Mathematik für Chemiker:
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Weinheim [u.a.]
Verl. Chemie
1981
|
| Edition: | 4., berichtigte Aufl. |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XVII, 664 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 3527259309 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur ersten Auflage ........................................... XVI
Vorwort zur zweiten Auflage......................................... XVIII
I. Allgemeine Grundlagen
A. Was ist Mathematik?............................................. 1
B. Die Sprache der Mathematik....................................... 3
C. Die verschiedenen Arten des mathematischen Beweises.................. 5
D. Deduktion, Induktion und Intuition in der Mathematik.................. 6
II. Einführung der Zahlen
A. Einige Betrachtungen aus der Mengenlehre............................ 7
1. Begriff der Menge und Operationen mit verschiedenen Mengen....... 7
2. Relationen und Operationen innerhalb einer Menge................. 7
B. Natürliche Zahlen................................................ 10
1. Definition und Darstellung...................................... 10
2. Das Rechnen mit den natürlichen Zahlen.......................... 11
3. Zahlentheorie ................................................. 13
C. Negative Zahlen.................................................. 14
D. Brüche.......................................................... 15
E. Irrationale Zahlen................................................ 17
F. Komplexe Zahlen................................................. 18
G. Einige abgeleitete Rechenregeln..................................... 21
1. Das Rechnen mit Summen- und Produktzeichen.................... 21
2. Das Rechnen mit Ungleichungen................................. 23
III. Kombinatorik
A. Permutationen................................................... 27
B. Variationen...................................................... 29
C. Kombinationen................................................... 31
D. Binomischer Lehrsatz ............................................. 33
IV. Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungen
A. Matrizen........................................................ 39
B. Determinanten................................................... 42
1. Definition..................................................... 42
2. Verfahren zur Berechnung von Determinanten niedriger Ordnung..... 43
3. Laplacescher Entwicklungssatz................................... 44
4. Das Rechnen mit Determinanten................................. 45
5. Verfahren zur Berechnung von Determinanten beliebiger Ordnung .... 47
6. Unterdeterminanten und Rang einer Matrix ....................... 48
7. Lineare Abhängigkeit........................................... 50
C. Lineare Gleichungen.............................................. 52
1. Einleitung..................................................... 52
2. Inhomogene Gleichungssysteme.................................. 53
VI Inhaltsverzeichnis
a) System gleich vieler Gleichungen und Unbekannter mit nicht ver-
schwindender Koeffizientendeterminante........................ 53
oc) Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten S. 53; ß) n Gleichungen
mit n Unbekannten S. 55
b) Allgemeines inhomogenes Gleichungssystem..................... 58
oc) Bedingungen für die Lösbarkeit S. 58; ß) Verfahren zum Auffinden
der Lösungen S. 61
3. Homogene Gleichungssysteme................................... 62
a) Diskussion der Lösbarkeit.................................... 62
b) Sätze über Lösungen. Fundamentales Lösungssystem............. 64
c) Allgemeine Lösung des inhomogenen Systems................... 65
4. Zusammenhang mit Vektorrechnung und analytischer Geometrie..... 66
V. Gleichungen höheren Grades
A. Gleichungen mit einer Unbekannten.................................. 67
1. Übersicht über die Lösungsmethoden............................. 67
2. Allgemeine Betrachtungen über die Existenz und Eigenschaften der
Lösungen..................................................... 68
3. Einige Betrachtungen über Polynome............................. 71
B. Gleichungen mit mehreren Unbekannten.............................. 71
C. Algebraische und transzendente Zahlen. Konstruktion von Zahlen auf der
Zahlengeraden................................................... 72
VI. Unendliche Zahlenfolgen und Reihen
A. Unendliche Zahlenfolgen........................................... 75
1. Definition, Bezeichnungen und Beispiele.......................... . 75
2. Häufungswerte, Grenzwert, Konvergenz und Divergenz............. 76
3. Konvergenzkriterien............................................ 77
4. Das Rechnen mit Grenzwerten................................... 80
B. Unendliche Reihen................................................ 82
1. Definition. Bezeichnungen und Beispiele........................... 82
2. Reihenrest und Güte der Konvergenz............................. 84
3. Konvergenzkriterien............................................ 85
4. Das Rechnen mit unendlichen Reihen............................. 89
5. Potenzreihen.................................................. 90
C. Definition von Zahlen durch Reihen ................................. 91
VII. Funktionen
A. Erläuterung des Funktionsbegriffes.................................. 95
