Numerische Methoden der linearen Algebra: mit 35 Abb. u. 89 Tab.
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| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS
I. Grundlegende Begriffe der linearen Algebra 11
§ 1. Matrizen 11
§ 2. Spezielle Matrizen : 37
§ 3. Die Axiome eines linearen Raumes 46
§ 4. Basis und Koordinaten 50
§ 5. Unterräume 55
!j 6. Lineare Operatoren 03
§ 7. Jordansehe Normalfonn 79
§ 8. Die Struktur invarianter Unterräume 93
§ 9. Orthogonalität von Vektoren und Unterräumen 94
§ 10. Lineare Operatoren im unitären und im euklidischen Raum 102
§ 11. Selbstadjungierte Operatoren 108
§ 12. Quadratische Formen 121
§13. Der Begriff des Grenzwertes in der linearen Algebra 128
§ 14. Der Gradient eines Funktionais 145
II. Exakte Verfahren zur Lösung eines Systems linearer Gleichungen 148
§ 15. Kondition von Matrizen 149
§ 16. Das Gaußsche Verfahren 159
§ 17. Berechnung von Determinanten 170
§ 18. Verketteter Algorithmus zur Lösung eines inhomogenen linearen Glei¬
chungssystems : 173
§ 19. Zusammenhang des GauBschen Verfahrens mit der Zerlegung einer Matrix
in Faktoren 175
§ 20. Die Methode der Quadratwurzeln 181
§ 21. Invertierung von Matrizen 184
§ 22. Die Eliminationsaufgabe 188
§ 23. Verbesserung der Elemente einer inversen Matrix 198
§ 24. Invertierung von Matrizen durch Zerlegung in Blöcke 201
§ 25. Die Methode des Ränderns 203
§ 2( . Die Esealatormethode 208
127. Die Methode von Pukcbll (Vektormethode) 212
§ 28. Ergänzungsverfahren zur Invertierung von Matrizen 215
III. Iterationsmethoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme 221
§ 29. Prinzipien zur Konstruktion von Iterationsverfahren 221
§ 30. Das Verfahren der sukzessiven Approximation 224
§ 31. Umformung eines Gleichungssystems auf ein anderes, das für die An¬
wendung des Verfahrens der sukzessiven Approximation geeignet ist.
Das Gesamtschrittverfahren 231
§ 32. Einzelschrittverfahren . 237
§ 33. Die Methode von Nbkkassow 243
§ 34. Vollständige Relaxation 249
8 Inhaltsverzeichnis
§ 35. Unvollständige Relaxation 251
§ 36. Untersuchung der Iterationsmethoden für dreidiagonale Systeme mit
Blockmatrizen 256
§37. Konvergenzsätze 263
§38. Regulierte Eelaxation 267
§ 39. Relaxation nach der Länge des Defektvektors 272
§ 40. Gruppenrelaxation . . 274
IV. Das vollständige Eigenwertproblem 277
§ 41. Stabilität des Eigenwertproblems 279
§ 42. Das Verfahren von A. N. Krylow 283
§ 43. Bestimmung der Eigenvektoren nach der Krylowsehen Methode .... 292
§44. Das Verfahren von Hessenbebg ; . . 294
§ 45. Das Verfahren von Samuelson 302
§ 46. Das Verfahren von A. M. Danidewski 305
§ 47. Das Verfahren von Levbbbier und die Modifikation von D. K. Faddejew 317
§48. DieEscalatormethode 322
§49. Die Interpolationsmethode 331
§ 50. Orthogonalisierung der aufeinanderfolgenden Iterierten 337
§ 51. Transformation einer symmetrischen Matrix auf eine Matrix mit drei
Diagonalen durch Rotationen 340
§ 52. Verbesserung näherungsweiser Lösungen des vollständigen Eigenwert¬
problems 351
V. Das teilweise Eigenwertproblem 356
§ 53. Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes einer Matrix durch sukzes¬
sive Iteration 357
§54. Konvergehzverbesserung der Potenzmethode 375
§ 55. Modifikation der Potenzmethode 381
§ 56. Anwendung der Potenzmethode zur Ermittlung mehrfacher Eigenwerte 389
§57. Treppeniteration 392
§58. Das Verfahren der ^ Differenzen 402
§ 59. Das Abspaltungsverfahren 405
§ 60. Das Reduktionsverfahren 409
