Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure: 3 Flächen im Raume, Linienintegrale und mehrfache Integrale, gewöhnliche Differentialgleichungen reeller Veränderlicher nebst Anwendungen
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Leipzig [u.a.]
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
1962
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IN HALT
I. Krumme Flächen und krummlinige Koordinaten des Raumes 9
§ 1. Analytische Darstellung einer Fläche. Beispiele 9
1. Parameterdarstellung. 2. Beispiele. 3. Umdrehungsflächen. 4. Ebene in
Parameterdarstellung. 5. Bemerkung. 6. Flächen zweiten Grades. 7. Er¬
zeugende Geraden der Flächen zweiten Grades.
§2. Berührungsebene, Linienelement, Flächennormale, Ober¬
flächenelement 15
1. Kurve auf einer Fläche. 2. Berührungsebene. 3. Linienelement. 4. Flächen¬
normale. 5. Oberflächenelement.
§ 3. Beispiele und Ergänzungen 18
1. Ebene in kartesischen Koordinaten. 2. Ebene in Polarkoordinaten. 3. Ebene
in beliebigen krummlinigen Koordinaten. 4. Masche eines Netzes in der Ebene
und Oberflächenelement der Ebene. 5. Fortsetzung. 6. Halbkugelfläche.
7. Allgemeine Umdrehungsfläche. 8. Schraubenfläche. 9. Beliebige Fläche.
§4. Krummlinige Koordinaten des Baumes. Volumelement . 23
1. Einteilung des Baumes. 2. Beispiele für räumliche Einteilungen. 3. Bäum¬
liche (sphärische) Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten). 4. Schiefwinklige
kartesische Koordinaten. 5. Konfokale Flächen zweiten Grades. 6. Fort¬
setzung. 7. Fortsetzung. Endgültige Darstellung. 8. Fortsetzung. Brenn¬
punktseigenschaft. 9. Kaum- oder Volumelement. 10. Beispiele.
Übungen zu § 1 bis § 4. Neun Aufgaben 30
II. Linienintegrale im Räume. Doppelintegrale und mehrfache Integrale 33
§ 5. Linienintegrale im Baume 33
1. Erklärung. 2. Beispiel. 3. Linienintegral in vektorieller Darstellung.
4. Physikalisch-technische Anwendungen. 5. Beispiele.
§6. Linienintegral eines vollständigen Differentials. Begriff
des Potentials 38
1. Linienintegral unabhängig vom Wege. 2. Potential. 3. Geschlossenes
Linienintegral. 4. Integrabilitätsbedingungen. 5. Bestimmung des Poten¬
tials. 6. Rotor eines Vektors und Gradient einer Ortsfunktion. 7. Beispiele.
8. Schichtflächen (Niveauflächen).
Übungen zu §5 und §6. Fünf Aufgaben 45
Inhalt 5
§ 7. Doppelintegrale 47
1. Vorbemerkungen. 2. Erklärung des Doppelintegrals. 3. Lehrsatz.
4. Eigenschaften der Doppelintegrale. 5. Mittelwertsatz.
§8. Berechnung der Doppelintegrale 51
1. Vorbemerkungen. 2. Doppelintegral und zweifache Integration. 3. Stetige
Funktion und rechteckiger Bereich. 4. Stückweise stetige beschränkte Funk¬
tion und rechteckiger Bereich. 5. Beweis der Formel (2). 6. Bemerkungen.
§ 9. Beispiele und Anwendungen 57
1. Fläche eines ebenen Bereiches. 2. Aufgabe. 3. Diricbletsche Formel.
4. Sonderfall.
§ 10. Oberflächeninhalt gekrümmter Flächenstücke 60
1. Vorbemerkung. 2. Oberflächeninhalt eines krummen Flächenstückes.
3. Beispiel. „Florentineroder Vivianisches Problem". 4. H.A.Schwarz' Bei¬
spiel vom eingehauenen Zylinder. 5. Flächeninhalt als Grenzwert einer Poly¬
ederfläche.
§ 11. Dreifache und mehrfache Integrale 65
1. Dreifache Integrale. 2. Beispiel. 3. Beispieleines dreifachen uneigentlichen
Integrals. 4. Volumen des geraden Zylinders, Cavalierisches Prinzip.
5. Mehrfache Integrale.
Übungen zu § 7 bis § 11. Fünf Aufgaben 68
§12. Umformung mehrfacher Integrale durch Einführen neuer
Veränderlicher 70
1. Umformung dreifacher Integrale. 2. Fortsetzung. 3. Fortsetzung. 4. Be¬
merkungen. 5. Invariante Darstellung. Flächen- und Volumintegrale.
