Methoden der numerischen Mathematik:
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Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1985
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort V
I Grundbegriffe 1
1 Algorithmen und Fehlerfortpflanzung 1
1.1 Algorithmen 1
1.2 Realisierung von Algorithmen 2
1.3 Die Beurteilung von Algorithmen 2
1.4 Aufgaben und Ergänzungen 3
2 Matrizen 4
2.1 Bezeichnungen 4
2.2 Matrizenprodukte 5
2.3 Das Schema von Falk 6
2.4 Rang und Determinante 7
2.5 Norm und Konvergenz 8
2.6 Aufgaben und Ergänzungen 9
II Lineare Gleichungen und Ungleichungen 10
3 Der Algorithmus von Gauß 10
3.1 Rückwärtseinsetzen 10
3.2 Der Algorithmus von Gauß 11
3.3 Pivotsuche 12
3.4 Aufgaben und Ergänzungen 13
4 Die LR Zerlegung 14
4.1 Die LR Zerlegung von A 14
4.2 LR Zerlegung mit Pivotsuche 15
4.3 Lineare Gleichungssysteme 16
4.4 Aufgaben und Ergänzungen 17
5 Das Austauschverfahren 18
5.1 Variablentausch 18
5.2 Schema und Algorithmus 19
5.3 Inversion 20
5.4 Lineare Gleichungen 21
5.5 Aufgaben und Ergänzungen 23
Inhaltsverzeichnis VII
6 Die Cholesky Zerlegung 23
6.1 Symmetrische Zerlegung 23
6.2 Existenz und Eindeutigkeit 25
6.3 Symmetrische lineare Gleichungssysteme 25
6.4 Nachiteration 26
6.5 Aufgaben und Ergänzungen 27
7 Die QR Zerlegung 28
7.1 Die Householdertransformation 28
7.2 Der Algorithmus von Householder 28
7.3 Lineare Gleichungssysteme 30
7.4 Aufgaben und Ergänzungen 31
8 Relaxation 32
8.1 Koordinatenrelaxation 32
8.2 Konvergenz bei diagonaldominanten Matrizen 34
8.3 Das Minimumproblem 35
8.4 Konvergenz bei symmetrischen, positiv definiten Matrizen 37
8.5 Geometrische Deutung 37
8.6 Aufgaben und Ergänzungen 38
9 Lineares Ausgleichen 39
9.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme 39
9.2 Die Verwendung der QR Zerlegung 40
9.3 Anwendung 40
9.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme 42
9.5 Anwendung 43
9.6 Geometrische Deutung und Dualität 43
9.7 Aufgaben und Ergänzungen 44
10 Lineare Optimierung 45
10.1 Lineare Ungleichungen und lineares Programm 45
10.2 Eckentausch und Simplexverfahren 46
10.3 Elimination 48
10.4 Ausgleichen nach Tschebyscheff 50
10.5 Aufgaben und Ergänzungen 51
III Iteration 53
11 Vektoriteration 53
11.1 Das Eigenwertproblem für Matrizen 53
11.2 Die Modalmatrix 54
11.3 Vektoriteration nach von Mises 54
VIII Inhaltsverzeichnis
11.4 Inverse Iteration 56
11.5 Verbesserang einer Näherung 58
11.6 Aufgaben und Ergänzungen 59
12 Der LR Algorithmus 59
12.1 Der Algorithmus von Rutishauser 59
12.2 Der Konvergenzbeweis 60
12.3 Betragsgleiche Eigenwertpaare 62
12.4 Aufgaben und Ergänzungen 63
13 Eindimensionale Iteration 64
13.1 Kontrahierende Abbildungen 64
13.2 Fehlerabschätzungen 65
13.3 Konvergenzgeschwindigkeit 66
13.4 Das A2 Verfahren von Aitken 67
13.5 Geometrische Konvergenzbeschleunigung 68
13.6 • Nullstellen 69
13.7 Aufgaben und Ergänzungen 70
14 Mehrdimensionale Iteration 71
14.1 Kontrahierende Abbildungen 71
14.2 Konvergenzgeschwindigkeit 72
14.3 Konvergenzbeschleunigung 72
14.4 Nullstellen von Systemen 73
14.5 Aufgaben und Ergänzungen 73
15 Nullstellen von Polynomen 74
15.1 Das Horner Schema 74
15.2 Das erweiterte Horner Schema 75
15.3 Einfache Nullstellen 76
15.4 Das Verfahren von Bairstow 77
15.5 Das erweiterte Horner Schema für quadratische Faktoren 78
15.6 Aufgaben und Ergänzungen 79
16 Das Verfahren von Bernoulli 80