B. Funktionen einer Veränderlichen.................................... 96
1. Darstellung................................................... 96
2. Interpolation und Extrapolation.................................. 97
3. Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion............... 98
Inhaltsverzeichnis V11
4. Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen............. 1(X)
5. Diskussion einiger spezieller Funktionen .......................... 102
a) Algebraische Funktionen..................................... 102
b) Exponentialfunktionen....................................... 104
c) Logarithmusfunktionen ...................................... 106
d) Kreisfunktionen............................................. 108
e) Zyklometrische Funktionen................................... 111
f) Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen..................... 112
g) Einige weitere spezielle Funktionen............................. 113
6. Einführung des Begriffs der Stetigkeit............................. 115
a) Allgemeine Definition der Stetigkeit............................ 115
b) Gleichmäßige Stetigkeit ...................................... 117
c) Grenzwerte, rechts- und linksseitige Stetigkeit.................... 117
7. Zuordnung von Funktionswerten mit Hilfe von Grenzwerten......... 118
8. Sätze über stetige Funktionen.................................... 120
9. Definition von Funktionen durch unendliche Reihen................ 120
C. Funktionen mehrerer Veränderlicher................................. 122
1. Darstellung................................................... 122
2. Einige Betrachtungen über Definitionsbereiche..................... 126
3. Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit............................. 127
4. Quadratische Formen .......................................... 127
VIII. Vektoralgebra
A. Definition des Skalars und des Vektors............................... 131
B. Algebraische Operationen mit Vektoren.............................. 132
1. Summe von Vektoren .......................................... 132
2. Differenz von Vektoren......................................... 134
3. Zerlegung eines Vektors......................................... 134
4. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ..................... 135
5. Einheitsvektoren und Darstellung eines Vektors durch die Summe der
aus den Komponenten gebildeten Vektoren........................ 135
6. Skalares Produkt............................................... 136
7. Vektorielles Produkt............................................ 138
8. Mehrfache Produkte............................................ 141
C. Lineare Abhängigkeit und Darstellung in verschiedenen Räumen.......... 143
1. Lineare Abhängigkeit von Vektoren .............................. 143
2. Darstellung eines Vektors mit Hilfe eines beliebigen Dreibeins........ 145
a) Allgemeines Dreibein......................................... 145
b) Orthonormiertes Dreibein..................................... 149
c) Transformationsgleichungen in Matrixform ..................... 151
d) Kovariante und kontra Variante Komponenten................... 152
e) Betrag und skalares Produkt im allgemeinen Fall................. 153
D. Der n-dimensionale Vektoiraum ..................................... 154
VIII Inhaltsverzeichnis
IX. Analytische Geometrie
A. Aufgaben der analytischen Geometrie................................ 159
B. Beispiele für die analytische Darstellung von Kurven und Flächen......... 159
1. Darstellung durch Gleichungen in x, y und z....................... 159
a) Ebenes Koordinatensystem ................................... 159
b) Räumliches Koordinatensystem ............................... 161
2. Parameterdarstellung........................................... 167
C. Abbildungen..................................................... 170
1. Begriff der Abbildung .......................................... 170
2. Diskussion einiger spezieller Abbildungen......................... 172
a) Parallelverschiebung......................................... 172
b) Affine Abbildung mit festliegendem Koordinatenursprung......... 173
ot) Eigenschaften der Abbildung S. 173; ß) Aufeinanderfolge mehrerer
Abbildungen S. 175; y) Umkehrung der Abbildung S. 175; 5) Eigen-
werte und Eigenvektoren S. 176
c) Drehung und Spiegelung als Sonderfall affiner Abbildungen....... 180
a) Eigenschaften der Abbildungsmatrizen S. 180; ß) Aufsuchen der
orthogonalen Matrizen zweiter Ordnung S. 182
d) Nichtlineare Abbildungen..................................... 185
3. Systematische Unterteilung der Abbildungen; Erlanger Programm .... 187
D. Koordinatentransformationen....................................... 189
1. Allgemeines................................................... 189
2. Diskussion einiger spezieller Transformationen..................... 190
a) Affine Transformationen mit festbleibendem Koordinatenursprung . 190
b) Drehung des Koordinatensystems als Sonderfall der affinen Trans-
formation .................................................. 193
c) Transformation auf krummlinige Koordinaten................... 195
3. Änderung einer Abbildungsmatrix bei der Koordinatentransformation 198
a) Allgemeine Transformation. Invarianz der Spur.................. 198
b) Diagonalisierung von Matrizen................................ 200
