Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren: eine anwendungsorientierte Darstellung
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| Published: |
Berlin u.a.
Springer
1984
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
0. GRUNDLEGUNG 1
0.1. Variablen und deren Skalierung 1
0.2. Objektivität, Reliabilität und Valldität von Meßver¬
fahren 11
0.3. Stichproben und Grundgesamtheiten 13
1. EINIGE METHODISCHE GRUNDLAGEN DER STATISTISCHEN PRÜFUNG VON
HYPOTHESEN 17
1.1. Einige Grundbegriffe 17
1.1.1. Gegenstände statistischer Prüfverfahren 17
1.1.2. Ein-Stichproben-Fall; Zwei-Stichproben-Fall; k-
Stichproben-Fall; unabhängige und verbundene ,. -^
Stichproben 19
1.1.3. Einfache und zusammengesetzte Hypothesen 22
1.1.4. Punkt- und Bereichshypothesen 23
1.1.5. Alternativhypothesen zur Nullhypothese 23
1.1.6. Signifikanzteste 23
1.1.7. Verteilungsgebundene und verteilungsfreie Teste 23
1.2. Die Prüfung von Parameterhypothesen bei zweiseitigen
Fragestellungen 24
1.3. Einseitige Fragestellungen 27
1.4. Fehler erster und zweiter Art; Gütefunktion und Opera¬
tionscharakteristik eines Tests 29
1.5. Beste Teste und gleichmäßig beste Teste 37
1.6. Likelihood-Quotienten-Teste 42
1.7. Konsistenz und Unverzerrtheit von Testen 45
1.8. Testvergleiche 46
1.9. Merkmale und Vorteile verteilungsfreier Prüfverfahren 48
1.10. Einige Bemerkungen zur Robustheit verteilungsgebundener
Prüfverfahren 50
1.11. Generelle technische Probleme der Durchführung von Prüf¬
verfahren bei diskreten Prüfverteilungen 50
1.11.1. Das Signifikanzniveau bei diskreten Prüfver¬
teilungen SO
1.11.2. Tabellen diskreter PrüfVerteilungen 53
1.11.3. Normalapproximation diskreter PrüfVerteilungen 54
1.12. Bindungen (Verbundwerte) 54
1.13. Allgemeine Probleme der Einwendung statistischer Teste 55
2. VERTEILÜNGSFREIE PRÜFVERFAHREN ZUM EIN-STICHPROBEN-FALL 56
2.1. Prüfung der Zufälligkeit einer Stichprobenentnahme 56
Vin Inhaltsverzeichnis ¦
2.1.1. Prüfung der Zufälligkeit mit Hilfe der Anzahl
der Runs (der einfache Run-Test) 57
2.1.2. Prüfung der Zufälligkeit mit Hilfe der Anzahl der
Runs Up or Down 66
2.1.3. Ergänzende Bemerkungen 69
2.2. Anpassungsteste zum Ein-Stichproben-Fall 70
2.2.1. Normalitäts- Teste im Wahrscheinlichkeitsnetz 70
2.2.2. Prüfung von Verteilungshypothesen auf der Grund¬
lage der Theorie der Positionsstichprobenfunktionen 75
2.2.3. Prüfung von Verteilungshypothesen mit Hilfe von
Binomialtesten 78
2.2.4. Mehrschrittige Prüfung von Verteilungshypothesen
mit Hilfe von Positionsstichprobenfunktionen 80
2.2.5. Mehrschrittige Prüfung von Verteilungshypothesen
mit Hilfe von kumulierten Häufigkeiten 83
y 2.2 6. Der Kolmogorov-Smirnov- Sin-Sti.chprobBn-Test 86
V 2.2.7. Der x2-Test 90
2.2.8. Vergleichende Betrachtung der beschriebenen An¬
passungsteste 95
2.3. Lokalisationsteste zum Ein-Stichproben-Pall 102
2.3.1. Der Vorzeichentest für Quantile, insbesondere den
Mediän 102
2.3.2. Der Vorzeichen-Rang-Test von Wilaoxon zur Prüfung
des Medians (Erwartungswertes) einer symmetrischen
Verteilung 103
2.3.3. Vorzeichentest und Vorzeichen-Rang-Test beim Zwei-
Stichproben-Fall (verbundene Stichproben) 107