6. Beispiele. 7. Mantel eines beliebigen geraden Zylinders. 8. „Volumen"
der n-dimensionalen „Kugel".
§ 13. Geometrische Anwendungen der mehrfachen Integrale . 82
1. Masse. 2. Schwerpunkt und statisches Moment. 3. Steinersche Sätze.
4. Der geometrische Schwerpunkt. 5. Beispiele. 6. Guldinsche Kegeln.
7. Trägheitsradius und Trägheitsmoment. 8. Eigenschaften des Trägheits¬
moments. Beispiel.
§ 14. Physikalische Anwendungen der mehrfachen Integrale . 91
1. Ausflußmenge durch eine Öffnung. 2. Beispiel. 3. Flüssigkeitsdruck und
Druckmittelpunkt. Zentrifugalmoment. 4. Potentiale. 5. Beispiel. 0. Log¬
arithmisches Potential einer homogenen Kreislinie. 7. Momente höheren Gra¬
des. 8. Beispiele. 9. Momentenkurven.
Übungen zu § 12 bis § 14. Dreizehn Aufgaben 104
§ 15. Zusammenhänge zwischen Linien-, Flächen- und Raum-
integralen 107
1. Vorbemerkung. 2. Integrabilitätsbedingung. 3. Flächeninhalte als Linien¬
integrale. 4. Momente höheren Grades als Linienintegrale. 5. Momenten-
planimeter, 6. Beispiel einer unstetigen Funktion.
6 Inhalt
§ 16. Fortsetzung. Integralsätze von Stokes, von Gaußund
von Green 113
1. Integralsatz von Stokes. 2. Stokesscher Satz in vektorieller Gestalt.
3. Folgerungen. 4. Anwendungen auf die Maxwellschen Gleichungen der
Elektrodynamik. 5. Integralsatz von Gauß. 6. Anwendungen. 7. Vektor¬
potential. 8. Aus der zweiten Maxwellschen Gleichung.
Übungen zu § 15 und § 16. Acht Aufgaben 122
III. Gewöhnliehe Diflerentialgleiehungen reeller Veränderlicher 125
§17. Allgemeine Vorbetrachtungen über Differential¬
gleichungen 125
1. Erklärung und Einteilung. 2. Die Integrale einer Differentialgleichung.
3. Beispiel. 4. Bildung von Differentialgleichungen. 5. Beispiele.
§18. Weitere Beispiele. Gekoppelte gewöhnliche und partielle
Differentialgleichungen 130
1. Grundgleichungen der Dynamik. 2. Differentialgleichung der Feldlinien
(Stromlinien) eines Vektorfeldes. 3. Caucby-Riemannsche partielle Diffe¬
rentialgleichungen, Potentialgleichung der Ebene. 4. Potentialgleichung
im Räume. Poissonsche Differentialgleichung. 5. Differentialgleichung aller
Drehflächen mit gemeinsamer Achse.
§ 19. Einige physikalisch und technisch wichtige Aufgaben, die
auf einfache Differentialgleichungen führen, und ihre
Lösungen 135
1. Vorbemerkung. 2. Säule konstanter Querschnittsbelastung. 3. Freie un¬
gedämpfte elastische Schwingung eines Massenpunktes. 4. Fortsetzung.
Anderes Lösungsverfahren der Differentialgleichung (8). 5. Elektrische
Schwingungen bei der Entladung eines Kondensators. 6. Mathematisches
Pendel. 7. Kleine Pendelschwingungen. 8. Schleifenfahrt. 9. Verfolgungs¬
kurven.
Übungen zu § 17 bis § 19. Sieben Aufgaben 147
§ 20. Differentialgleichungen erster Ordnung. Elementare Inte¬
grationsverfahren 149
1. Vorbemerkungen. 2. Trennung der Veränderlichen. 3. Homogene Ver¬
änderliche. 4. Beispiel. 5. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung.
6. Beispiel. Elektrischer Schließungskreis mit induktivem Widerstand.
§ 21. Fortsetzung. Anwendungen 154
1. Verfahren des integrierenden Faktors. 2. Beispiele. 3. Quadratische
Abhängigkeit von y. 4. Beispiele. 5. Zusammenhang zwischen der Riccati-
schen und der linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung.
6. Bernoullische Differentialgleichung. 7. Einführung neuer Veränderlicher.
8. Geometrische Anwendung. Schnittkurven einer Kurvenschar. 9. Bei¬
spiele. 10. Schichtlinien und Fallinien einer Geländefläche.
