einer algebraischen Funktion 202
2. Die Riemannsche Fläche als komplexe Mannigfaltigkeit 203
3. Die Riemannsche Fläche als topologische Mannigfaltigkeit ... 205
§ 2 Elliptische Funktionenkörper
1. Einführung 207
2. Das Additionstheorem 208
3. Die Automorphismen 210
4. Das Integral 1. Gattung 212
5. Das Additionstheorem und das Abelsche Theorem 214
6. Die Weierstraßsche Normalform ¦ 217
7. Die elementaren elliptischen Funktionen 219
8. Literatur 220
§ 3 Die Gruppe der Divisorenklassen 0. Grades
1. Die Riemannsche Periodenmatrix 221
2. Eine Hermitesche Metrik für die Differentiale 1. Gattung .... 223
3. Die Abelschen Integrale 3. Gattung 225
4. Das Abelsche Theorem 226
5. Die Jacobische Mannigfaltigkeit . 228
6. Literatur 230
§ 4 Modulfunktionen
1. Die Modulfläche 231
2. Die Überlagerungen der Modulfläche 232
3. Kongruenzuntergruppen ; 234
4. Modulformen 236
5. Die Körper der Modulfunktionen 238
6. Modulformen und Differentiale 240
7. Die Fourierentwicklung der Eisensteinreihen 241
8. Thetafunktionen 245
9. Literatur 247
Kapitel V Korrespondenzen zwischen algebraischen Funktionenkörpern
§ 1 Die Korrespondenzen
1. Grundbegriffe 249
2. Die Multiplikation der Korrespondenzen 252
3. Eigenschaften des Produktes 254
4. Korrespondenzen eines Funktionenkörpers mit sich selber . .. 256
Inhaltsverzeichnis 13
5. Die Wirkung der Korrespondenzen auf die Divisoren 257
6. Primkorrespondenzen 260
7. Inseparable Korrespondenzen 261
8. Die Frobeniuskorrespondenz 263
9. KorrespondenzeneinesKörpersautomorpherFunktionenzusich 264
§ 2 Darstellungen der Korrespondenzen im Räume der Differentiale
1. Definitionen 267
2. Der klassische Fall 270
3. Fortsetzung, die Darstellungen Rosati-adjungierter Korrespon¬
denzen 273
4. Die Spur 273
5. Auswertung der Spurformel 277
6. Literatur 279
§ 3 Modulfunktionen
1. Die Modularkorrespondenzen 280
2. Die Produkte der Modularkorrespondenzen 283
3. Darstellung der Modularkorrespondenzen durch Differentiale 285
4. Die Peterssonsche Metrik 286
5. Die Fourierentwicklung der Modulformen 289
6. Die Vermutung von Ramanujan 292
7. Übertragung auf Modulformen ungerader Dimension, Literatur 293
§ 4 Die Ungleichung von Custelnuovo
1. Einführung 296
2. Zurückführung auf den klassischen Fall 297
3. Erweiterung des Korrespondenzbegriffs 299
4. Die Fixpunkte einer Korrespondenz 300
5. Zusammenhang mit § 2 305
6. Die Spur 307
7. Ein zweiter Beweis des Hauptsatzes, Vorbereitungen 308
8. Zweiter Beweis des Hauptsatzes, Schluss 311
9*. Bemerkungen über den Ring der Korrespondenzklassen 313
10. Literatur 314
§5 Anwendungen in der Zahlentheorie
1. Die Zetafunktion eines Funktionenkörpers 315
2. Die Funktionalgleichung der Zetafunktion 317
3. Erweiterung des Konstantenkörpers 319
4. Die Riemannsche Vermutung 320
5. Modulfunktionen 322
6. Die Eigenwerte der Modularkorrespondenzen 325
f 7. Modulfunktionen vom Hauptcharakter 327
8. Literatur 328
§ 6* Elliptische Funktionenkörper
1. Der Ring der Korrespondenzklassen 330
2. Die komplexe Multiplikation 333
Autorenverzeichnis 333
Begriffsverzeichnis 336
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