§ 61. Koordinatenrelaxation 412
§ 62. Verbesserung der Näherung eines einzelnen Eigenwertes und des zugehö¬
rigen Eigenvektors 420
VI. Die Methode der Minimaliteratipn und andere (Orthogonalisierungs ) Methoden 429
§ 63. Die Methode der Minimaliteration 429
§ 64. BiorthogonaUsierungsalgorithmus 442
§ 65. Die Methode der 4 Minimaliteration 455
§ 66. ^4 Biorthogonalisierungsalgorithmus 462
§ 67. Zweigliedrige Formeln der Minimaliteration und des Biorthogonalisie
rungsalgorithmus 464
§68. Verfahren konjugierter Richtungen und deren gemeinsame Eigenschaften 472
§ 69. Gewisse Methoden konjugierter Riehtungen 477
VII. (Iterative) Gradientenmethoden 495
§ 70. Die Methode des stärksten Abstiegs zur Losung linearer Gleichungssysteme 496
§ 71. Gradientenmethode mit minimalem Defekt ¦. . 506
§ 72. Gradientenmethoden mit unvollständiger Relaxation 607
Inhaltsverzeichnis 9
§ 73. Die « schrittigen Gradientenmethoden des stärksten Abstiegs 514
§ 74. Bestimmung des größten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors
einer symmetrischen Matrix durch Gradientenmethoden 522
§ 75. Lösung des teilweisen Eigenwertproblems mit Hilfe der Polynome von
Lanczos 537
§ 76. Das s schrittige Verfahren des stärksten Anstiegs 541
VIII. Iterationsmethoden zur Lösung des vollständigen Eigenwertproblems .... 551
§ 77. Der Quotienten Differenzenalgorithmus {QD Algorithmus) 551
§ 78. Die Dreiecksiteration 567
§79. Der LR Algorithmus 573
§80. Der AP Algorithmus 579
§ 81. Jacobische Verfahren 581
§ 82. Dreiecks Orthogonalmatrizenverfahren 595
§ 83. Lösung des vollständigen Eigenwertproblems für beliebige komplexe
Matrizen 606
§ 84. Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix AÄ .... 612
§ 85. Polare Zerlegung einer Matrix 614
§ 86. Lösung des vollständigen Eigenwertproblems durch Spektralanalyse der
aufeinanderfolgenden Iterierten 621
IX. Universelle Algorithmen 627
§ 87. Das Prinzip der Komponentendämpfung 627
§ 88. Das Ljusterniksche Verfahren zur Konvergenzbeschleunigung bei der suk¬
zessiven Approximation der Lösung eines linearen GleiehungssystemB. . 631
§89. Komponentendämpfung durch Polynome niedrigsten Grades 632
§ 90. Verschiedene Durchführungsmöglichkeiten für universelle Algorithmen . 636
§ 91. Ein im Sinne der ersten Forderung optimaler universeller Algorithmus . 641
§ 92. Ein im Sinne der zweiten Forderung optimaler universeller Algorithmus 645
§ 93. Das Abramowsche Verfahren zur Konvergenzbeschleunigung bei der suk¬
zessiven Approximation der Lösung eines linearen Gleiehungssystems. . 647
§94. JST Prozesse 649
§ 95. Allgemeine dreigliedrige Iterationsprozesse 652
§ 96. Universeller Algorithmus von Lanczos 658
§ 97. Im Mittel optimale universelle Algorithmen 661
§ 98. Das Verfahren der Komponentendämpfung im Komplexen 664
§ 99. Verwendung der konformen Abbildung zur Lösung linearer Systeme . . 667
§ 100. Beispiele von S universellen Algorithmen 675
§ 101. Das Verfahren der konformen Abbildung für ein nicht umgeformtes Glei¬
chungssystem 679
§ 102. Das Prinzip der Komponentendämpfung zur Lösung des teilweisen Eigen¬
wertproblems 686
§ 103. Benutzung der konformen Abbildung zur Lösung des teilweisen Eigen¬
wertproblems 687
Schlußbemerkungen 690
Literaturverzeichnis 693
Anhang. Die Methode der sukzessiven Gauß Jordan Elimination, das Austausch
verfahren, zur Invertierung, Rangbestimmung, Gleichungsauflösung und Deter¬
minantenberechnung 65
Namen und Sachverzeichnis 776
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