16.1 Lineare Differenzengleichungen 80
16.2 Matrixschreibweise 80
16.3 Das Verfahren von Bernoulli 81
16.4 Inverse Iteration 82
16.5 Aufgaben und Ergänzungen 82
17 Das QD Schema 84
17.1 Der LR Algorithmus für tridiagonale Matrizen 84
17.2 Das QD Schema für Polynome 86
Inhaltsverzeichnis IX
17.3 Betragsgleiche Wurzelpaare 87
17.4 Aufgaben und Ergänzungen 88
IV Interpolation und diskrete Approximation 89
18 Interpolation 89
18.1 Interpolationspolynome 89
18.2 Lagrange Polynome 90
18.3 Lagrange Interpolation 91
18.4 Newton Interpolation 93
18.5 Mehrdimensionale Interpolation 94
18.6 Flächen von Coons und Gordon 95
18.7 Das Lemma von Aitken 97
18.8 Das Schema von Neville 98
18.9 Aufgaben und Ergänzungen 100
19 Diskrete Approximation 100
19.1 Die Talorentwicklung 100
19.2 Das Stützpolynom 101
19.3 Tschebyscheff Approximation 103
19.4 Tschebyscheff Polynome 104
19.5 Die Minimumeigenschaft 105
19.6 Entwicklung nach Tschebyscheff Polynomen 106
19.7 Das Ökonomisieren eines Polynoms 107
19.8 Die Methode der kleinsten Quadrate 107
19.9 Die Orthogonalität der Tschebyscheff Polynome 108
19.10 Aufgaben und Ergänzungen 109
20 Bezierpolynome 110
20.1 Bernsteinpolynome 110
20.2 Bezier Polynome 111
20.3 Die Konstruktion von Punkt und Tangente 112
20.4 Bezier Flächen 114
20.5 Aufgaben und Ergänzungen 115
21 Splines und Subsplines 116
21.1 Bezier Kurven 116
21.2 Differenzierbarkeitsbedingungen 117
21.3 Kubische Splines und Subsplines 118
21.4 Die Minimaleigenschaft 120
21.5 Aufgaben und Ergänzungen 121
X Inhaltsverzeichnis
V Numerische Differentiation und Integration 122
22 Numerische Differentiation und Integration 122
22.1 Differentiation des Stützpolynoms 122
22.2 Fehlerabschätzung für die numerische Differentiation 123
22.3 Integration des Stützpolynoms 124
22.4 Summation 126
22.5 Fehlerabschätzung für die numerische Integration 127
22.6 Aufgaben und Ergänzungen 128
23 Extrapolation 129
23.1 Näherungsfolgen 129
23.2 Richardson Extrapolation 130
23.3 Wiederholte Richardson Extrapolation 131
23.4 Romberg Integration 132
23.5 Aufgaben und Ergänzungen 133
24 Einschrittverfahren für Differentialgleichungen 134
24.1 Diskretisierung 134
24.2 Der Diskretisierungsfehler 135
24.3 Die Verfahren von Runge Kutta 137
24.4 Paare von Runge Kutta Verfahren 140
24.5 Schrittweitensteuerung 140
24.6 Aufgaben und Ergänzungen 142
25 Lineare Mehrschrittverfahren für Differentialgleichungen 143
25.1 Diskretisierung 143
25.2 Die Konvergenz eines Mehrschrittverfahrens 145
25.3 Die Wurzelbedingung 145
25.4 Hinreichende Konvergenzbedingung 146
25.5 Die Anlaufrechnung 148
25.6 Prediktor Korrektor Verfahren 149
25.7 Die Schrittweitensteuerung 150
25.8 Vergleich von Einschritt und Mehrschrittverfahren 151
25.9 Aufgaben und Ergänzungen 151
26 Die Methoden von Ritz und Galerkin 152
26.1 Das Prinzip der minimalen Energie 152
26.2 Die Methode von Ritz 153
26.3 Die Methode von Galerkin 155
26.4 Zusammenhang 157
26.5 Aufgaben und Ergänzungen 157
Inhaltsverzeichnis XI
27 Die Methode der finiten Elemente 158
27.1 Finite Elemente 158
27.2 Univariate Splines 159
27.3 Bivariate Splines 161
27.4 Numerische Beispiele 162
27.5 Lokale Koordinaten 168
27.6 Aufgaben und Ergänzungen 169
28 Literatur Hinweise 170
Sachwortregister 171
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THWS Schweinfurt Magazin
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