E. Diskussion der allgemeinen Gleichung zweiten Grades. Hauptachsentrans-
formation ....................................................... 203
X. Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer Veränderlichen
A. Differentiation von Funktionen...................................... 209
1. Die erste Ableitung einer Funktion............................... 209
2. Das Rechnen mit Differentialen.................................. 211
3. Differentiation einiger spezieller Funktionen....................... 212
4. Einige allgemeine Regeln für das Differenzieren .................... 214
5. Differentiation weiterer spezieller Funktionen...................... 218
6. Numerisches Differenzieren ..................................... 222
7. Höhere Ableitungen............................................ 223
8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung........................... 224
Inhaltsverzeichnis IX
9. Anwendungen des Differenzierens................................ 225
a) Geschwindigkeit............................................. 225
b) Näherungsweise Berechnung von Funktionsänderungen........... 227
B. Integration von Funktionen......................................... 228
1. Das bestimmte Integral......................................... 228
a) Begriff des bestimmten Integrals............................... 228
b) Beispiele zur Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe der Summen-
formel ..................................................... 231
c) Einige Sätze über bestimmte Integrale.......................... 234
d) Integralabschätzung und Mittelwertsatz der Integralrechnung...... 234
2. Das unbestimmte Integral....................................... 237
a) Definition der Stammfunktion................................. 237
b) Definition des unbestimmten Integrals.......................... 238
3. Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe der Stammfunktion ... 239
4. Verfahren zur Integration....................................... 241
a) Allgemeines................................................. 241
b) Zerlegung des Integrals in eine Summe von Integralen............. 241
c) Abspaltung eines konstanten Faktors........................... 241
d) Substitution einer neuen Variablen............................. 242
e) Partielle Integration.......................................... 244
f) Rekursion.................................................. 245
g) Partialbruchzerlegung........................................ 245
h) Definition von Funktionen durch Integrale...................... 248
5. Uneigentliche Integrale......................................... 249
6. Anwendungen des Integrierens................................... 252
a) Flächenberechnungen........................................ 252
b) Berechnung der Arbeit ....................................... 253
c) Angenäherte Berechnung von Summen durch Integration.......... 255
7. Stieltjessches Integral und Lebesguesches Integral................... 256
C. Integration und Differentiation unendlicher Folgen und Reihen von Funktionen 258
D. Taylorsche Reihe................................................. 261
1. Aufsuchen der Taylorschen Reihe................................ 261
2. Ableitung einer Formel zur Abschätzung des Restgliedes............. 263
3. Beispiele für Reihenentwicklungen................................ 264
E. Unbestimmte Ausdrücke; Ordnung von Null- und Unendlichkeitsstellen ... 267
1. Die Ausdrücke 0/0 und oc/x.................................... 267
2. Weitere unbestimmte Ausdrücke................................. 270
3. Ordnung von Nullstellen und Unendlichkeitsstellen................. 2^1
F. Kurvendiskussion; Maxima und Miniina.............................. 273
1. Charakteristische Kurvenpunkte................................. 273
2. Bestimmung von Nullstellen..................................... 274
3. Bestimmung von Maxima und Minima............................ 275
4. Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten................. 276
5. Durchführung der Kurvendiskussion.............................. 277
6. Andere Extremwertaufgaben..................................... 279
X Inhaltsverzeichnis
XI. Differential- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
A. Differentiation................................................... 281
1. Begriff der partiellen Ableitung .................................. 281
2. Höhere Ableitungen; Satz von Schwarz ........................... 283
3. Allgemeine Betrachtungen über die partiellen Ableitungen sowie über
die Existenz einer Tangentialebene............................... 284
4. Das totale Differential.......................................... 286
5. Differentiation mittelbarer Funktionen............................ 288
6. Differentiation impliziter Funktionen............................. 290
7. Systeme von Funktionen und deren Umkehrung.................... 293
a) Der Begriff der Funktionaldeterminante........................ 293
b) Existenz und Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion............ 294
8. Schreibweise des partiellen Differentialquotienten in der Thermodynamik 295
B. Einfaches Integral über eine Funktion mehrerer Veränderlicher........... 299
1. Eigenschaften des Integrals...................................... 299
2. Differentiation des Integrals..................................... 299