Übungen zu §20 und 21. Vierzehn Aufgaben 164
Inhalt 7
§ 22. Zeichnung und Verlauf der Integralkurven. Existenzsätze.
Verfahren der wiederholten Quadraturen. Zeichnerische und
rechnerische Integration 166
1. Integralkurven. 2. Neigungslinien (Isoklinen). 3. Annäherung der Inte¬
gralkurven durch Parabelbögen. Lipschitzsche Bedingung. 4. Hauptsatz
über die Existenz von Integralen gewöhnlicher Differentialgleichungen.
5. Beweis des Hauptsatzes. 6. Beispiele. 7. Zeichnerische Integration einer
Differentialgleichung durch wiederholte Quadraturen (Verfahren von
C. Runge). 8. Rechnerische Integration. Verfahren von Runge und Kutta.
§23. Singuläre Lösungen. Clairautsche und Lagrangesche
Differentialgleichung 176
1. Singuläre Integrale. 2. Beispiel. 3. Claixautsche Differentialgleichung.
4. Beispiele. 5. Lagrangesche Differentialgleichung. 6. Beispiele.
§24. Angenäherte Differentialgleichungen. Stetige Abhängigkeit
von einem Parameter und von den Anfangsbedingungen, Verhal¬
ten der Integralkurven in der Nähe einer Unbestimmtheitsstelle 180
1. Angenäherte Differentialgleichungen. 2. Bestimmung des Fehlers. 3. Bei¬
spiel. 4. Stetige Abhängigkeit von einem Parameter und von den Anfangs¬
bedingungen. 5. Unbestimmtheitsstellen. 6. Integration durch Potenzreihen.
7. Berechtigung des Verfahrens.
Übungen zu § 22 bis § 24. Zwölf Aufgaben 188
§ 25. Einführung neuer Veränderlicher. Gekoppelte
Differentialgleichungen erster Ordnung 189
1. Neue Veränderliche. 2. Satz gekoppelter Differentialgleichungen.
3. Beispiel.
§26. Differentialgleichungen höherer Ordnung. Lineare
Differentialgleichungen 192
1. Anfangsbedingungen. Allgemeines Integral. 2. Lineare Differentialglei¬
chungen. 3. Integration der linearen Differentialgleichungen durch wieder¬
holte Erniedrigung der Ordnung. 4. Allgemeines Integral von Ln(y) = 0.
5. Beispiel. 6. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
§ 27. Fortsetzung. Variation der Konstanten. Lineare Differen¬
tialgleichungen mit festen Koeffizienten. Eulersche Dif¬
ferentialgleichungen 197
1. Variation der Konstanten. 2. Beispiel. 3. Lineare Differentialgleichungen
mit festen Koeffizienten. 4. Beispiele. 5. Mehrfache Wurzeln der Hauptglei¬
chung. 6. Beispiele. 7. Eulersche Differentialgleichungen. 8. Beispiele. 9. Be¬
sondere Formen des Störungsgliedes.
§ 28. Beispiele und Anwendungen 204
8 Inhalt
1. Freie elastische Schwingungen. 2. Fortsetzung. 3. Erzwungene oder er¬
regte Schwingung. Bewegung aus der Ruhelage heraus. 4. Fortsetzung. Perio¬
dische Erregung. Resonanz. 5. Gekoppelte elektrische Schwingungen. 6. Durch¬
biegung einer am Rande eingespannten dünnen Kreisplatte.
Übungen zu § 25 bis § 28. Achtzehn Aufgaben 217
§29. Andere Integrationsverfahren und weitere Anwendungen 220
]. Differentialgleichungen, in denen x oder y nicht vorkommt. 2. Anwen¬
dung. 3. Biegungslinie eines in der Längsrichtung belasteten Stabes.
4. Kettenlinie. 5. Fortsetzung. 6. Integration durch Potenzreihen. 7. Diffe¬
rentialgleichung für (arc sin x)2. 8. Summierung von Reihen durch Inte¬
gration von Differentialgleichungen. 9. Gaußsche Differentialgleichung und
hypergeometrische Reihe.
§ 30. Numerische Methoden zur Lösung von gewöhnlichen
Differentialgleichungen 228
1. Einleitung. 2. Die Problemstellung bei den numerischen Methoden und ihr
Fehler. 3. Die Methode von Runge-Kutta. 4. Das Verfahren von Adams-Störmer.
Übungen zu § 29 und § 30. Acht Aufgaben 237
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