2.3.4. Vergleich von Vorzeichentest, Vorzeichen-Rang-
Test und t-Test 108
3. VERTEILUNGSFREIE PRÜFVERFAHREN ZUM ZWEI-STICHPROBEN-FALL
BEI UNABHÄNGIGEN STICHPROBEN 110
3.1. Verschiedene Anwendungsmodelle zum Zwei-Stichproben-
Fall bei unabhängigen Stichproben 110
3.2. Verteilungsfreier Lokalisationsvergleich bei zwei unab¬
hängigen Stichproben 112
3.2.1. Der Wileoxon-Mann-Whitney-1!est 113
3.2.1.1. Methodische Voraussetzungen und Null¬
hypothese 113
3.2.1.2. Die Prüfvariable (Wilooxonsche Variante) 115
y 3.2.1.3. Die Mann-Whitney sehe Prüfvariable 116
3.2.1.4. Zur Nullverteilung der Prüfvariablen des
14 Wilcoxon-Mann-Whitney- S sts 118
3.2.1.5. Die Prüfung der Nullhypothese 122 .
3.2.1.6. Die Behandlung von Bindungen 123 i
3.2.1.7. Vergleich des Wilcoxon-Mann-Whitney -Tests -1
mit dem Zwei-Stichproben-t-Test 126 |j
Inhaltsverzeichnis IX
3.2.2. Der Fiaher-Yatea-Test (c.-Test von Terry; Terrys
Hoeffding-Test) 127
3.2.2.1. Die Prüfvariable des Fisher-Yates-Tests 127
3.2.2.2. Die Expected Normal Scores 127
3.2.2.3. Zur Nullverteilung der Prüfvariablen des
Fisher-Yates-Tests 129
3.2.2.4. Vergleich mit dem Wilaoxon-Mann-Whitney-
Test 130
3.2.3. Der X-Test von van der Waerden 130
3.2.3.1. Die Prüfvariable des X-Tests 130
3.2.3.2. Die Quantile der Standardnormalver¬
teilung 131
3.2.3.3. Zur Nullverteilung der Prüfvariablen des
X-Testes von van der Waerden 132
3.3. Verteilungsfreier Streuungsvergleich bei zwei unabhän¬
gigen Stichproben 133
3.3.1. Methodische Voraussetzungen und Nullhypothese für
verschiedene Testverfahren zum Streuungsvergleich 134
3.3.2. Der Test von Siegel-Tukey 136
3.3.3. Hinweise auf weitere verteilungsungebundene Ver¬
fahren zum Variabilitätsvergleich 140
3.3.4. Vergleich der verteilungsfreien Variabilitäts¬
teste mit dem F-Test 141
3.4. Das gemeinsame Konstruktionsprinzip der behandelten Teste 142
3.5. Verteilungsvergleich bei zwei unabhängigen Stichproben 143
3.5.1. Fiehers Exact Probability Test 143
Je 3.5.2. Der Kolmogorov-Smirnov-Zwei.-S-ttchproben-1!est 147
3.5.3. Der x -Zwei-Stichproben-Test 150
3.5.4. Vergleichende Betrachtung der behandelten Teste 154
4. VERTEILUNGSFREIE PRÜFVERFAHREN ZUM ZWEI-STICHPROBEN-FALL (VER¬
BUNDENE STICHPROBEN) 155
4.1. Zwei verbundene Stichproben 155
4.2. Verteilungsfreier Lokalisationsvergleich bei zwei ver¬
bundenen Stichproben 155
Ir 4.2.1. Der Vorzeichentest und der Vorzeichen-Rang-Test
von Wilooxon 155
X 4.2.2. Der Test von MoNemav 156
4.3. Rangkorrelationskoeffizienten 159
4.3.1. Anknüpfung an den Bravais-Pearsonschen Maßkorrela¬
tionskoeffizienten 1 59
4.3.2. Der Rangkorrelationskoeffizient von Spearman-
Pearson 162
4.3.3. Der Rangkorrelationskoeffizient von Kendall 169
4.3.3.1. Kendalls Koeffizient für die Grundge-
X samtheit 169
I
X Inhaltsverzeichnis
4.3.3.2. Kendalls Koeffizient für die Stich¬
probe 171
4.3.3.3. Die Prüfung äer Unabhängigkeitshypo¬
these 173
4.4. Der X2-Unabhängigkeitstest 175
5. VERTEILUNGSFREIE PRÜFVERFAHREN ZUM k-STICHPROBEN-FALL 180
5.1. Verteilungsfreier Lokalisationsvergleich bei k unabhän¬
gigen Stichproben (Einfach-Klassifikation) 182
5.1.1. Allgemeine Vorüberlegungen 182