3. Integration des Integrals........................................ 301
4. Besonderheiten bei uneigentlichen Integralen....................... 303
5. Anwendung der Ergebnisse zur Berechnung bestimmter Integrale ..... 304
C. Bereichsintegrale................................................. 306
1. Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals................. 306
2. Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals................ 307
3. Integrale über Bereiche von mehr als zwei Dimensionen ............. 311
4. Transformation der Variablen als Hilfe zur Integralberechnung....... 312
5. Anwendungen................................................. 315
a) Berechnung von Volumina.................................... 315
b) Berechnung von Oberflächen.................................. 319
+ X
c) Berechnung des Integrals Je IX dx........................... 320
D. Kurvenintegrale.................................................. 322
1. Definition und Berechnung...................................... 322
2. Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals................ 326
3. Vollständiges und unvollständiges Differential...................... 330
4. Gaußscher Integralsatz und Greensche Integralformeln.............. 331
E. Flächenintegrale.................................................. 334
F. Mittelwertsatz und Taylorsche Reihe................................. 337
G. Maxima und Miniina.............................................. 338
1. Charakteristische Flächenpunkte................................. 338
2. Bestimmung von Maxima, Minima und Sattelpunkten............... 340
3. Bestimmung von Maxima und Minima unter Nebenbedingungen..... 342
XII. Vektoranalysis und Tensorrechnung
A. Vektoranalysis................................................... 349
1. Vektorfelder und Skalarfelder.................................... 349
Inhaltsverzeichnis XI
2. Der Gradient.................................................. 350
3. Konservative Vektorfelder....................................... 353
4. Die Divergenz und der Satz von Gauß............................ 355
5. Die Rotation und der Satz von Stokes............................ 358
6. Nablaoperator und Laplaceoperator.............................. 359
7. Einige Rechenregeln............................................ 360
8. Krummlinige Koordinaten...................................... 360
B. Tensorrechnung.................................................. 363
1. Einfaches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ................... 363
2. Allgemeine Definition des Tensors zweiter Stufe.................... 367
3. Tensorellipsoid................................................ 367
XIII. Funktionentheorie
A. Aufgaben der Funktionentheorie..................................... 371
B. Definition und Darstellung von Funktionen einer komplexen Variablen..... 371
1. Folgen und Reihen von komplexen Zahlen......................... 371
2. Definition von Funktionen...................................... 372
3. Einige Rechenregeln für komplexe Zahlen......................... 376
4. Stetigkeit von Funktionen....................................... 378
5. Mehrdeutige Funktionen; Riemannsche Fläche..................... 379
C. Differentiation und Integration von Funktionen komplexer Variabler...... 381
1. Differentiation; Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen........ 381
2. Singuläre Stellen............................................... 384
3. Integration.................................................... 384
4. Wegunabhängigkeit des Integrals................................. 386
5. Das Residuum................................................. 388
6. Cauchysche Integralformel...................................... 391
D. Reihenentwicklungen von Funktionen einer komplexen Variablen......... 393
1. Allgemeines über Reihen und Funktionen......................... 393
2. Taylorsche Reihe .............................................. 394
3. Laurent-Reihe................................................. 396
4. Zur Berechnung des Residuums.................................. 398
E. Weitere funktionentheoretische Betrachtungen......................... 399
1. Der Identitätssatz für analytische Funktionen...................... 399
2. Analytische Fortsetzung ........................................ 400
3. Einteilung der Funktionen....................................... 401
XIV. Reihenentwicklung nach orthonormierten Funktionensystemen;
Integraltransformationen
A. Fourierreihen und Fourierintegrale................................... 405
1. Fourierreihe einer Funktion von einer Variablen in reeller Schreibweise 405
a) Angabe der Formeln und Beispiele............................. 405
b) Beweis..................................................... 411
XII Inhaltsverzeichnis
2. Fourierreihe einer Funktion von einer Variablen in komplexer Schreib-
weise ........................................................• 413
3. Fourierreihe einer Funktion von mehreren Variablen................ 415
4. Fourierintegral ................................................ 416
5. Die Deltafunktion.............................................. 420
B. Darstellung einer Funktion durch eine Reihe aus orthonormierten Funktionen 422
1. Problemstellung; orthonormierte Funktionensysteme................ 422
2. Reihenentwicklung............................................. 424
C. Darstellung einer Funktion durch ein Integral (Integraltransformation)..... 428
1. Allgemeine Betrachtungen....................................... 428
2. Fouriertransformation.......................................... 429
3. Laplacetransformation.......................................... 432
D. Operatoren...................................................... 434
E. Funktionen als Vektoren in unendlich-dimensionalen Räumen............. 435
1. Deutung einer Funktion f(x) als Vektor........................... 435
2. Transformation einer Funktion in verschiedene Räume. Hilbertraum . . 437
3. Diagonalisierung von Abbildungsmatrizen bzw. Operatoren.......... 442
4. Vereinheitlichung der Schreibweise mit Hilfe von Diracschen bra- und
ket-Symbolen.................................................. 444
XV. Differentialgleichungen
A. Allgemeine Definitionen und Beispiele ............................... 449
1. Gewöhnliche Differentialgleichungen............................. 449
2. Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen.................. 452
3. Partielle Differentialgleichungen.................................. 452
4. Aufgaben der Theorie der Differentialgleichungen.................. 453
B. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.................... 454
1. Aussagen über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen.......... 454
a) Gleichungen, die sich in eindeutiger Weise nach y auflösen lassen . . 454
b) Gleichungen, die sich nicht eindeutig nach y auflösen lassen....... 457
2. Verfahren zur Lösung der linearen Differentialgleichungen........... 459
a) Allgemeine Betrachtungen .................................... 459
b) Lösung der homogenen Gleichung............................. 459
c) Lösung der inhomogenen Gleichung............................ 461
3. Verfahren zur Lösung eines Systems von linearen Differentialgleichungen 463
a) Allgemeine Betrachtungen.................................... 463
b) Lösung homogener Systeme................................... 465
oi) Untersuchungen über die Lösungsmannigfaltigkeit S. 441; ß) Auf- 465
suchen des allgemeinen Integrals S. 443 467
c) Lösung inhomogener Systeme................................. 471
4. Verfahren zur Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen.......... 472
C. Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung............ 474
1. Allgemeines über die Existenz und Mannigfaltigkeit der Lösungen .... 474
Inhaltsverzeichnis XIII
2. Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 476
a) Allgemeines................................................. 476
b) Differentialgleichung der ungedämpften freien Schwingungen...... 476
oc) Ansatz einer trigonometrischen Funktion S. 476; ß) Ansatz einer 476
reellen Exponentialfunktion S. 480; y) Ansatz einer komplexen 480
Funktion S. 481 481
c) Differentialgleichung der gedämpften freien Schwingungen ........ 482
d) Differentialgleichung erzwungener Schwingungen ................ 484
3. System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten.................................................. 487
4. Lineare Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten .... 492
a) Allgemeines über das Lösen von Differentialgleichungen durch Reihen 492
b) Aufsuchen der Lösungen einiger spezieller Differentialgleichungen .. 493
oc) Legendresche Differentialgleichung S. 466; ß) Besselsche Differen- 493
tialgleichung S. 468; y) Einige weitere Differentialgleichungen S. 497 495
D. Randwert- und Eigenwertprobleme................................... 498
1. Randwertaufgaben............................................. 498
2. Eigenwerte und Eigenfunktionen................................. 501
3. Anwendung der Operatorschreibweise............................. 503
E. Partielle Differentialgleichungen.................................... 504
1. Allgemeines................................................... 504
2. Aufsuchen der Lösung mit Hilfe des Bernoullischen Produktansatzes . 506
a) Grundsätzliche Betrachtungen zum Lösungsverfahren............. 506
b) Eindimensionale Wellengleichung (Gleichung der schwingenden Saite) 507
oc) Ableitung der partiellen Differentialgleichung S. 507; ß) Aufsuchen
einer speziellen Lösung bei vorgegebenen Anfangs- und Randbedin-
gungen S. 508; y) Allgemeine Betrachtungen über die Lösungen S. 511
c) Die Gleichung der schwingenden Membran...................... 514
d) Differentialgleichung der Diffusion und Wärmeleitung............ 518
oc) Ableitung und Diskussion der Gleichung S. 490; ß) Diffusion in einem 518
Stab endlicher Länge S. 491; y) Diffusion in einem unendlich langen 519
Stab S. 493 521
3. Lösung mit Hilfe von Integraltransformationen..................... 523
a) Allgemeines ................................................ 523
b) Methode der Laplacetransformation............................ 524
c) Methode der Fouriertransformation............................ 527
4. Lösung mit Hilfe der Greenschen Funktion........................ 529
a) Allgemeines................................................. 529
b) Beispiel einer gewöhnlichen Differentialgleichung................. 531
c) Beispiel einer partiellen Differentialgleichung.................... 534
XVI. Gruppentheorie
A. Grundlagen...................................................... 539
1. Definition der Gruppe.......................................... 539