5.1.2. Der F-Test der klassischen einfaktoriellen Va¬
rianzanalyse 184
5.1.3. Methodische Voraussetzungen und Nullhypothese der
verteilungsungebundenen Varianzanalyse 189
*. 5.1.4. Die Rangvarianzanalyse von Kruekal und Wallis
(der H-Test) 191
5.1.4.1. Grundlagen und Definition der Prüf¬
variablen 191
5.1.4.2. Zur Nullverteilung der Prüfvariaben des
Kruskal-Wallie-Tests 194
5.1.4.3. Die Prüfung der Nullhypothese 199
5.1.4.4. Die Behandlung von Bindungen 20O
5.1.4.5. Vergleich des Kruskal-Wallis-T sts mit
anderen Prüfverfahren 201
5.1.5. Ein Test gegen die spezielle Alternativhypothese
wachsender Treatment-Effekte: Der Jonckheere-Test. 202
5.1.5.1. Methodische Voraussetzungen und Defini¬
tion der Prüfvariablen 2O2
5.1.5.2. Zur Nullverteilung des Jonekheere-Tests 205
5.1.5.3. Die Prüfung der Nullhypothese 206
5.1.5.4. Die Behandlung von Bindungen 208
5.1.5.5. Abschließende Bemerkungen 209
5.1.6. Erweiterungen des Fisher-Xates-Tests und des X-
Testes von van der Waerden 209
5.1.7. Der x -Test bei k unabhängigen Stichproben 212
5.2. Verteilungsfreier Lokalisationsvergleich bei k abhängigen
Stichproben (zufällige Blockdesigns) 215
5.2.1. Verschiedene Anwendungsmodelle zum k-Stichproben-
Fall bei abhängigen Stichproben 215
% 5.2.2. Die Rangvarianzanalyse von Friedman 219
5.2.2.1. Grundlagen und Definition der Prüf¬
variablen 219
5.2.2.2. Zur Nullverteilung der Prüfvariablen des
Friedman-Tests 222 ,.
5.2.2.3. Die Prüfung der Nullhypothese 226 j
5.2.2.4. Die Behandlung von Bindungen 226 J
Inhaltsverzeichnis XI
5.2.2.5. Abschließende Bemerkungen 227
5.2.3. Ein ffest gegen die spezielle Alternativhypothese
wachsender Treatment-Effekte: Der Test von Page 228
Jf 5.2.4. Der Test von Cochran 230
5.2.4.1. Darstellung des Stichprobenbefundes und
Prüfung der Nullhypothese 230
5.2.4.2. Zur Prüfvariablen q und ihrer Nullver¬
teilung 232
5.3. Verteilungsfreie multiple Lokalisationsvergleiche zum k-
Stichproben-Fall 237
5.3.1. Multiple Lokalisationsvergleiche 237
5.3.2. k-Stichproben-Paarvergleiche (all treatment com-
parisons) bei unabhängigen Stichproben (einfakto-
rielle Versuchspläne) 240
5.3.2.1. Multiple Lokalisationsvergleiche 240
5.3.2.2. Herleitung der Verfahren 242
5.3.2.3. Die Behandlung von Bindungen 248
5.3.2.4. Dichotome Untersuchungsvariablen 249
5.3.2.5. Abschließende Bemerkungen 252
5.3.3. Versuchs-versus-Kontrollgruppen-Paarvergleiche
(treatment vs. control) für k unabhängige Stich¬
proben (einfaktorielle Versuchspläne) 253
5.3.3.1. Multiple Lokalisationsvergleiche 253
5.3.3.2. Herleitung der Verfahren 255
5.3.4. k-Stichproben-Paarvergleiche (all treatment com-
parisons) für abhängige Stichproben (zufällige
Blockdesigns) 256
5.3.4.1. Multiple Lokalisationsvergleiche 257
5.3.4.2. Herleitung der Verfahren 258
5.3.4.3. Abschließende Bemerkungen 259
5.3.5. Versuchs-vs.-Kontrollgruppen-Paarvergleiche (treat¬
ment vs. control) für abhängige Stichproben (zu¬
fällige Blockdesigns) 260
5.3.5.1. Multiple Lokalisationsvergleiche 261
5.3.5.2. Herleitung der Verfahren 261
6. GRUNDFRAGEN DES EINSATZES VON TESTEN IN DEN ANWENDUNGEN 263
6.1. Die Formulierung der Nullhypothese 263
6.1.1. Testvoraussetzungen und Testgegenstände 263
6.1.2. Nullhypothese und Stichprobenbefund 266
6.2. Die Auswahl des adäquaten Prüfverfahrens 267
6.3. Die Festlegung von Fehlerwahrscheinlichkeiten, insbe¬
sondere des Signifikanzniveaus 268
6.3.1. Der Wert des Signifikanzniveaus 268
6.3.2. Wahrscheinlichkeiten von Fehlern 2. Art 271
Xii Inhaltsverzeichnis
6.4. Die Datengrundlage von Testen 272
6.4.1. Der qualitative Aspekt 272
6.4.2. Kleine Stichprobenumfänge 273
6.4.3. Der Einsatz mehrerer Teste bei einem Datensatz 273
6.4.3.1. Die Problematik im einzelnen 273
6.4.3.2. Die allgemeine Kennzeichnung des Pro¬
blems 276
6.4.3.3. Eine Verallgemeinerung der Problem¬
stellung 277
6.4.3.4. Polgerungen 278
7. TABELLENANHANG 279
Tabelle I: Standardnormalverteilung 282
Tabelle II: Quantile der Standardnormalverteilung (Kurz¬
fassung) 283
Tabelle III: Untere Quantile der x -Verteilung 284
o
Tabelle IV: Obere Quantile der x -Verteilung 285
Tabelle V: 0,975-Quantile der P-Verteilung 286
Tabelle VI: Obere Quantile der t-Verteilung 288
Tabelle VII: Ausschnitt aus einer (Pseudo-) Zufalls¬
zahlentafel 289
Tabelle VIII: Kritische Werte beim einfachen Run-Test 290
Tabelle IX: Kritische Werte beim Zufälligkeitstest mit
Hilfe der Anzahl der Runs Up or Down 292
Tabelle X: Kritische Werte der Prüfvariablen des OS-
Tests (0,025- und 0,975-Quantile der Be¬
taverteilung) 293
Tabelle XI: Kritische Werte beim Kolmogorov-Smirnov-
Ein-Stichproben-Test 296
Tabelle XII: Binomialvertellung mit e = 0,5 297
Tabelle XIII: Kritische Werte beim Vorzeichen-Rang-Test
von Wilooxon 298
Tabelle XIV: Kritische Werte beim Wilcoxon-Mann-Whitney-
Test 300
Tabelle XV: Expected normal scores 302
Tabelle XVI: Kritische Werte beim Fisher-Iates-Test 303
Tabelle XVII: Obere Quantile der Standardnormalverteilung
(ausführliche Fassung) 305
Tabelle XVIII: Kritische Werte beim X-Test von van der
Waerden 308
Tabelle XIX: Hilfstabeile zur Durchführung des X-Tests f
von van der Waerden 310 |
1
Inhaltsverzeichnis XIII
Tabelle XX: Kritische Werte bei F-Cshers Exact Probability
Test 311
Tabelle XXI: Kritische Werte beim Kolmogorov-Smirnov-ZweL-
Stichproben-Test 313
Tabelle XXII: Kritische Werte zur Unabhängigkeitsprüfung
mit Hilfe des Spearman-Pearsonschen Rang¬
korrelationskoeffizienten 315
Tabelle XXIII: Kritische Werte zur Unabhängigkeitsprüfung
mit Hilfe des Kendällschen Rangkorrelations¬
koeffizienten 316
Tabelle XXIV: Kritische Werte beim Kruskal-Wallis-Test 317
Tabelle XXV: Kritische Werte beim Jonekheere-Test 319
Tabelle XXVI: Kritische Werte beim Friedman-Test 321
Tabelle XXVII: Kritische Werte beim Test von Page 325
Tabelle XXVIII: Obere Quantile der Spannweite von n unab¬
hängigen standardnormalverteilten Variablen 326
Tabelle XXIX: Obere Quantile der Verteilung des Maximums
von n standardnormalverteilten Zufallsvaria¬
blen, welche je mit p = 0,5 korreliert sind 327
Literaturverzeichnis 328
Autorenverzeichnis 336
Sachverzeichnis 341
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| discipline | Biologie Mathematik Wirtschaftswissenschaften |
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