2. Konjugierte Elemente und Einteilung in Klassen.................... 542
XIV Inhaltsverzeichnis
B. Symmetriegruppen................................................ 544
1. Symmetrieoperationen.......................................... 544
2. Symmetriegruppen............................................. 545
C. Darstellungstheorie ............................................... 548
1. Grundlagen der Darstellung von Gruppen......................... 548
2. Zusammenhang zwischen verschiedenen Darstellungen.............. 549
3. Irreduzible Darstellungen ....................................... 551
4. Charaktertafeln................................................ 553
5. Darstellung im Vektorraum der Normalkoordinaten ................ 554
a) Allgemeine Betrachtungen .................................... 554
b) Anwendung auf Normalschwingungen.......................... 557
6. Diagonalisierung von Matrizen. Symmetrische Koordinaten.......... 561
XVII. Wahrscheinlichkeitsrechnung
A. Einleitung....................................................... 567
1. Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung........................ 567
2. Einige Aussagen über zufällige Ereignisse; Ereignisraum............. 568
3. Zufallsgrößen ................................................. 569
B. Definition und Berechnung der Wahrscheinlichkeit im Falle diskreter Zufalls-
größen .......................................................... 570
1. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit...................... 570
2. Wahrscheinlichkeit der Summe von Ereignissen.................... 572
3. Diskussion des Falles gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse..... 572
4. Bedingte Wahrscheinlichkeit..................................... 574
5. Wahrscheinlichkeit des Produktes von Ereignissen.................. 576
6. Totale Wahrscheinlichkeit....................................... 577
7. Formeln von Bayes............................................. 578
8. Zur axiomatischen Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung..... 578
C. Definition und Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte im Falle kontinuier-
licher Zufallsgrößen............................................... 580
1. Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte.......................... 580
2. Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe zweier Zufallsgrößen.......... 582
D. Kette von n Versuchen............................................. 584
1. Kette von voneinander unabhängigen Versuchen (Bernoulli-Schema) . . 584
a) Ableitung der exakten Gleichungen ............................ 584
b) Diskussion der Funktion Pn(m)................................ 585
c) Näherungsgesetze für große n ................................. 587
a) Formulierung und Diskussion der Grenzwertsätze S. 587; ß) Beweis
der Grenzwertsätze S. 590; j) Beispiele und Anwendungen S. 592
d) Das Galtonsche Brett ........................................ 594
e) Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen..................... 594
2. Markowsche Ketten............................................ 595
a) Definition der Markowschen Kette............................. 595
In/hiltsn izeicliiii.s XV
b) Übergangsmatrix nach m Versuchen............................ 597
c) Grenzwert der Übergangsmatrix............................... 599
E. Stochastische Prozesse ............................................ 600
1. Definition und Einteilung der stochastischen Prozesse............... 600
2. Der Poisson-Prozeß............................................ 601
3. Diskrete Markowprozesse....................................... 603
4. Kontinuierliche Markowprozesse................................. 603
F. Verteilungsfunktionen und Parameter einer Verteilung.................. 604
1. Definition der Verteilungsfunktion ............................... 604
2. Die Parameter einer Verteilungsfunktion .......................... 606
a) Eindimensionale Zufallsgröße................................. 606
b) Mehrdimensionale Zufallsgröße ............................... 609
G. Aufgaben der Statistik............................................. 609
XVIII. Fehler- und Ausgleichsrechnung
A. Zufällige und systematische Fehler................................... 611
B. Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen........................... 611
1. Verteilung der Meßwerte und Mittelwert .......................... 611
2. Mittlerer Fehler der Einzelmessungen............................. 613
3. Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung........................ 614
4. Praktische Durchführung der Rechnungen......................... 615
C. Fehlerfortpflanzung............................................... 617
1. Fortpflanzung des Fehlers einer Einzelmessung sowie des maximalen
Fehlers....................................................... 617
2. Fortpflanzung des mittleren Fehlers .............................. 619
3. Mittlerer Fehler des Mittelwertes................................. 621
D. Ausgleichsrechnung bei zwei voneinander abhängigen Meßgrößen......... 622
Antworten und Lösungen.............................................. 625
Weiterführende Literatur............................................. 653
Register ........................................................... 655
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